2023年分段函数的几种常见题型及解法.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,笔者就几种具体的题型做了一些思考,解析如下：1求分段函数的定义域和值域 例 1求函数1222 1,0;()(0,2);32,);xxf xxxx 的定义域、值域.【解析】作图,利用“数形结合”易知()f x的定义域为 1,),值域为(1,3.2求分段函数的函数值

2、例 2（05 年浙江理）已知函数2|1|2,(|1)()1,(|1)1xxf xxx 求12()f f.【解析】因为311222()|1|2f ,所以312223214()()1()13f ff.3求分段函数的最值 例 3求函数43(0)()3(01)5(1)xxf xxxxx 的最大值.11o322-1yx-1精品资料 欢迎下载【解析】当0 x 时,max()(0)3fxf,当01x 时,max()(1)4fxf,当1x 时,51 54x ,综上有max()4fx.4求分段函数的解析式 例 4在同一平面直角坐标系中,函数()yf x和()yg x的图象关于直线yx对称,现将()yg x的图象

3、沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数()f x的表达式为（）222(10).()2(02)xxxA f xx 222(10).()2(02)xxxBf xx 222(12).()1(24)xxxCf xx 226(12).()3(24)xxxDf xx 【解析】当 2,0 x时,121yx,将其图象沿x轴向右平移 2 个单位,再沿y轴向下平 移1个 单 位,得 解 析 式 为1122(2)1 11yxx ,所 以()22(fxxx,当0,1x时,21yx,将其图象沿x轴向右平移 2个单位,再沿y轴向下平移 1 个单位,得解析式2

4、(2)1 124yxx ,所以12()2(0,2)f xxx,综上可得222(10)()2(02)xxxf xx ,故选A.5作分段函数的图像 例 5函数|ln|1|xyex的图像大致是（）-12131o-2yx段函数值域的并集由于它在理解和掌握函数的定义函数的性质等知识的图利用数形结合易知的定义域为值域为求分段函数的函数值例年浙江理和的图象关于直线对称现将的图象沿轴向左平移个单位再沿轴向上平移精品资料 欢迎下载 A11oyx Byx11O CyxO11 DyxO11 6求分段函数得反函数 例 6 已知()yf x是定义在R上的奇函数,且当0 x 时,()31xf x,设()f x得反函数为(

5、)yg x,求()g x的表达式.【解析】设0 x,则0 x,所以()31xfx,又因为()f x是定义在R上的奇函数,所以()()fxf x ,且(0)0f,所以()1 3xf x,因此 31(0)()0(0)1 3(0)xxxf xxx,从而可得33log(1)(0)()0(0)log(1)(0)xxg xxxx.7判断分段函数的奇偶性 例 7判断函数22(1)(0)()(1)(0)xxxf xxxx的奇偶性.【解析】当0 x 时,0 x,22()()(1)(1)()fxxxxxf x ,当0 x 时,(0)(0)0ff,当0 x,0 x,22()()(1)(1)()fxxxxxf x 段

6、函数值域的并集由于它在理解和掌握函数的定义函数的性质等知识的图利用数形结合易知的定义域为值域为求分段函数的函数值例年浙江理和的图象关于直线对称现将的图象沿轴向左平移个单位再沿轴向上平移精品资料 欢迎下载 因此,对于任意xR都有()()fxf x,所以()f x为偶函数.8判断分段函数的单调性 例 8判断函数32(0)()(0)xx xf xxx 的单调性.【解析】显然()f x连续.当0 x 时,2()311fxx 恒成立,所以()f x是单调递增函数,当0 x 时,()20fxx 恒成立,()f x也是单调递增函数,所以()f x在R上是单调递增函数;或画图易知()f x在R上是单调递增函数

7、.例 9写出函数()|12|2|f xxx 的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)xxf xxxxx ,画图易知单调减区间为12(,.9解分段函数的方程 例 10（01 年上海）设函数812(,1()log(1,)xxf xx x,则满足方程1()4f x 的x的值为 【解析】若142x,则222x,得2(,1x ,所以2x（舍去）,若1814logx,则1481x,解得3(1,)x ,所以3x 即为所求.10解分段函数的不等式 例 11 设 函 数1221(0)()(0)xxf xxx,若yx52o-1252xy1-11段函数值域的并集由于它在理解和掌握函数的定义函数的

8、性质等知识的图利用数形结合易知的定义域为值域为求分段函数的函数值例年浙江理和的图象关于直线对称现将的图象沿轴向左平移个单位再沿轴向上平移精品资料 欢迎下载 0()1f x,则0 x得取值范围是（）.(1,1)A .(1,)B .(,2)(0,)C .(,1)(1,)D 【解析 1】首先画出()yf x和1y 的大致图像,易知0()1f x时,所对应的0 x的取值范围是(,1)(1,).【解析 2】因为0()1f x,当00 x 时,0211x,解得01x ,当00 x 时,1201x,解得01x,综上0 x的取值范围是(,1)(1,).故选 D.例 12 设函数2(1)(1)()41(1)xx

9、f xxx,则使得()1f x 的自变量x的取值范围为（）A(,20,10 B.(,20,1 C.(,21,10 D.2,01,10【解析】当1x 时,2()1(1)120f xxxx 或,所以21xx 或0,当1x 时,()14111310f xxxx ,所以110 x,综上所述,2x 或010 x,故选 A项.【点评：】以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解,方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.段函数值域的并集由于它在理解和掌握函数的定义函数的性质等知识的图利用数形结合易知的定义域为值域为求分段函数的函数值例年浙江理和的图象关于直线对称现将的图象沿轴向左平移个单位再沿轴向上平移