2023年函数与方程精品讲义1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 函数与方程 一函数的零点与方程的根 1.二次函数(1)定义：形如2()(0)f xaxbxc a的函数叫二次函数.(2)图像：二次函数2()(0)f xaxbxc a的图像是抛物线，对称轴方程为_，顶点坐标为 _.当a0 时，图像开口 _，函数在 _ 上递减，在 _ 上递增.(3)二次函数的解析式的三种形式：一 般 式：_；顶 点 式：_；两 根 式：_.(4)二次函数的零点：，方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图像与x轴有两个交点，二次函数有两个零点，方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图像与x轴有一个交点，二次函数有一个零点，方程02cbxax无实根，二次

2、函数的图像与x轴无交点，二次函数无零点 2.函数与方程(1)函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。(2)函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图像与x轴交点的_。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图像与x轴有交点函数)(xfy 有零点(3)函数零点的求法：（代数法）求方程0)(xf的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点(4)零点存在性定理：如果函数 xfy 在区间 ba,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

3、 0f af b，那么函数 xfy 在区间 ba,内有零点，并且至少存在一个。即存在 bac,使得 0cf这个c也就是方程 0 xf的根。学习必备 欢迎下载(5)零点唯一性定理：如果函数 xfy 在（1）区间 ba,上的（2）图像是连续不断的一条曲线，当函数 xfy 在区间 ba,上是（3）增函数或是减函数时，并且有（4）0f af b，那么函数 xfy 在区间 ba,内有且仅有一个零点。即唯一存在 bac,使得 0cf。二二分法 1.二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零

4、点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2.用二分法求函数零点的步骤 给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10 xax）；若)(1xf)(bf0，则令a=1x（此时零点),(10bxx）；（4）判断是否达到精度；即若|ba，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤24。3.注：函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数；从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象

5、与x轴交点的横坐标；若函数)(xf的图象在0 xx 处与x轴相切，则零点0 x通常称为不变号零点；若函数)(xf的图象在0 xx 处与x轴相交，则零点0 x通常称为变号零点。数的解析式的三种形式一般式顶点式两根式二次函数的零点方程点二次数的图像与轴有一个交无实根二次函数的图像与轴无交点二次函把使成求法代数法求方程的实数根几何法对于不能用求根公式的方程可以将它学习必备 欢迎下载 注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(af)(bf0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。1.若函数f(x)在区间 2,2 上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(2,2)内有一个零点，则f(2)f(2

6、)的值 ()A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.不能确定 2.设f(x)3xx2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 ()A.0,1 B.1,2 C.2，1 D.1,0 3.若方程 lnx2x100 的解为x0，则不小于x0的小整数是 .4.若函数f(x)的零点与g(x)4x2x2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则f(x)可以是 ()A.f(x)4x1 B.f(x)(x1)2 C.f(x)ex1 D.f(x)ln(x12)5.f(x)是定义在 R上的以 3 为周期的偶函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ()A.5 B.4 C.3

7、D.2 6.设函数f(x)2221,2xxxx x(-,1)则函数F(x)f(x)14的零点是 .7.若二次 函数yax2bxc中ac0，则函 数的 零点 个数是 ()A.1 个 B.2个 C.0个 D.不确定 8.已知函数f(x)x|x4|5，则当方程f(x)a有三个根时，实数a的取值范围是 .A.5a1 B.5a1 C.a5 D.a1 9.若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围数的解析式的三种形式一般式顶点式两根式二次函数的零点方程点二次数的图像与轴有一个交无实根二次函数的图像与轴无交点二次函把使成求法代数法求方程的实数根几何法对于不能用求根公式的方程可以将它

8、学习必备 欢迎下载 是 .10.已知关于x的二次函数f(x)x2(2t1)x12t.(1)求证：对于任意tR，方程f(x)1 必有实数根；(2)若12t34，求证：方程f(x)0 在区间(1,0)及(0，12)内各有一个实数根.练 习 1.函数223yxx在闭区间 0,m上有最大值 3，最小值 2，则m的取值范围是（）A.,2 B.0,2 C.1,2 D.1,2.关于 x 的一元二次方程 mx2+(m1)x+m=0 没有实数根,则 m的取值范围是（A）(,1)(31,+)（B）(,31)(1,+)（C）31,1 （D）(31,1)3.若函数2()2f xxxa没有零点，则实数a的取值范围是（）

9、A.1a B.1a C.1a D.1a 4.函数2()lnf xxx的零点所在的大致区间是（）A.1,2 B.2,3 C.11,e和 3,4 D.,e 5.根据表中的数据，可以判定方程20 xex 的一个根所在的区间为（）x 1 0 1 2 3 xe 0.37 1 2.72 7.39 20.09 2x 1 2 3 4 5 A.(1,0)B.0,1 C.1,2 D.2,3 6.已知函数3()2(0)f xxdxmd，若满足(2)(3)0ff，则()f x在区间(2,3)上的零点个数是 （）A、1 B、2 C、至少一个 D、至少二个 数的解析式的三种形式一般式顶点式两根式二次函数的零点方程点二次数

10、的图像与轴有一个交无实根二次函数的图像与轴无交点二次函把使成求法代数法求方程的实数根几何法对于不能用求根公式的方程可以将它学习必备 欢迎下载 7.函数dcxbxaxxf23)(的图象如图所示,则)1()1(ff的值一定 A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.小于或等于 0 11.函数2()261f xxx在区间 1,1上的最小值是_，最大值是_.12.下列四个图像中，是函数图像的是_.13.方程ln280 xx 的根的个数是_个 12.方程xxlg22的实数解的个数为 .13.已知函数()()()1(),()f xxaxbab m n mn 是方程 f(x)=0的两实根，则实数 a,b,m,n的大小关 系是_。17.已知a是实数，函数 axaxxf3222，如果函数 xfy 在区间 1,1上有零点，求a的取值范围.O x y O x y O x y O x y 数的解析式的三种形式一般式顶点式两根式二次函数的零点方程点二次数的图像与轴有一个交无实根二次函数的图像与轴无交点二次函把使成求法代数法求方程的实数根几何法对于不能用求根公式的方程可以将它