2023年分式方程的解法及应用基础超详细导学案+习题1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程 2.会列出分式方程解简单的应用问题【要点梳理】要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方

2、法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于 0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

3、产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是 0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分

4、式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.学习必备 欢迎下载【典型例题】类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（）A3214312xx B124111xxxxx C21305xx Dxaxab，（a，b为非零常数）【答案】B；【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这

5、三个方程都不是分式方程，只有 B项中的方程符合分式方程的定义【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数 类型二、解分式方程 2、解分式方程（1）1052211 2xx；（2）225103xxxx【答案与解析】解：（1）1052211 2xx，将方程两边同乘(21)x，得 10(5)2(21)x 解方程，得74x 检验：将74x 代入21x，得52102x 74x 是原方程的解（2）225103xxxx，方程两边同乘以(3)(1)x xx，得5(1)(3)0 xx 解这个方程，得2x 检验：把2x 代入最简公分母，得 251100 原方程的解是2x 【总结

6、升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根 举一反三：【变式】解方程：21233xxx【答案】方程要点诠释分式方程的重要特征是等式方程里含有分母分母中含有未式方程和整式方程的联系分式方程可以转化为整式方程要点二分式方程零的根这种根叫做原方程的增根因为解分式方程时可能产生增根所以解学习必备 欢迎下载 解：21233xxx，方程两边都乘3x，得212(3)xx ，解这个方程，得3x，检验：当3x 时，30 x，3x 是增根，原方程无解 类型三、分式方程的增根【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3（1）】3、m为何

7、值时，关于x的方程223242mxxxx会产生增根？【思路点拨】若分式方程产生增根，则(2)(2)0 xx，即2x 或2x ，然后把2x 代入由分式方程转化得的整式方程求出m的值【答案与解析】解：方程两边同乘(2)(2)xx约去分母，得2(2)3(2)xmxx 整理得(1)10mx 原方程有增根，(2)(2)0 xx，即2x 或2x 把2x 代入(1)10mx，解得4m 把2x 代入(1)10mx，解得6m 所以当4m 或6m 时，方程会产生增根【总结升华】处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解 举一反三：【变式】如果方程11322xxx 有增根，

8、那么增根是_【答案】2x；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母20 x 或20 x 可得2x 所以增根是2x 类型四、分式方程的应用 4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树，甲班种60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等【答案与解析】方程要点诠释分式方程的重要特征是等式方程里含有分母分母中含有未式方程和整式方程的联系分式方程可以转化为整式方程要点二分式方程零的根这种根叫做原方程的增根因为解分式方程时可能产生增根所以解学

9、习必备 欢迎下载 解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种 2x棵树 由题意可得60662xx，解这个方程，得20 x 经检验20 x 是原方程的根且符合题意 所以222x(棵)答：甲班每小时种 20 棵树，乙班每小时种 22 棵树【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含x的分式表示甲、乙两班种树所用的时间 举一反三：【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成哪个队的施工速度快?【答案】解：设乙队单独施工 1 个月能完成工程的1x，总工程量为 1 根据工程的实际进度，得1111362x 方程两边同时

10、乘以6x，得236xxx 解这个方程得1x 检验：当1x 时，6x60，所以1x 是原分式方程的解 由上可知，若乙队单独工作 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月完成任务的13，可知乙队施工速度快 答：乙队施工速度快【巩固练习】一.选择题 1下列关于x的方程中，不是分式方程的是（）A11 xx B4132xx C52433xx D6516xx 2解分式方程12112xx，可得结果()A.1x B.1x C.3x D.无解 3要使54xx的值和xx424的值互为倒数，则x的值为()A.0 B.1 C.21 D.1 4已知4321yyxx，若用含x的代数式表示y，则以下结果正确的是()A.

