2023年初中数学总复习《四边形》精品提高测试.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 四边形提高测试（一）选择题（每小题 4 分，共 32 分）1 若一个多边形的内角和是外角和的 5 倍，则这个多边形的边数是（）（A）9 （B）10 （C）11 （D）12【提示】为了便于计算，设每个内角都相等，那么每个内角是每个外角的 5 倍【答案】D 2 已知菱形ABCD的两条对角线之和为l，面积为S，则它的边长为（）（A）2421lS （B）221lS （C）Sl4212 （D）Sl 2421【提示】设两对角线长的一半为a与b，则S2 ab，l2（ab），边长为22ba 利用a2b2(ab)22 ab【答案】C 3如图，矩形ABCD的边长AB6，BC8，将矩形沿EF

2、折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）（A）75 （B）6 （C）10 （D）5 【提示】设AEx，则ED8x，CEx，用勾股定理列出方程x2(8 x)262，解出x425，而OA21AC5【答案】A 4已知：如图，在ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF 于G、H，并有下列结论：（1）BEDF；（2）AGGHHC；（3）EG21BG；（4）SABE3 SAGE 其中正确的结论有（）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个【提示】BG2 FH2 GE【答案】D 5如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点，ABAE4，BC2，则BEC是（）（A）15

3、（B）30 （C）60 （D）75 【提示】作EFAB于F点，则由AE2 BC2 EF，得知EAB30【答案】D 6顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则原图形一定是（）（A）菱形 （B）对角线相等的四边形（C）对角线垂直的四边形 （D）对角线垂直且互相平分的四边形 优秀学习资料 欢迎下载【答案】C 7如图，周长为 68 的矩形ABCD被分成 7 个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）（A）98 （B）196 （C）280 （D）284 【提示】设小矩形的长为x，宽为y，则有 yxyx526874 x10，y4 xy40【答案】C 8如图，在ABCD中，EFBC，GHAB，EF、GH的交

4、点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）（A）0 对 （B）1 对 （C）2 对 （D）3 对 【提示】由SBPESBPH，SPDGSPDF和SABDSCBD可知有一边过P点的 3 对平行四边形面积相等【答案】D（二）填空题（每小题 3 分，共 18 分）9一个多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为 500，那么这个多边形的边数是_【提示】由于五边形内角和为 540500，所以多边形的边数不可能超过 5显然它不可能是三角形因此分四边形、五边形两种情况验证是否存在符合要求的图形【答案】4 或 5 10如图，P是ABCD内的一点，ABCDAPBSS平行四边形三角形32，则ABCDCPDSS

5、平行四边形三角形_ 【提示】过P点分别作AB和BC的平行线，与ABCD的边相交，找出 4 对全等三角形 由此可见，ABP与CDP的面积之和为ABCD面积的一半【答案】101 11用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰三角形 等边三角形 其中一定能够拼成的图形是_（只填题号）【答案】为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 12如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么在图形所在

6、平面内，可以作为旋转中心的点的个数为_ 【提示】施转中心必须在公共边CD上【答案】3 13如图，梯形ABCD中，ABP的面积为 20 平方厘米，CDQ的面积为 35 平方厘米，则阴影四边形的面积等于_平方厘米 【提示】连结MNSMNPSABP，SMNQSCDQ【答案】55 14如图，将边长为 1 的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转 30，至正方形 ABCD，则旋转前后正方形重叠部分的面积是_ 【提示】设CD与BC的交点为M，则AM为两正方形的对称轴又设MDx，则AM2 x，用勾股定理列方程并解之即可【答案】33（三）计算题（每小题 6 分，共 12 分）15如图，一个等腰梯形的两条对角线互

