2023年函数的单调性与最值含例题详解.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 函数的单调性与最值 一、知识梳理 1增函数、减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D I，如果对于任意 x1，x2D，且 x1x2，则 有：(1)f(x)在区间 D 上是增函数 f(x1)f(x2)2单调区间的定义 若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 yf(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 3函数的最值 前提 设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 对于任意 xI，都有f(x)M；存在 x0I，使得f(x0)M 对于任意 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f

2、(x0)M 结论 M 为最大值 M 为最小值 注意：1函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“”联结，也不能用“或”联结 2两函数 f(x)，g(x)在 x(a，b)上都是增(减)函数，则 f(x)g(x)也为增(减)函数，但 f(x)g(x)，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比 试一试 1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)By x1 C12xy Dyx1x 解析：选 A 选项 A 的函数 yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一

3、定是增函数 2函数 f(x)x22x(x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.解析：函数 f(x)的对称轴 x1，单调增区间为1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1,4 8 精品资料 欢迎下载 二、方法归纳 1判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果 f(x)是以图像形式给出的，或者 f(x)的图像易作出，可由图像的直观性 判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性 2求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性

4、求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域 练一练 1下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay1x Byex Cyx21 D.ylg|x|答案：C 2函数 f(x)1x21在区间2,3上的最大值是_，最小值是_ 答案：15 110 三、考点精练 考点一

5、求函数的单调区间 1、函数 5log21f xx的单调增区间是_ 解析：要使5log21yx有意义，则210 x，即12x ，而5l o gyu为0,上的增函数，当12x 时，u2x1 也为 R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2.有严格的单调性区间叫做的单调区间函数的最值前提设函数的定义域为单调递减单调区间只能用区间表示不能用集合或不等式表示如有多个单上为增函数的是解析选选项的函数的增区间为所以在上一定是增函数函精品资料 欢迎下载 答案：1,2 2函数 yx|1x|的单调增区间为_ 解析：yx|1x|1,121,1xxx 作出该函数的图像如图所示 由图像可知，该函数的单调增区间是(，

6、1 答案：(，1 3设 函 数 y f(x)在,内 有 定 义 对 于 给 定 的 正 数 k，定 义 函 数 ,kfxfxkfxk fxk取函数 2xf x，当 k12时，函数 kfx的单调递增区间为()A(，0)B(0，)C(，1)D(1，)解析：选 C 由 f(x)12，得1x1.由 f(x)12，得 x 1 或 x1.所以 122,11,1122,1xxxfxxx ，故 12fx的单调递增区间为(，1)解题通法 求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即：(1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法 考点二 函数单调性的判断 典例 试讨论函数 0kf xxkx 的单调性

7、 解 法一：由解析式可知，函数的定义域是,00,在(0，)内任取1x，有严格的单调性区间叫做的单调区间函数的最值前提设函数的定义域为单调递减单调区间只能用区间表示不能用集合或不等式表示如有多个单上为增函数的是解析选选项的函数的增区间为所以在上一定是增函数函精品资料 欢迎下载 2x，令12xx，那么 122121212121211211x xkkkf xf xxxxxkxxxxxxx x 因为120 xx，所以210 xx，120 x x.故当12,x xk时，12f xf x，即函数在,k 上单调递增 当 12,0,x xk时，12f xf x，即函数在 0,k上单调递减 考虑到函数 0kf

8、xxkx 是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性，故在,k 单调递增，在,0k上单调递减 综上，函数 f(x)在,k 和,k 上单调递增，在,0k和 0,k上单调 递减 解题通法 1利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底 2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确 针对训练 判断函数 g(x)2xx1在(1，)上的单调性 解：任取 x1，x2(1，)，且 x1x2，则 12121212122221111xxxxg xg xxxxx，由于1x1x2，所以 x1x20，因此 g(x1)g(x2)0，即 g(x1)0 时，f(x)x2，则 x

9、1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又当 x0 时，f(x)0，f(x1x2)0，即 f(x1)f(x2)因此 f(x)在 R 上是减函数(2)f(x)在 R 上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为 f(3)与 f(3)而 f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为 2，最小值为2.角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 2已知函数 f(x)log2x11x，若 x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0 Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 解析：

10、选 B 函数 f(x)log2x11x在(1，)上为增函数，且 f(2)0，当 x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即 f(x1)0.角度三 解函数不等式 3已知函数 2243,023,0 xxxf xxxx 则不等式 f(a24)f(3a)的解集为()A(2,6)B(1,4)C(1,4)D(3,5)解析：选 B 作出函数 f(x)的图像，如图所示，则函数 f(x)在 R 上是单调递减的由 f(a24)f(3a)，可得 a243a，整理得 a23a40，即(a1)(a4)0，解得1af(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 g(x)与 h(x

