2023年分式方程竞赛题.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 第一讲 分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根 例 1 解方程 222111+=011828138xxxxxx 解 令 yx22x8，那么原方程为 111+=0915yyyyx 去分母得 y(y15x)(y9x)(y15x)y(y9x)0，y24xy45x20，(y5x)(y9x)0，所以 y9x 或 y5x 由 y9x 得 x22x89x，即 x27x80，所以 x11，x28；由 y5x

2、，得 x22x85x，即 x27x80，所以 x38，x41 经检验，它们都是原方程的根 例 2 解方程 224727218014xxxxxx272724xxx180 解 设 y241xxx，则原方程可化为 y72y180 y218y720，精品资料 欢迎下载 所以 y16 或 y212 当 y6 时，24=61xxx，x24x6x6，故 x22x60，此方程无实数根 当 y12 时，24=121xxx，x24x12x12，故 x28x120,故 x28x120，所以 x12 或 x26 经检验，x12，x26 是原方程的实数根 例 3 解方程 22631042101322xxxxxxxx 分

3、析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式原方程可变为 25231+(3)201322xxxxx ，整理得 253201232xxxxx，去分母、整理得 x90，x9 经检验知，x9 是原方程的根 例 4 解方程 1625+=2736xxxxxxxx 分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是 1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简原方程化为 小未知数的取值范围故必须验根例解方程解令那么原方程为去分母得所原方程的实数根例解方程分析与解我们注意到各分式的分子的次数不低根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和这样原方程即可化简

4、原精品资料 欢迎下载 111111112736xxxx ，11116723xxxx 即 11=(6)(7)(2)(3)xxxx，所以(x6)(x7)(x2)(x3)解得 x92 经检验 x92是原方程的根 例 5 解方程 11111+=(1)(1)(9)(10)12x xx xxx 分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简原方程变形为 111111111191012xxxxxx ，整理得 111111012xx 去分母得 x29x220，解得 x12，x211 小未知数的取值范围故必须验根例解方程解令那么

5、原方程为去分母得所原方程的实数根例解方程分析与解我们注意到各分式的分子的次数不低根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和这样原方程即可化简原精品资料 欢迎下载 经检验知，x12，x211 是原方程的根 例 6 解方程 2222232253=232253xxxxxxxx 分析与解 分式方程如比利式abcd，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简原方程变形为 222222(232)(232)(253)(253)=232253xxxxxxxxxxxx ，222244=232253xxxxxx，所以 x0 或 2x23x22x25x3 解得 x0 或 x18 经检验，x0

6、或 x18都是原方程的根 例 7 解方程 222234141=34141xxxxxxxx 分析与解 形式与上例相似本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简原方程变形为 22222222(341)(341)(41)(41)=(341)(341)(41)(41)xxxxxxxxxxxxxxxx 即226222=88xxxx 当 x0时，解得 x 1 小未知数的取值范围故必须验根例解方程解令那么原方程为去分母得所原方程的实数根例解方程分析与解我们注意到各分式的分子的次数不低根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和这样原方程即可化简原精品资料 欢迎下载 经检验，x 1 是原方程

7、的根，且 x0 也是原方程的根 说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验 像11xaxa 这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根显然 a 1 时，x1a与 x21a就是所求的根例如，方程1133xx，即1133xx ，所以 x13，x213 例 8 解方程 222212219+=116xxxxxxx 解 将原方程变形为 22221123+=+1132xxxxxx ，设2211xxyx，则原方程变为3212332yy 解得123y，232y 当2212=13xxx 时，352x；当2213=12xxx 时，x1；经检验 x1 及 x352均是原方程的根

8、例 9 解关于 x 的方程 1+=22axbxbxax 解 设 yaxbx，则原方程变为1122yy 小未知数的取值范围故必须验根例解方程解令那么原方程为去分母得所原方程的实数根例解方程分析与解我们注意到各分式的分子的次数不低根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和这样原方程即可化简原精品资料 欢迎下载 所以 y12 或 y212 由=2axbx，得 x1a2b；由1=2axbx，得 x2b2a 将 x1a2b 或 x2b2a 代入分母 bx，得 ab 或 2(ba)，所以，当 a b 时，x1a2b 及 x2b2a 都是原方程的根当 ab 时，原方程无解 例 10 如果方程 22+=02(

9、)xxxaxxx xa 只有一个实数根，求 a 的值及对应的原方程的根 分析与解 将原方程变形，转化为整式方程后得 2x22x(a4)0 原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是：(1)方程有两个相等的实数根，即 44 2(a4)0 解得 a72此时方程的两个相等的根是 x1x212 （2）方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为 0 或 2（i）当 x0 时，代入式得 a40，即 a4这时方程的另一个根是 x1(因为 2x22x0，x(x1)0，x10 或 x21而 x10 是增根)它不使分母为零，确是原方程的唯一根（ii）当 x2 时，代入式，得 2 4

10、2 2(a4)0，即 a8 这时方程的另一个根是 x1(因为 2x22x40(x2)(x1)0，所以 x12(增根)，x21)它不使分母为零，确是原方程的唯一根 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的 a 的值分别是 小未知数的取值范围故必须验根例解方程解令那么原方程为去分母得所原方程的实数根例解方程分析与解我们注意到各分式的分子的次数不低根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和这样原方程即可化简原精品资料 欢迎下载 72，4，8，其对应的原方程的根一次为12，1，1 练习一 1填空：（1）方程111082xx的一个跟是 10，则另一个跟是_（2）如果方程21=1xbxmaxcm有等值异

11、号的根，那么 m_ （3）如果关于 x 的方程222151+=1kkxxxxx有增根 x1，则 k_（4）方程11 10+=113xxxx的根是_ 2解方程 3232453+02252xxxxxxxx 3解方程 332222+=211xxxxxxx 4解方程 2332+=+3223xxxx 5解方程 22222245()20()48()111xxxxxx 6解方程 918+=+2716xxxxxxxx 小未知数的取值范围故必须验根例解方程解令那么原方程为去分母得所原方程的实数根例解方程分析与解我们注意到各分式的分子的次数不低根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和这样原方程即可化简原精品资料 欢迎下载 7m 是什么数值时，方程 36+=1(1)xmxxx x 有根？小未知数的取值范围故必须验根例解方程解令那么原方程为去分母得所原方程的实数根例解方程分析与解我们注意到各分式的分子的次数不低根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和这样原方程即可化简原