7、相垂直，且中位线长为l，求这个等腰梯形的高 【提示】如下图，过B点作AC的平行线 【答案】过B作BGAC，交DC的延长线于G点 在梯形ABCD中，ABDC，四边形ABGC为平行四边形 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 CGAB，BGAC EF为梯形中位线，DGDCAB2 EF2 l ACBD且ACBD BGBD且BGBD BDG为等腰直角三角形 高BH21DGl 16如图，矩形纸片ABCD中，AB3 cm，BC4 cm现

8、将A，C重合，使纸片 折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分AEF的面积 【提示】把AF取作AEF的底，AF边上的高等于AB3 由折叠过程知，EF经过矩形的对称中心，FDBE，AECEAF由此可以在 ABE中使用勾股定理求AE，即求得AF的长 【答案】如图，连结AC，交EF于点O，由折叠过程可知，OAOC，O点为矩形的对称中心E、F关于O点对称，B、D也关于O点对称 BEFD，ECAF，由EC折叠后与EA重合，ECEA 设AFx，则BEFDADAF4x，AEAFx 在RtABE中，由勾股定理，得 AB2BE2AE2，即 32(4 x)2x2 解得 x825 SAEF2138251675

9、（cm2）故AF的长为825cm，AEF的面积为1675cm2（四）证明题（每小题 5 分，共 20 分）17已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，过C作CEAB且CEAB，连结 DE交BC于F求证：DFEF 【提示】连结AE交BC于O，要证DFEF，因为ADBC，所以只要证OAOE，只要证四边形ABEC为平行四边形 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载【答案】连结AE交BC于O点，CEAB，四边形ABEC为平行四边形，OA

10、OE 又 ADBC，DFEF 18如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BEED，P是对角线BD上任意一点，PFBE，PGAD，垂足分别为F、G求证：PFPGAB 【提示】延长GP交BC于H，只要证PHPF即可，所以只要证PBFPBH【答案】BEDE，EBDEDB 在矩形ABCD中，ADBC，DBCADB，EBDCBD 延长GP交BC于H点 PGAD，PHBC PFBE，P是EBC的平分线上 PFPH 四边形ABHG中，AABHBHGHGA90 四边形ABHG为矩形，ABGHGPPHGPPF 故 PFPGAB 19如图，在梯形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，MEAN交BC

11、于点E，求证AMNE 【提示】延长AN交BC延长线于点F证明NE为ABF的中位线【答案】延长AN交BC的延长线于点F，DNCN，ANDFNC，又由ADBC，得ADNFCN，ADNFCN ANNF AMBM且MEAF，BEEF NE为ABF的中位线，NE21ABAM 20已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上 求证：AE、AF把BAC三等分 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 【提示】证出

12、CAE30即可【答案】连结BD，交AC于点O，作EGAC，垂足为G点 四边形AEFC为菱形，EFAC GEOB 四边形ABCD为正方形，OBAC，OBGE，AEAC，OB21BD21AC，EG21AE，EAG30 BAE15 在菱形AEFC中，AF平分EAC，EAFFAC21EAC15 EABFAEFAC 即AE、AF将BAC三等分（五）解答题（每小题 6 分，共 18 分）21如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，MCN为定角，连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则CME与CNF在M、N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论 【提示】BD为正方形AB

13、CD的对称轴，13，24，用1 和2 表示MCN以及EMCFNC【答案】BD为正方形ABCD的对称轴，13，24，EMC1801318021 同理 FNC18022 EMCFNC3602（12）MCN180（12），EMCFNC总与 2MCN相等 因此EMCFNC始终为定角，这定角为MCN的 2 倍 22如图（1），AB、CD是两条线段，M是AB的中点，SDMC、SDAC和SDBC分别 表示DMC、DAC、DBC的面积当ABCD时，有 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等

14、的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 SDMC2DBCDACSS （1）如图（2），若图（1）中ABCD时，式是否成立？请说明理由（2）如图（3），若图（1）中AB与CD相交于点O时，SDMC与SDAC和SDBC有何种相等关系？证明你的结论 图（1）图（2）图（3）【提示】DAC，DMC 和DBC 同底CD，通过它们在CD 边上的高的关系，来确定它们面积的关系【答案】（1）当ABCD时，式仍成立 分别过A、M、B作CD的垂线，AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F M为AB的中点，MN21（AEBF）SDACSDBC21DCAE21DCBF21DC（AEBF）2 SDMC SDMC

