2023年初三解直角三角形知识点总结归纳和练习题1.pdf
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1、名师总结 优秀知识点 中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余:可表示如下:C=90A+B=90 2、在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2b2c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ABCabc弦股勾 勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a,b,c 有下面关系:a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形。考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直
2、角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。(经典直角三角形:勾三、股四、弦五)用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:(1)确定最大边(不妨设为c);(2)若c2a2b2,则ABC是以C为直角的三角形;若a2b2c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边);若a2b2c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)4.勾股定理的作用:(1)已知直角三角形的两边求第三边。(2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。(
3、3)用于证明线段平方关系的问题。(4)利用勾股定理,作出长为n的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图,在ABC中,C=90 锐角 A的对边与斜边的比叫做A的正弦,记为 sinA,即casin斜边的对边AA 锐角 A的邻边与斜边的比叫做 A的余弦,记为 cosA,即cbcos斜边的邻边AA 锐角 A的对边与邻边的比叫做 A的正切,记为 tanA,即batan的邻边的对边AAA 锐角 A的邻边与对边的比叫做 A的余切,记为 cotA,即abcot的对边的邻边AAA 名师总结 优秀知识点 2、锐角三角函数的概念 锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值
4、 三角函数 30 45 60 sin 21 22 23 cos 23 22 21 tan 33 1 3 cot 3 1 33 4、各锐角三角函数之间的关系(1)互余关系:sinA=cos(90 A),cosA=sin(90 A);(2)平方关系:1cossin22AA(3)倒数关系:tanAtan(90 A)=1(4)商(弦切)关系:tanA=AAcossin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在 090之间变化时,(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);(2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);(3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);(4)余切值随着角度
5、的增大(或减小)而减小(或增大)考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据 在 RtABC中,C=90,A,B,C所对的边分别为 a,b,c(1)三边之间的关系:222cba(勾股定理)(2)锐角之间的关系:A+B=90(3)边角之间的关系:正弦 sin,余弦 cos,正切 tan(4)面积公式:(hc 为 c 边上的高)考点五、解直角三角形 应用 1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解 2、仰角、
6、俯角、坡面 知识点及应用举例:(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角 :ihlhl边长分别为斜边长为那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平直角三角形的判定有一个角是直角的三角形是直角三角形有两个角互余角三角形经典直角三角形勾三股四弦五用它判断三角形是否为直角三角名师总结 优秀知识点(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示,即hil。坡度一般写成1:m的形式,如1:5i 等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角),那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图 3,OA、OB
7、、OC、OD的方向角分别是:45、135、225。练习题 1矩形的边长分别为a与b,则两条对角线长的和是()A.2ab B.222 ab C.22 a b D.22 ab 2在ABC中,90C,AB=2,AC=1,则sin B的值是()A.12 B.22 C.32 D.2 3如图,在矩形 ABCD 中,DE AC于 E,设ADE,且35cos,AB=4,则 AD的长为()A.3 B.163 C.203 D.165 4在高出海平面 100 米的山岩上一点 A,看到一艘船 B的俯角为 300,则船与山脚的水平距离为()A.50 米 B.200米 C.1003米 D.33100米 5在Rt ABC中
8、,90C,AB的坡度 i=1:2,那么 BC:CA:AB等于()A1:2:5 B1:3:2 C1:3:5 D1:2:5 6在ABC中,90C,a,b,c分别为A,B,C 的对应边,23cos B,1a,则b 7计算:(1)32tan 45 (2)21632sin30.(3)21sin 4527320066tan302 边长分别为斜边长为那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平直角三角形的判定有一个角是直角的三角形是直角三角形有两个角互余角三角形经典直角三角形勾三股四弦五用它判断三角形是否为直角三角名师总结 优秀知识点 8.在等腰ABC中,AB=AC,如果 AB=2BC,画图并计算C的四个三
9、角函数值?9如图所示,已知:在ABC中,60A,45B,AB=8,求ABC的面积(结果可保留根号)10.已知为锐角,且1sincos5,求s i nc os的值 11.如图,小明想测量塔 BC的高度。他在楼底 A处测得塔顶 B的仰角为60;爬到楼顶 D处测得大楼 AD的高度为 18 米,同时测得塔顶 B的仰角为30,求塔 BC的高度。12.一张宽为 4,长为 5 的矩形纸片 ABCD,沿对角线 BD对折,点 C落在点C位置,BC交 AD于 G,求AG的长。GABDCC 附加题 1.如图,在 RtABC中,C=90,BC=4,AC=3,CD AB于 D,设ACD=,则 cos 的值为()A45
10、B34 C43 D35 CAB边长分别为斜边长为那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平直角三角形的判定有一个角是直角的三角形是直角三角形有两个角互余角三角形经典直角三角形勾三股四弦五用它判断三角形是否为直角三角名师总结 优秀知识点 2.菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,AOC=450,OC=2,则点 B的坐标为()A.(21,)B.1,2,C.21,1 D.1,21 3.如图,已知 ABC中,ABC=900,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线123,l l l上,且12,l l之间的距离为 2,23,l l之间的距离为 3,则 AC的长是()A.2 17 B.2
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