2023年函数的单调性与最值知识点总结归纳习题1.pdf

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1、学习必备 精品知识点 1.3.1 函数的单调性与最大（小）值 1、函数单调性的定义 设函数 y=f(x)的定义域为 I：如果对于属于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值21,xx，（1）当 时，都有 ，那么就说函数 f(x)在区间 D上是增函数：（2）当 时，都有 ，那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数。注意：21,xx具有三个特征：属于同一区间任意性有大小:通常规定21xx 练 习：若 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)对 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数21,xx，总 有 0-2121xfxfxx，则必有（）A函数 f(x)是先增后减 B.函数 f(x)是先减

2、后增 C.函数 f(x)在 R上是增函数 D.函数 f(x)在 R上是减函数 2、函数的单调性区间 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。3、基本初等函数的单调性（1）一次函数 （2）反比例函数 （3）二次函数 练习：（1）函数 342xxxf的单调递增区间是 （2）函数bxky12在实数集 R上是增函数，则（）A21k B.21k C.21k D.21k 练习：下列四个函数中，在,0上是增函数的是（）A xxf 3 B.xxxf32 C.11xxf D.1xxf 4、利用定义证明

3、函数的单调性的步骤（1）取值：学习必备 精品知识点（2）作差：（3）变形：（4）判断差的符号：（5）下结论 5、常用的单调性的结论 6、函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2.利用图象求函数的最大(小)值：作出函数的图像，尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数，从图像直接观察可得最值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数 y=f(x)在区间a，b 上单调递增，则函数 y=f(x)在 x=a 处有最小值 f(a),在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b 上单调递减，在区间b，c 上单调递增则函数 y=f(x

4、)在 x=b 处有最小值 f(b)。练习：（1）已知0322 xx，则函数 12xxxf的最小值为 ，最大值为 。考点 1：函数单调性的证明 例1、判断函数 1-12xxf在，1上是的单调性，并用单调性定义证明。具有三个特征属于同一区间任意性有大小通常规定练习若定义在上的函间具有严格的单调性区间叫做的单调区间函数是先减后增函数在上是减义证明函数的单调性的步骤取值学习必备精品知识点作差变形判断差的学习必备 精品知识点 练习：（1）证明函数 xxxf3在 R上是增函数 （2）求证函数 aaxaxxf，在 00上是减函数，在,a上是增函数 考点 2：求函数的单调区间 利用图像求函数的单调区间 例 2

5、：画出函数322xxy的图像，并指出函数的单调区间。变式：（1）作出函数 969622xxxxxf的图像，并指出其单调区间。具有三个特征属于同一区间任意性有大小通常规定练习若定义在上的函间具有严格的单调性区间叫做的单调区间函数是先减后增函数在上是减义证明函数的单调性的步骤取值学习必备精品知识点作差变形判断差的学习必备 精品知识点 （2）求函数542xxy的单调区间 直接求函数的单调区间：利用已知函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等的单调性，直接写出所求函数的单调区间，或者将所给函数通过适当地变形，转化为可以利用已知函数的单调性进行判断的形式。例 3：求函数 02axaxxf的单调区间 变式

6、：求函数 xxxf1的单调区间 利用定义求函数的单调区间 例 4：求函数 0babxaxxf的单调区间 具有三个特征属于同一区间任意性有大小通常规定练习若定义在上的函间具有严格的单调性区间叫做的单调区间函数是先减后增函数在上是减义证明函数的单调性的步骤取值学习必备精品知识点作差变形判断差的学习必备 精品知识点 求复合函数的单调区间 例 5：求函数 12 xxf在定义域上的单调性 变式：（1）求函数32212xxy的单调区间 （2）已知函数 222,28xfxgxxxf，试求函数 xg的单调区间。考点 3：利用函数的单调性求函数的最值 例 6：已知函数322xxy，求当 ,2,02,2,51xx

7、 0,23x时的值域。具有三个特征属于同一区间任意性有大小通常规定练习若定义在上的函间具有严格的单调性区间叫做的单调区间函数是先减后增函数在上是减义证明函数的单调性的步骤取值学习必备精品知识点作差变形判断差的学习必备 精品知识点 例 7：求函数20122，在为常数aaxxy上的最值。变式：（1）已知函数 222axxxf，5,5x，求实数 a 的取值范围，使 xfy 在区间 5,5上是单调函数.（2）求函数 xxxf11的最大值 （3）已知,1,22xxaxxxf.当21a时，判断并证明 xf的单调性 当1-a，求函数 xf的最小值 具有三个特征属于同一区间任意性有大小通常规定练习若定义在上的

8、函间具有严格的单调性区间叫做的单调区间函数是先减后增函数在上是减义证明函数的单调性的步骤取值学习必备精品知识点作差变形判断差的学习必备 精品知识点 考点 4：利用函数的单调性比较大小 例 8：已知函数 cbxxxf2对任意实数 t都有 tftf22，试比较 4,2,1fff的大小 练 习：已 知 函 数 bxxxf2-对 任 意 实 数 t都 有 tftf33，试 比 较 4-,5,3fff的大小的大小为 。考点 5：利用函数的单调性解不等式与求参数的取值范围 例 9：已知函数 xf在,上是减函数，不等式 53222aafaaf恒成立，则实数 a 的取值范围是 。变式：已知函数 xf是定义在，0上的单调增函数，不等式3112fxf的 x 的取值范围是（）A3231，B.3231，C.3221，D.3221，具有三个特征属于同一区间任意性有大小通常规定练习若定义在上的函间具有严格的单调性区间叫做的单调区间函数是先减后增函数在上是减义证明函数的单调性的步骤取值学习必备精品知识点作差变形判断差的