2023年分部积分法精品讲义1.pdf

《2023年分部积分法精品讲义1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年分部积分法精品讲义1.pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 分部积分法 教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。重点：分部积分法及其应用 难点：在分部积分法中，要恰当的选取 u 和 v 教学方法：讲练法 0 回顾 上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们熟记基本初等函数积分公式表熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）熟练、灵活的运用第二换元积分法。凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dxxxfdxxf)()()()()(xdxf )(xu令 duuf)(CxFCuF)()(第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(tx，使得难求的积分易求 dtttfdxxftx)()()()(令 CF(x)

2、C)()()(tFtdtf 1 引入 用我们已经掌握的方法求不定积分xdxx cos 分析：被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。凑微法失效。xxcos 第二类换元积分法 解：不妨设 txtxarccoscos则 原方程dtttt211arccos更为复杂 所以凑微法和第二换元积分法都失效。反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设 u、v 为两个函数）已知：)(uvvuvu 学习必备 欢迎下载 对上式两边积分得：dxuvvdxuuv 移项得：vdxuuvdxuv 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：dxuv中 v 为导数形式。故，我们可以尝试来解一

3、下上面的积分。Cxxxxdxxxxdxxxxdxxcossinsinsin)(sincos形式一样先要化的和要求积分的 真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。2 公式 2.1 定理 设函数)(xuu 和)(xvv 及都具有连续的导数，则有分部积分公式：vdxuuvdxuv（或vduuvudv）说明：两函数的积分等于将其中一个放在 d 里后，里外相乘减去换位的积分。内外积减去换位“积”。步骤：a、放 d 中，b、套公式。2.2 例 1 求不定积分 xdxx sin 解:xdxx sin Cxxxxd

4、xxxdxxdxdxxsincoscoscos)(cossin套公式中放 3 VU、的选取问题 例 2 求不定积分 xdxex 解：dxxeexdexexxdexdxexxxxxx2222221212121)21(熟记基本初等函数积分公式表熟练灵活的运用第一换元积分法凑微法熟已经掌握的方法求不定积分分析被积函数为两函数的乘积不是基本的积会比如假设为两个函数已知学习必备欢迎下载对上式两边积分得移项得学习必备 欢迎下载 容易发现使用分部积分公式后，变得更加复杂了，是我们的公式用错了吗？不妨换个角度看问题：Cexedxexedexxdxexxxxxx 发现问题解决了，问题出在哪里？观察发现，这两种做

5、法的不同之处在于把谁放在 d 里，换句话说就是则样选择 u 和 v 的问题，由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择 u 和 v 是十分重要的，选对了可以轻松解题，选错了，轻则解题复杂，重则解不出结果。那么应该如何选取 u 和 v 的呢？我们来看一下公式vduuvudv，要把 v 放在 d 中首先要对 v 积分，所以 v 要便于积分；而 u 要进行求导，所以 u 便于求导；实际上关键是 v，v 定了，u 怎然定了。所以VU、选取的原则是：v 便于积分，u 便于求导。例 3 求不定积分xdxxln 分析：对于 x 和 lnx 来说明显的 x 便于积分，故选 lnx 做 u Cxxxxdxxxx

6、dxxxxxdxdxx22222241ln2121ln21ln21ln21)21(lnln 实际上在选取 v 时是相对的，两个函数中更便于积分的做 v，我们列出了一个积分从难到易顺序：反、对、幂、三、指；一般在做题的时候我们选取后面的做 v.4 例题讲解 例 4 求不定积分xdxln 分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作xln1即可。解：Cxxxxxdxxxdxxdxlnlnlnlnln 结论：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。例 5 求不定积分dxexx2 熟记基本初等函数积分公式表熟

7、练灵活的运用第一换元积分法凑微法熟已经掌握的方法求不定积分分析被积函数为两函数的乘积不是基本的积会比如假设为两个函数已知学习必备欢迎下载对上式两边积分得移项得学习必备 欢迎下载 解：Cexeexdxexeexdexexdxexexdexdxexxxxxxxxxxxxx2)(222222222再次使用分部积分公式 结论：分部积分公式是可以重复使用的。例 6 求不定积分xdxexsin 解：xdxexexexdxexexdexdxexxxxxxxsincossincossinsinsin 好像进入了死胡同，实则不然，令Ixdxexsin,则上式变为：CxexeIxexeIIxexeIxxxxxx)cossin(21cossin2cossin则 问题得以解决。故要灵活的处理问题。5 小结 1、分部积分的公式 2、U、V的选取 3、灵活的使用公式 熟记基本初等函数积分公式表熟练灵活的运用第一换元积分法凑微法熟已经掌握的方法求不定积分分析被积函数为两函数的乘积不是基本的积会比如假设为两个函数已知学习必备欢迎下载对上式两边积分得移项得