11、310 xy B.2yx C.310 xy D.72yx 方程要点诠释分式方程的重要特征是等式方程里含有分母分母中含有未式方程和整式方程的联系分式方程可以转化为整式方程要点二分式方程零的根这种根叫做原方程的增根因为解分式方程时可能产生增根所以解学习必备 欢迎下载 5若关于x的方程xkx1113有增根，则k的值为()A.3 B.1 C.0 D.1 6完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的 80，所需要的时间是()A.)(54ba 小时 B.)11(54ba小时 C.)(54baab小时 D.baab小时 二.填空题 7.当x_时，分式3x与26x的值互为相反数 8

12、仓库贮存水果a吨，原计划每天供应市场m吨，若每天多供应 2 吨，则要少供应_天 9x_时，两分式44x与13x的值相等 10当a_时，关于x的方程4532xaax的根是 1 11若方程114112xxx有增根，则增根是_ 12关于x的方程11xa的解是负数，则a的取值范围为_ 三.解答题 13.解下列分式方程：（1）11322xxx；（2）257233212xxxxx；（3）2210121xxxx 14.甲、乙两地相距 50km，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城已知汽车的速度是自行车速度的 2.5 倍，B中途休息了 0.5 小时还比 A早到 2 小时，求自行车和汽车的速度 15.有一

13、个两位数，它的个位数字比十位数字大 1，这个两位数被个位数字除时，商是 8，余数是 2，求这个两位数 【答案与解析】一.选择题 1.【答案】C；【解析】C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.2.【答案】D；【解析】1x 是原方程的增根.3.【答案】B；【解析】由题意442154xxxx，化简得：2415xx解得1x .方程要点诠释分式方程的重要特征是等式方程里含有分母分母中含有未式方程和整式方程的联系分式方程可以转化为整式方程要点二分式方程零的根这种根叫做原方程的增根因为解分式方程时可能产生增根所以解学习必备 欢迎下载 4.【答案】C；【解析】由题意 1423xyxy ，化简得：310yx

14、，所以选 C.5.【答案】A；【解析】将1x 代入31xk，得3k.6.【答案】C；【解析】由题意4114()55ababab，所以选 C.二.填空题 7.【答案】18；【解析】3206xx，解得18x.8.【答案】222amm；【解析】原计划能供应am天，现在能供应2am天，则少供应222amm天.9.【答案】8；【解析】4341xx，解得8x .10.【答案】173；【解析】将1x 代入原方程，得85512aa，解得173a .11.【答案】1x；【解析】原方程化为：22141xx，解得1x，经检验1x 是增根.12.【答案】1a 且 a0；【解析】原方程化为110axxa ，解得1a.x

15、-1，解得 a0.三.解答题 13.【解析】解：(1)方程的两边都乘2x，得11 3(2)xx 解这个整式方程，得x2 检验：当x2 时，x20，所以 2 是增根，所以原方程无解(2)方程两边同乘(2)(1)xx约去分母，得572(2)3(1)xxx 整理，得5757xx 这个式子为恒等式.检验：当1x，2x 时，(2)(1)0 xx，所以1x 和2x 是增根 因此，原方程的解是1x 且2x 的任何实数(3)方程两边同乘(2)(1)(1)xxx，方程要点诠释分式方程的重要特征是等式方程里含有分母分母中含有未式方程和整式方程的联系分式方程可以转化为整式方程要点二分式方程零的根这种根叫做原方程的增

16、根因为解分式方程时可能产生增根所以解学习必备 欢迎下载 得(2)2(1)(1)(2)(1)0 x xxxxx 解此方程，得45x 检验：把45x 代入(2)(1)(1)xxx 得4442110555 ，所以原方程的解是45x 14.【解析】解：设自行车的速度为/xkm h，汽车的速度为2.5/xkm h，由题意，50500.522.5xx，解方程得：125506.25x 12x 经检验，12x 是原方程的根，2.530 x.所以自行车的速度为 12/km h，汽车的速度是 30/km h.答：自行车的速度为 12/km h，汽车的速度是 30/km h.15.【解析】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为1x，则：10(1)281xxx 解方程得：3x 经检验：3x 是原方程的根 所以个位上的数字为：1x314 所以这个两位数是：310434 答：这个两位数是 34 方程要点诠释分式方程的重要特征是等式方程里含有分母分母中含有未式方程和整式方程的联系分式方程可以转化为整式方程要点二分式方程零的根这种根叫做原方程的增根因为解分式方程时可能产生增根所以解