2023年函数的基本性质精品讲义1.pdf

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1、优秀教案 欢迎下载 我的函数的基本性质教案 1.函数的单调性(1)设 2121,xxbaxx那么 1212()()()0 xxf xf x baxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf x baxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy 在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.注：如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数;如果函数)(ufy 和)(xgu 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(xgfy 是增函

2、数.2.奇偶函数的图象特征 函数奇偶性的判定 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 注：若函数)(xfy 是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.注：对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy 的图象关于直线2bax对称.注：若)()(axfxf,则 函 数)(xfy 的 图 象 关 于 点)0,2(a对 称;若)()(axfx

3、f,则函数)(xfy 为周期为a2的周期函数.3.多项式函数110()nnnnP xa xaxa 的奇偶性 多项式函数()P x是奇函数()P x的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x是偶函数()P x的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数()yf x的图象的对称性(1)函数()yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)()faxf x.(2)函数()yf x的图象关于直线2abx对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx.4.两个函数图象的对称性(1)函数()yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x(即y轴)对称.(2)函数()y

4、f mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称.优秀教案 欢迎下载(3)函数)(xfy 和)(1xfy的图象关于直线 y=x 对称.25.若将函数)(xfy 的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.5.互为反函数的两个函数的关系 abfbaf)()(1.27.若函数)(bkxfy存在反函数,则其反函数为)(11bxfky,并不是)(1bkxfy,而函数)(1bkxfy是)(1bxfky的反函数.6.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f xcx,()()(),(1)f xyf

5、xf yfc.(2)指数函数()xf xa,()()(),(1)0f xyf x f yfa.(3)对数函数()logaf xx,()()(),()1(0,1)f xyf xf yf aaa.(4)幂函数()f xx,()()(),(1)f xyf x f yf.(5)余弦函数()cosf xx,正弦函数()sing xx，()()()()()f xyf x f yg x g y，0()(0)1,lim1xg xfx.7.几个函数方程的周期(约定 a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f x af

6、x ()0)f x,或21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)()()(2)(3)(4)f xf x af xa f xaf xa ()()(2)(3)(4)f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a.8.分数指数幂 (1)1mnnm

7、aa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系优秀教案 欢迎下载 9.根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.10.有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsrsaaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba b abrQ.注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一

8、个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式 logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论 loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).11.对数的四则运算法则 若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.注：设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf

9、的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.12.对数换底不等式及其推论 若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx(1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数.(2)(2)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系

10、优秀教案 欢迎下载 四典例解析 题型一：判断函数的奇偶性 例 1讨论下述函数的奇偶性：解：（1）函数定义域为 R，f(x)为偶函数；（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。（2）须要分两段讨论：设 设 当 x=0 时 f(x)=0，也满足 f(x)=f(x)；由、知，对 xR 有 f(x)=f(x)，f(x)为奇函数；（3），函数的定义域为，f(x)=log21=0(x=1)，即 f(x)的图象由两个点 A（1，0）与 B（1，0）组成，这两点既关于 y 轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数；（4）x2 a2,要分 a 0 与 a 0 时，数如果

11、函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系优秀教案 欢迎下载 ，当 a 0 时，f(x)为奇函数；既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。例 2(2002 天津文.16)设函数 f（x）在（，+）内有定义，下列函数：y=|f（x）|；y=xf（x2）；y=f（x）；y=f（x）f（x）。必为奇函数的有_（

12、要求填写正确答案的序号）答案：；解析：y=（x）f（x）2=xf（x2）=y；y=f（x）f（x）=y。点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。题型二：奇偶性的应用 例 3（2002 上海春，4）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若当 x0时，f（x）=log3（1+x），则 f（2）=_ _。答案：1；解：因为 x0 时，f（x）=log3（1+x），又 f（x）为奇函数，所以 f（x）=f（x），设 x0，所以 f（x）=f（x）=f（1x），所以 f（2）=log33=1。点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上

