2023年初中数学竞赛题典--整除.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 初中数学竞赛题典 数的整除 题 l 所有四位数中，有（）个数能同时被入 3，5，7 和 11 整除？（A）l（B）2（C）3（D）4 题 2 设 n 是 100 到 200 之间的自然数，则满足 7n2 是 5 的倍数的。共有（）个 题 3 一个六位数1991ab能被 12 整除，这样的六位数共有多少个 （A）4（B）（C）8（D）12 题 4 已知 7241 可被 40 至 50 之间的两个整数整除，这两个整数是（），优秀学习资料 欢迎下载 题 6 n 是一个两位数，它的数码之和为 a当 n 分别乘以 3，5，79 以后得到 4 个乘积如果其每一个积的数码之和仍为 a

2、，那么，这样的两位数 n 有（）题 8 设某个 n 位正整数的 n 个数宇是 1，2，n 的一个排列，如果它的前 k 个数字所组成的整数能被 k 整除，其中 k1，2，n，那么就这个 n 位数为一个“好数”例如，321 就是一个三位“好数”，因为 1 整除 3，2 整除 32，3 整除 321那么六位“好数”的个数为（）个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 9 能被 11 整除的最小的九位数是 题 12 在自然数 1，2

3、，3，1990，1991 中不能披 7 整除的数有（）个 个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 13 将自然数 N 接写在任意一个自然数的右面（例如，将 2 接写在 35 的右面得 352），如果得到的新数都能被 N 整除，那么 N 称为魔术数，在小于 l30 的自然数中，魔术数的个数为（）题 14 在所有的五位数中，各位数字之和等于 43 且能被 11 整除的数是（）。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码

4、之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 15 定义：如果 n 个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两数的积能被这两数的和整除那么，叫这组数为 n 个数的祖冲之数组。例如：60，120，180 这三个数就构成一个三个数的祖冲之数组，（因（60120）（60120），（60180）（60180），（120180）（120180）都是整数）请你写出一组四个数的祖冲之数组 题 16 设 a、b、c 为整数，且 ab 和 ab 均可被 c 整除，求怔：a3b3可被 c2整除 个整

5、数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 17 设 a、b、c 为正整数，求证：a3（bc）b3（ca）c3（ab）可被 abc 整除 题 19 一个魔方是由自然数组成的正方形网格。它有如下性质：每一行，每一列及两条对角线上的数的和都相同，这个值称为魔方和。求证：每一个 33 大小的魔方的魔方和都能被 3 整除。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整

6、除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 20 求证：如果两个不可约分数的和是整数，那么这两个分数的分母相同。题 21 设 a 和 b 为自然数，使得 a2ab1 可被 b2ba1 整除，求证：ab。题 22 自然数 a、b、c、d 都可以被 abcd 整除，其中 abcd0。求证：abcd1。题 23 使求出所有这样的自然数 n，使得 n33 可被 n3 整除。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整

7、除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 26 圆上有 9 个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到一个 9 位数并且能被 27 整除。求证：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个 9 位数也能被 27 整除。题 27 任意给定一个自然数 A，把 A 的各位数字按逆序写出来，形成一个新的自然数 A。试证：AA是 9 的倍数。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 28 设 n 是正奇数，试证：

8、1n2n9n3（1n6n8n）能被 18 整除。题 29 求证：20001001L1442 44 3个被 1001 整除。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 30 求证：7|（2222555555552222）。题 31 求证：对任何自然数，数（2n1）n3 都可被 2n3 整除。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例

9、如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 33 给定自然数 a，b 和 n，已知对任何自然数 k（k0），数 akn能被 bk 整除，证明：abn。题 34 设 k 为正奇数，证明 12n 整除（1k2knk）。题 35 求证：467|512367537203。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 36 已知最简分数mn可以表示成1111231992mn L。试证：分子 m 是质数 199

10、3的倍数。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 37 设 p 与 q 是自然数，满足111112313181319pq L。求证：p 可被质数 1979整除。题 38 设 p 为奇质数，求证：1111231apb L的分子 a 是 p 的倍数。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整

11、除那么优秀学习资料 欢迎下载 个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 39 给定11112320mn L，其中mn是不可约分数，试证：m 能被 5 整除。题 40 试证：将和11112340 L写成一个最简分数mn时，m 不会是 5 的倍数。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那

12、么优秀学习资料 欢迎下载 题 41 设 n 是正偶数，求证：（2n1）不整除（3n1）。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 42 试证：对每一个自然数 n，数 1199721997n1997不能被 n2 整除。题 46 一个自然数 a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数 b，如果 a 恰是 b 的 3 被，我们称 a 是一个“希望数”。（1）请举例说明：“希望数”一定存在。（2）请证明：如果 a，b 都是“希望数”，

13、则一定有 729|ab。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 47 求证：对任何自然数 n，都有 120|n55n34n。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 48 求证：n（n21）（n25n26）可以被 120 整除。题 49 试证：n2（n2

14、1）（n24）可以被 360 整除。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 50 设 n 是任意自然数，求证：375315nnnn是整数。题 51 若干个整数的和能被 6 整除，求证：这些数的立方和也能被 6 整除。题 52 今有 6 根金属棒，每根的长度都是 1m，能否将它们锯成 10 根 27cm 长、12 根 15cm长和 25 根 6cm 长的短棒？（锯棒时的损耗可忽略不计）个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位

15、数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 53 柯楼南契大蛇有 1000 个头。神话中的大力士能一次用剑看去 1，17，21 或 33 个头，但是大蛇又相应地生出 10，14，0 或 48 个头。问大力士能战胜柯楼南契大蛇吗？题 54 一天我发现了如下的魔术钱币机：如果我放入一枚一分的硬币，出来一枚 5 分硬币和一枚一角硬币；如果我放进一枚 5 分硬币，机器给出四角硬币，而如果我放如一枚一角硬币，我取回 3 枚一分的硬币我用一枚一分的硬币开始，反复进行以上过程，能

16、出现我刚好有一美元硬币的机会吗？验证答案 题 55 是否存在两个不等于 0 的整数 a 和 b，其中之一可被它们的和整除，另一个可被它们的差整除？个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 56 一个凸 n 边形被划分成黑、白两色的若干个三角形，使得任意两个三角形要么有公共的边（这时它们染不同颜色），要么有公共顶点，要么没有公共顶点。而多边形的每条边都是某个黑色三角形的边。证明：3|n。题 57 求证：不存在整数 a、b、c、

17、d，使当 x19 时，ax3bx2cxd1，以及当 x62时，ax3bx2cxd2。个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 题 58 公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前三个数字之和等于后三个数字之和，刚称这张车票是幸运的试证：所有幸运车票号码的和能被 13 整除，题 59 某商场向顾客发放 9999 张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从 0001到 9999 号如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”例如号码 0734，因 0734，所以这个号码的购物券是幸运券试证：这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被 101 整除 个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么优秀学习资料 欢迎下载 个整数是优秀学习资料欢迎下载题是一个两位数它的数码之和为当分别中那么就这个位数为一个好数例如就是一个三位好数因为整除整除整除个自然数的右面例如将接写在的右面得如果得到的新数都能被整除那么