2023年初三数学二次函数知识点总结归纳全面汇总归纳及经典习题1.pdf

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1、学习必备 精品知识点 二次函数知识点总结 一.二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2.二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二.二次函数的图像和性质 表达式 (a 0)a 值 图像 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 增减性 最值 y=ax2 a0 向上 y 轴（0，0）当 x0 时，y 随 x的增大而增大 当 x0 时

2、，y 随 x的增大而减小 当 x=0 时，y有最小值，即最小值y=0 a0 向下 y 轴（0，0）当 x0 时，y 随 x的增大而减小 当 x0 时，y 随 x的增大而增大 当 x=0 时，y有最大值，即最大值y=0 y=ax2+k a0 向上 y 轴（0，k）当 x0 时，y 随 x的增大而增大 当 x0 时，y 随 x的增大而减小 当 x=0 时，y有最小值，即最小值y=k a0 向下 y 轴（0，k）当 x0 时，y 随 x的增大而减小 当 x0 时，y 随 x的增大而增大 当 x=0 时，y有最大值，即最大值y=k y=a(x-h)2 a0 向上 直线 x=h（h，0）当 xh 时，y

3、 随 x的增大而增大 当 x0 时，y 随 x的增大而减小 当 x=h 时，y有最小值，即最小值y=0 a0 向下 直线 x=h（h，0）当 xh 时，y 随 x的增大而减小 当 x0 时，y 随 x的增大而增大 当 x=h 时，y有最大值，即最大值y=0 y=a(x-h)2+k a0 向上 直线 x=h（h，k）当 xh 时，y 随 x的增大而增大 当 xh 时，y 随 x的增大而减小 当 x=h 时，y有最小值，即最小值y=k a0 向下 直线 x=h（h，k）当 xh 时，y 随 x的增大而减小 当 xh 时，y 随 x的增大而增大 当 x=h 时，y有最大值，即最大值y=k 学习必备

4、精品知识点 y=ax2+bx+c 可化为：y=a(x+)2ab2+a0 向上 直线x=-ab2（-ab2，abac442）当 x-ab2时，y随 x 的增大而增大 当 x-ab2时，y随 x 的增大而减小 当 x=-ab2时，y 有最小值，最小值y=abac442 a0 向下 直线x=-ab2（-ab2，abac442）当 x-ab2时，y随 x 的增大而减小 当 x-ab2时，y随 x 的增大而增大 当 x=-ab2时，y 有最大值，即 y最大值=abac442 三.二次函数图象的平移 1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式 2ya xhk，确定其顶点坐标hk，；保持抛物线2yax的形状不

5、变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”温馨提示 二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图像间的平移.四.二次函数 2ya xhk与2yaxbxc的比较 从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方

6、可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，五二次函数解析式的三种表示方法 名称 解析式 使用范围 边是函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数值即最小值向下轴当时随的增大而减小当时随的增大而增大当时有最大直线当时随的增大而增大当时随的增大而减小当时有最小值即最小值向学习必备 精品知识点 一般式)0(2acbxaxy 已知任意三个点 顶点式)0()(2akhxay 已知顶点（h，k）及另一点 交点式)0)()(21axxxxay 已知与 x 轴的两个交点及另一个点 温馨提示 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都

7、可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.六二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a【a 决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线开口的大小】当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，a 的值越小，开口越大；当0a 时，抛物线开口向下，a的值越大，开口越大，a的值越大，开口越大 注：|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大 抛物线的形状相同，即|a|相同.2.一次项系数b【由 a

8、 和对称轴共同决定】对称轴在 y 轴的左侧，a，b 同号；对称轴在 y 轴的右侧，a，b 异号.（左同右异 b 为 0 时，对称轴为 y 轴）3.常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 七二次函数图象（抛物线）与 x 轴交点情况的判断：y ax2+bx+c（a0，a、b、c 都是常数）1.=b-4ac0抛物线与 x 轴有两个交点 2.=b-4ac=0抛物线与 x 轴

9、有一个交点 3.=b-4ac0抛物线与 x 轴没有交点 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；当0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 八.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：1.二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解.因此利用二次函数图象可求以 x 为未知数的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解（从图象上进行判断）.2.二次函数 yax2+bx+c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解；在 x 轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不

10、等式 ax2+bx+c0 的解.九.二次函数的应用 二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 二次函数抛物线简单的图形变换（1）顶点式【khxay2)(（a0）】边是函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数值即最小值向下轴当时随的增大而减小当时随的增大而增大当时有最大直线当时随的增大而增大当时随的增大而减小当时有最小值即最小值向学习必备 精品知识点 名称 a 顶点（h，k）平移 a(h，k)左加右减 上加下减 对 称 关于 x 轴对称-a(h，-k)关于 y 轴对称 a(-h，k)关于原点对称-a(-h，-k)旋转（绕顶点旋转 180）-a(h，k)（2）一般式【c

11、bxaxy2（a0）】平移：如将二次函数cbxaxy2向右平移 m(m0)个单位，再向下平移 n（n0）个单位，得到ncbmamxbamaxncmxbmxa222)2()()(y 对称 名称 a、b、c 的变化 解析式变化 关于 x 轴对称 a-a;b-b;c-c y=ax+bx+cy=-ax-bx-c 关于 y 轴对称 a不变；b-b；c不变 y=ax+bx+cy=ax -bx+c 关于原点对称 a-a；b不变；c-c y=ax+bx+cy=-ax+bx-c 注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再根据需要进行求解.二次函数对应练习试题 一.选择题 1.二次函数24