13、函数的取值。例 4已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(2+x)=f(2x)，且 f(x)是偶函数，当 x0，2时，f(x)=2x1，求 x4，0时 f(x)的表达式。解：由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若 x2，0，x0，2，f(x)为偶函数，当 x2，0时，f(x)=f(x)=2x1,若 x4，2，4+x0，2，f(2+x)+f(2x)，f(x)=f(4x)，f(x)=f(x)=f4（x）=f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；综上，数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次

14、项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系优秀教案 欢迎下载 点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。题型三：判断证明函数的单调性 例 5（2001 天津，19）设，是上的偶函数。（1）求的值；（2）证明在上为增函数。解：（1）依题意，对一切，有，即。对一切成立，则，。（2）(定义法)设，则，由，得，即，在上为增函数。（导数法），在上为增函数 点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例 6已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，对 xR 有 f(x)0，且 f(5)=1，设 F(x)=f(x)+，讨论 F(x)的单调性，并证明你的

15、结论。解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在 R 上任取 x1、x2，设 x1x2，f(x2)=f(x1)，数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系优秀教案 欢迎下载 f(x)是 R 上的增函数，且 f(10)=1，当 x10 时 0 f(x)10 时 f(x)1;若 x1x25，则 0f(x1)f(x2)1,0 f(x1)f(x2)1,0,F(x2)x15，则 f(x2)f(x1)1,f(x1)f(x2)1,0,F(x2)F(x1)

16、；综上，F(x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数。点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。题型四：函数的单调区间 例 7（2001 春季北京、安徽，12）设函数 f（x）（ab0），求 f（x）的单调区间，并证明 f（x）在其单调区间上的单调性。.解：在定义域内任取 x1x2，f（x1）f（x2），ab0，ba0，x1x20，只有当 x1x2b 或bx1x2时函数才单调 当 x1x2b 或bx1x2时 f（x1）f（x2）0 f（x）在（b，）上是单调减函数，在（，b）上是单调减函数 点评：

17、本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。例 8（1）求函数的单调区间；数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系优秀教案 欢迎下载（2）已知若试确定的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为，分解基本函数为、显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数在上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为 R，分解基本函数为和。显然在上是单调递减的，

18、上单调递增；而在上 分 别 是 单 调 递 增 和 单 调 递 减 的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。解法二：，令，得或，令，或 单调增区间为；单调减区间为。点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。题型五：单调性的应用 例 9已知偶函数 f(x)在(0，+)上为增函数，且 f(2)=0，解不等式 flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化为 flog2(x2+5x+4)f(2)。又f(x)为偶函数，且 f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(,0)上为减函数且 f(2)=f(2)=0。不等式可化为 log

19、2(x2+5x+4)2 或 log2(x2+5x+4)2 数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系优秀教案 欢迎下载 由得 x2+5x+44，x 5 或 x0 由得 0 x2+5x+4 得 x4 或1x 由得原不等式的解集为 x|x 5 或 x 4 或1x或 x0。例 10已知奇函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)在0，+上是增函数，是否存在实数 m，使 f(cos2 3)+f(4m2mcos)f(0)对所有 0,都成立？若存在，求出符合条件的

20、所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由。解：f(x)是 R 上的奇函数，且在0，+上是增函数，f(x)是 R 上的增函数，于是不等式可等价地转化为 f(cos2 3)f(2mcos 4m)，即 cos2 32mcos 4m,即 cos2 mcos+2m20。设 t=cos,则问题等价地转化为函数 g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2 在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正。当0,即 m0m1 与 m042m4+2，421,即 m2 时，g(1)=m10m1。m2 综上，符合题目要求的 m 的值存在，其取值范围是 m42。数如果函数是增函数则为增函数如果和和也

21、是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系优秀教案 欢迎下载 另法(仅限当 m 能够解出的情况)：cos2 mcos+2m20 对于 0,恒成立，等价于 m(2cos2)/(2cos)对于 0,恒成立 当 0,时，(2cos2)/(2cos)4 2，m42。点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。题型六：最值问题 例 11（2002 全国理，21）设 a 为实数，函数 f（x）=x2+|xa|+1，xR。（1）讨论 f（x）的奇偶性；（2）求 f（x）的最小值