11、)的取值应在外层函数的定义域内 2比较函数值大小的思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解 巩固练习 一、选择题 1“a1”是“函数 f(x)x22ax3 在区间1，)上为增函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：A 解析：f(x)对称轴 xa，当 a1 时 f(x)在1，)上单调递增“a1”为 f(x)在1，)上递增的充分不必要条件 2 已知函数 224,04,0 xxxf xxxx，若 f(2a2)f(a)，则实数 a 的取值

12、范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)答案：C 解析：由题知 f(x)在 R 上是增函数，由题得 2a2a，解得2a0 时，它有两个减区 间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可，则 a 的取值范围是 00，x2x30，x3x10，则 f(x1)f(x2)f(x3)的值 ()A一定大于 0 B一定小于 0 C等于 0 D正负都有可能 答案：A 解析：f(x)f(x)0，f(x)f(x)又x1x20，x2x30，x3x10，x1x2，x2x3，x3x1.又f(x1)f(x2)f(x2)，f(x2)f(x3)f(x3)，f(

13、x3)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)0.二、填空题 6函数 y(x3)|x|的递增区间是_ 7设 f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是_(填序号)yf(x)2是增函数；y1f x是减函数；yf(x)是减函数；y|f(x)|是增函数 答案：0，32 有严格的单调性区间叫做的单调区间函数的最值前提设函数的定义域为单调递减单调区间只能用区间表示不能用集合或不等式表示如有多个单上为增函数的是解析选选项的函数的增区间为所以在上一定是增函数函精品资料 欢迎下载 解析：3030 xxxyxxx 画图象如图所示：可知递增区间

14、为0，32 8设 0 x1，则函数 y1x11x的最小值是_ 答案：4 解析 y1x11x1x 1x，当 0 x1 时，x(1x)(x12)21414，y4.三、解答题 9已知函数 f(x)a1|x|.(1)求证：函数 yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若 f(x)2x 在(1，)上恒成立，求实数 a 的取值范围(1)证明：当 x(0，)时，f(x)a1x，设 0 x10，x2x10.f(x1)f(x2)(a1x1)(a1x2)1x21x1x1x2x1x20.f(x1)f(x2)，即 f(x)在(0，)上是增函数(2)解：由题意 a1x2x 在(1，)上恒成立，设 h(x)2x1x，则 a

15、0，h(x)在(1，)上单调递增故 a h(1)，即 a3.a 的取值范围为(，3 10已知 f(x)x2ax3a，若 x2,2时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围 解：设 f(x)的最小值为 g(a)，则只需 g(a)0，由题意知，f(x)的对称轴为a2.(1)当a24 时，g(a)f(2)73a0，得 a73.又 a4，故此时的 a 不存在 有严格的单调性区间叫做的单调区间函数的最值前提设函数的定义域为单调递减单调区间只能用区间表示不能用集合或不等式表示如有多个单上为增函数的是解析选选项的函数的增区间为所以在上一定是增函数函精品资料 欢迎下载(2)当a22,2，即4 a4时，g(a)

16、f(a2)3aa240得6 a2.又4 a4，故4 a2.(3)当a22，即 a4 时，g(a)f(2)7a0 得 a 7.又 a4，故7 a4.综上得所求 a 的取值范围是7 a2.11已知 f(x)是定义在1,1上的奇函数，且 f(1)1，若 a，b1,1，ab0时，有 0f af bab成立(1)判断 f(x)在1,1上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f(x12)f(1x1)；(3)若 f(x)m22am1 对所有的 a1,1恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)任取 x1，x21,1，且 x1x2，则x21,1，f(x)为奇函数，1212121212f xfxf xf xf x

17、fxxxxx 由已知得 12120f xfxxx，x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)在1,1上单调递增(2)f(x)在1,1上单调递增，112111121111xxxx 32 x1.(3)f(1)1，f(x)在1,1上单调递增 在1,1上，f(x)1.问题转化为 m22am11，即 m22am0，对 a1,1成立 下面来求 m 的取值范围 设 g(a)2m am20.有严格的单调性区间叫做的单调区间函数的最值前提设函数的定义域为单调递减单调区间只能用区间表示不能用集合或不等式表示如有多个单上为增函数的是解析选选项的函数的增区间为所以在上一定是增函数函精品资料 欢迎下载 若 m0，则 g(a)00，自然对 a1,1恒成立 若 m0，则 g(a)为 a 的一次函数，若 g(a)0，对 a1,1恒成立，必须 g(1)0，且 g(1)0，m 2，或 m2.m 的取值范围是 m0 或|m|2.有严格的单调性区间叫做的单调区间函数的最值前提设函数的定义域为单调递减单调区间只能用区间表示不能用集合或不等式表示如有多个单上为增函数的是解析选选项的函数的增区间为所以在上一定是增函数函