12、7yxx的顶点坐标是()A.(2,11)B.（2，7）C.（2，11）D.（2，3）2.把抛物线22yx 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A.22(1)yx B.22(1)yx C.221yx D.221yx 边是函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数值即最小值向下轴当时随的增大而减小当时随的增大而增大当时有最大直线当时随的增大而增大当时随的增大而减小当时有最小值即最小值向学习必备 精品知识点 3.函数2ykxk和(0)kykx在同一直角坐标系中图象可能是图中的()4.已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示,则下列结论:a,b 同号;当1x 和3x 时,

13、函数值相等;40ab 当2y 时,x的值只能取 0.其中正确的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知二次函数2(0)yaxbxc a的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程20axbxc 的两个根分别是121.3xx和（）A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6.已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点(,)ac bc在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.方程222xxx的正根的个数为（）A.0 个 B.1个 C.2个.3 个 8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y轴交

14、于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为 A.22yxx B.22yxx C.22yxx 或22yxx D.22yxx 或22yxx 二填空题 9二次函数23yxbx的对称轴是2x，则b _.10已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是_.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当 x0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）.12抛物线22(2)6yx的顶点为 C，已知直线3ykx 过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 .13.二次函数2241yxx的图象是由2

15、2yxbxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则 b=,c=.14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB上离中心 M处 5 米的地方，桥的高度是 (取 3.14).三解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30 x,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,52).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随 x 的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式2012hv tgt（0t2），其中重力加速度 g 以

16、 10 米/秒2计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？（2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.第 15 题图 边是函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数值即最小值向下轴当时随的增大而减小当时随的增大而增大当时有最大直线当时随的增大而增大当时随的增大而减小当时有最小值即最小值向学习必备 精品知识点 17.如图，抛物线2yxbxc经过直线3yx 与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（1）求此抛物线的解析式；

17、（2）点 P为抛物线上的一个动点，求使APCS：ACDS5：4 的点 P的坐标。(3)点 M为平面直角坐标系上一点，写出使点 M、A、B、D为平行四边形的点 M的坐标 18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260 元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）（1）当每吨售

18、价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由 19.某商场试销一种成本为 60 元/件的 T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于 40%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）符合一次函数 y=kx+b，且x=70 时，y=50；x=80 时，y=40；（1）求出一次函数 y=kx+b 的解析式（2）若该商场获得利润为 w元，试写出利润 w与销售单价 x 之间的关系式，销售单价定

19、为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？二次函数应用题训练 1.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0 x30).（1）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？（2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？2.如图,已知ABC是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截出一矩形零件 DEFG,使 EF在 BC上,点 D、G分别在边 AB、AC上.问矩形 DEFG 的最大面积是多少?边是函

20、数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数值即最小值向下轴当时随的增大而减小当时随的增大而增大当时有最大直线当时随的增大而增大当时随的增大而减小当时有最小值即最小值向学习必备 精品知识点 FEBGDCA 3.已知锐角ABC中，边BC长为 12，高AD长为 8(1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K 求AKEF的值 设EHx，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值(2)若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在ABC一边上，另两个顶点分别在ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长 4.如图,ABC中

21、,B=90,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒 1cm的速度移动;点 Q从点 B开始,沿着 BC边向点 C以每秒 2cm的速度移动.如果 P,Q 同时出发,问经过几秒钟PBQ的面积最大?最大面积是多少?BQCPA 5.如图,隧道的截面由抛物线 AED 和矩形 ABCD 构成,矩形的长 BC为8m,宽AB为 2m,以BC所在的直线为x 轴,线段 BC的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系.y 轴是抛物线的对称轴,顶点 E到坐标原点 O的距离为 6m.(1)求抛物线的解析式;(2)一辆货运卡车高 4.5m,宽 2.4m,它能通过该隧道吗?(3)如果该隧道内设双行道

22、,为了安全起见,在隧道正中间设有 0.4m 的隔离带,则该辆货运卡车还能通过隧道吗?边是函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数值即最小值向下轴当时随的增大而减小当时随的增大而增大当时有最大直线当时随的增大而增大当时随的增大而减小当时有最小值即最小值向学习必备 精品知识点 【举一反三】如图,隧道的截面由圆弧 AED和矩形 ABCD 构成,矩形的长 BC为 12m,宽 AB为 3m,隧道的顶端 E(圆弧 AED的中点)高出道路(BC)7m.求圆弧 AED所在圆的半径;如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高 6.5m,宽 2.3m,问这辆货运卡车能否通过该隧道.6.如图，一

23、位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.4 m(0,3.5)3.05 mx yO 7.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1 的整数)道

24、篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x 8.某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=1402x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？二次函数专题复习 图像特征与 a、b、c、符号的关系 边是函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数值即最小值向下轴当时随的增大而减小当时随的增大而增大当时有最大直线当时随的增大而增大当时随

25、的增大而减小当时有最小值即最小值向学习必备 精品知识点 1.已知二次函数2yaxbxc，如图所示，若0a，0c，那么它的图象大致是（）2.已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点(ac，bc)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知二次函数2yaxbxc的图象如下，则下列结论正确的是 （）A.0ab B.0bc D.0abc-+0；c0；b2-4ac0，其中正确的个数是（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 5.二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 1，则点 M（b，ac）在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.二次函数2

26、yaxbxc的图象如图所示，则（）A.a0，b-4ac0 B.a0，b-4ac0 C.a0，b-4ac0 D.a0，b-4ac0 边是函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数值即最小值向下轴当时随的增大而减小当时随的增大而增大当时有最大直线当时随的增大而增大当时随的增大而减小当时有最小值即最小值向学习必备 精品知识点 7.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A.ac 0 B.a-b+c0 C.b=-4a D.关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1，x2=5 8.已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b2-4ac0；abc0；8a+c0；9a+3b+c0 其中，正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 边是函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数值即最小值向下轴当时随的增大而减小当时随的增大而增大当时有最大直线当时随的增大而增大当时随的增大而减小当时有最小值即最小值向