22、。解：（1）当 a=0 时，函数 f（x）=（x）2+|x|+1=f（x），此时 f（x）为偶函数。当 a0时，f（a）=a2+1，f（a）=a2+2|a|+1，f（a）f（a），f（a）f（a）。此时函数 f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。（2）当 x a 时，函数 f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+。若 a，则函数 f（x）在（，a）上单调递减，从而，函数 f（x）在（，a）上的最小值为 f（a）=a2+1。若 a，则函数 f（x）在（，a 上的最小值为 f（）=+a，且 f（）f（a）。当 x a 时，函数 f（x）=x2+xa+1=（x+）2a+。若 a，则函数 f（x）在a，

23、+上的最小值为 f（）=a，且 f（）f（a）。若 a，则函数 f（x）在a，+上单调递增，从而，函数 f（x）在a，+上的最小值为 f（a）=a2+1。综上，当 a 时，函数 f（x）的最小值是a。当a 时，函数 f（x）的最小值是 a2+1。数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系优秀教案 欢迎下载 当 a时，函数 f（x）的最小值是 a+。点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为 xR，

24、f（0）=|a|+10，由此排除 f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当 a=0 时，f（x）是偶函数，第 2 题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。例 12设 m 是实数，记 M=m|m1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+)。(1)证明：当 mM 时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则 mM；(2)当 mM 时，求函数 f(x)的最小值；(3)求证：对每个 mM,函数 f(x)的最小值都不小于 1。(1)证明：先将 f(x)变形：f(x)=log3(x2m)2+m+,当 mM 时，m1,(xm)2+m+0 恒成立，故 f(

25、x)的定义域为 R。反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则只须 x24mx+4m2+m+0。令 0，即 16m24(4m2+m+)0，解得 m1，故 mM。(2)解析：设 u=x24mx+4m2+m+，y=log3u 是增函数，当 u 最小时，f(x)最小。而 u=(x2m)2+m+，显然，当 x=m 时，u 取最小值为 m+，此时 f(2m)=log3(m+)为最小值。(3)证明：当 mM 时，m+=(m1)+13，数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇

26、次项即偶数项的系优秀教案 欢迎下载 当且仅当 m=2 时等号成立。log3(m+)log33=1。点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。题型七：周期问题 例 13若 y=f(2x)的图像关于直线和对称，则 f(x)的一个周期为（）A B C D 解：因为 y=f(2x)关于对称，所以 f(a+2x)=f(a2x)。所以 f(2a2x)=fa+(a2x)=fa(a2x)=f(2x)。同理，f(b+2x)=f(b2x)，所以 f(2b2x)=f(2x)，所以 f(2b2a+2x)=f2b(2a2x)=f(2a2x)=f(2x)。所以 f(2x)的一个

27、周期为 2b2a，故知 f(x)的一个周期为 4(ba)。选项为 D。点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称（a b），则这个函数是周期函数，其周期为 2（ba）。例 14已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数 又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。证明：；求的解析式；求在上的解析式。解：是以为周期的周期函数，数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数

28、全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系优秀教案 欢迎下载，又是奇函数，。当时，由题意可设，由得，。是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而，当时，从而当时，故时，。当时，有，。当时，。点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。五思维总结 1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系优秀教案

29、欢迎下载 2对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x，都有 f(x+a)=f(a-x)成立 函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；3若奇函数的定义域包含 0，则 f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，因此根据

30、图象的对称性可以判断函数的奇偶性。5若存在常数 T，使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立，则称 T 为函数 f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集。6单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。3.常用的求值域的方法（1）化归法；（2）图象法（数形结合），

31、（3）函数单调性法，（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等 关于函数值域误区 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。数如果函数是增函数则为增函数如果和和也是减奇偶函数的图象特征函轴对称那么这个函数是偶函数注若函数函数则注对于函数是偶函数则若函数的偶次项即奇数项的系数全为零多项式函数的奇次项即偶数项的系