15、2DACDBCSS （2）对于图（3）有SDMC2DACDBCSS 证法一：M是AB的中点，SADMSBDM，SACMSBCM，SDBCSBDMSBCMSDMC，SDACSADMSACMSDMC 得：SDBCSDAC2 SDMC SDMC2DACDBCSS 证法二：如右图，过A作CD的平行线l，MNl，垂足为N，BEl，垂足为E设A、M、B到CD的距离分别h1、h0、h2则MNh1h0，BEh2h1 AMBM，BE2 MN h2h12（h1h0），h0212hh SDMC2DACDBCSS 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点

16、则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 23已知：如图，ABC中，点O是AC上边上一个动点，过点O作直线MNBC，MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证EOFO（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论 【提示】（1）证明OEOCOF；（2）O点的位置首先满足四边形AECF是平行四边形，然后证明它此时也是矩形【答案】（1）CE平分BCA，BCEECO 又 MNBC，BCECEO ECOCEO OEOC 同理 OCOF OEOF（2）当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形，证明

17、如下：OEOF，又O是AC的中点，即 OAOC，四边形AECF是平行四边形 CE、CF分别平分BCA、ACD，且BCAACD180，ECFECOOCF21（BCAACD）90 AECF是矩形 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 平行四边形是一种极重要的几何图形这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研

18、究上有着广泛的应用 由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边相等；(3)平行四边形对角线互相平分 除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例 1 如图 2-32 所示在ABCD 中，AE BC，CFAD，DN=BM 求证：EF与 MN互相平分 分析 只要证明 ENFM 是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手 证 因为 ABCD 是平行四边

19、形，所以 ADBC，ABCD，B=D 又 AE BC，CFAD，所以 AECF是矩形，从而 AE=CF 所以 RtABE RtCDF(HL，或 AAS)，BE=DF 又由已知 BM=DN，所以 BEM DFN(SAS)，ME=NF 又因为 AF=CE，AM=CN，MAF=NCE，所以 MAF NCE(SAS)，所以 MF=NF 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 由，四边形 ENFM 是平行四边形，从而对角线 EF与 MN

20、互相平分 例 2 如图 2-33 所示RtABC中，BAC=90，AD BC于 D，BG平分ABC，EFBC且交 AC于 F求证：AE=CF 分析 AE 与 CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系若作 GH BC于 H，由于 BG是ABC的平分线，故 AG=GH，易知ABG HBG 又连接 EH，可证ABE HBE，从而 AE=HE 这样，将 AE“转移”到 EH位置设法证明 EHCF 为平行四边形，问题即可获解 证 作 GH BC于 H，连接 EH 因为 BG是ABH 的平分线，GA BA，所以 GA=GH，从而 ABG HBG(AAS)，所以 AB=HB 在ABE及HBE中

21、，ABE=CBE，BE=BE，所以 ABE HBE(SAS)，所以 AE=EH，BEA=BEH 下面证明四边形 EHCF 是平行四边形 因为 AD GH，所以 AEG=BGH(内错角相等)又AEG=GEH(因为BEA=BEH，等角的补角相等)，AGB=BGH(全等三角形对应角相等)，所以 AGB=GEH 从而 EH AC(内错角相等，两直线平行)由已知 EFHC，所以 EHCF 是平行四边形，所以 FC=EH=AE 说明 本题添加辅助线GH BC的想法是由BG为ABC 的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形 ABG与HBG 继而发现ABE HBE，完成了

22、 AE的位置到 HE位置的过渡这样，证明 EHCF 是平行四边形就是顺理成章的了 人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 例 3 如图 2-34 所示ABCD 中，DE AB于 E，BM=MC=DC求证：EMC=3 BEM 分析 由于EMC 是BEM 的外角，因此EMC=B+BEM 从而，应该有B=2BEM，这个论断在BEM内很难发现，因此，应设法通

23、过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决利用平行四边形及 M为 BC中点的条件，延长 EM与 DC延长线交于 F，这样B=MCF及BEM=F，因此，只要证明MCF=2F 即可不难发现，EDF为直角三角形(EDF=90)及 M为斜边中点，我们的证明可从这里展开 证 延长 EM交 DC的延长线于 F，连接 DM 由于 CM=BM，F=BEM，MCF=B，所以 MCF MBE(AAS)，所以 M是 EF的中点由于 AB CD及 DE AB，所以，DE FD，三角形 DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知 F=MDC，又由已知 MC=CD，所以 MDC=CMD，

24、则 MCF=MDC+CMD=2 F 从而 EMC=F+MCF=3 F=3BEM 例 4 如图 2-35 所示矩形 ABCD 中，CE BD于 E，AF平分BAD交 EC延长线于 F求证：CA=CF 分析 只要证明CAF是等腰三角形，即CAF=CFA即可由于CAF=45-CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与CAD相等的角 a，使得CFA=45-a为此，延长 DC交 AF于 H，并设 AF与 BC交于 G，我们不难证明FCH=CAD 证 延长 DC交 AF于 H，显然FCH=DCE 又在 RtBCD中，由于 CE BD，故DCE=DBC 因为矩形对角线相等，所以DCB CDA，从而DBC

25、=CAD，因此，FCH=CAD 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 又 AG平分BAD=90，所以ABG是等腰直角三角形，从而易证HCG 也是等腰直角三角形，所以CHG=45 由于CHG 是CHF的外角，所以 CHG=CFH+FCH=45，所以 CFH=45-FCH 由，CFH=45-CAD=CAF，于是在三角形 CAF中，有 CA=CF 例 5 设正方形 ABCD 的边 CD的中点为 E，F 是 CE的中点(图 2-36

26、)求证：分析 作BAF的平分线，将角分为1 与2 相等的两部分，设法证明DAE=1 或2 证 如图作BAF的平分线 AH交 DC的延长线于 H，则1=2=3，所以 FA=FH 设正方形边长为 a，在 RtADF中，从而 所以 Rt ABG RtHCG(AAS)，从而 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 RtABG RtADE(SAS)，例 6 如图 2-37 所示正方形 ABCD 中，在 AD的延长线上取点 E，F，使 D

27、E=AD，DF=BD，连接 BF分别交CD，CE于 H，G求证：GHD 是等腰三角形 分析 准确地画图可启示我们证明GDH=GHD 证 因为 DEBC，所以四边形 BCED 为平行四边形，所以1=4又 BD=FD，所以 所以 BC=GC=CD 因此，DCG为等腰三角形，且顶角DCG=45，所以 又 所以 HDG=GHD，从而 GH=GD，即GHD 是等腰三角形 练习十二 1如图 2-38 所示DE AC，BFAC，DE=BF，ADB=DBC 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于

28、点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 2如图 2-39 所示在平行四边形 ABCD 中，ABE和BCF都是等边三角形求证：DEF是等边三角形 3如图 2-40 所示ABCD 中，AF平分BAD交 BC于 F，DE AF交 CB于 E求证：BE=CF 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设优秀学习资料 欢迎下载 4如图 2-41 所示矩形 ABCD 中，F在 CB延长线上，AE=EF，CF=CA 求证：BE DE 5如图 2-42 所示在正方形 ABCD 中，CE垂直于CAB的平分 为则它的边长为提示设两对角线长的一半为与则边长为用答案如图矩形论有个个个个提示答案如图为矩形的边上的一点则是提示作于点则由知下载答案如图周长为的矩形被分成个全等的矩形则矩形的面积为提示设