2023年初三数学复习正多形和圆.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 初三数学复习正多形和圆 一.本周教学内容：复习正多形和圆 （一）知识要点 1.正多边形：（1）各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形，仅各角相等，（如矩形）或仅各边相等（如菱形）的多边形不是正多边形。（2）正多边形是轴对称图形，当边数 n 是偶数时，又是中心对称图形。正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，其圆心是该正多边形的中心。（3）边数相同的正多边形是相似多边形，对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。（4）正 n 边形可以分成 2n 个全等的直角三角形，有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决。2.有关圆的计算公式（R为半径；n

2、为弧所对的圆心角的度数）（1）圆周长 C2R （2）圆面积 SR2 180)3(Rnl弧长 ()4360122扇形面积扇形Sn RlR （5）弓形面积：S弓形S扇形S 3.计算不规则图形的面积时常用割补法，利用图形的割补将问题转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算。4.圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长 C，宽是圆柱的母线长 l，如果圆柱的底面半径是 r，则 S圆柱侧Cl2rl 5.圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长 C，半径等于圆锥的母线长 l，若圆锥的底面半径为 r，rlClS21圆锥侧 例 1.已知：如图，等腰ABC的顶角A36，O和底边 BC相切

3、于中点 D，并过两腰中点 G、F，又和两腰相交于 H、E 求证：五边形 DEFGH 是正五边形。分析：正多边形的证明，可用定义或判定定理来证明。本题欲证 DEFGH 是正五边形，只需证，连结 DG和 DF，所以只需证明这些弧所对的圆周角相等，即可 优秀学习资料 欢迎下载 证明：连结 DG和 DF D、G分别为 BC、BA的中点 ，同理DGACDFAB/1212 四边形 AGDF 为平行四边形 1=2=3=A=36 BC是O的切线 4=1=36 ，ABACDGAC12 GBABDG21 7221180BGDB 5=724=36 同理6=36 1=2=3=5=6 五边形 DEFGH 是正五边形。例

4、 2.等边三角形的面积为，求等边三角形外接圆的面积。48 3 分析：求等边三角形外接圆的面积，只要确定等边三角形的半径即可。我们从已知条件等边三角形的面积出发，等边三角形的面积可以用两个方法得到 （一）整体考虑；（二）分割成三个全等三角形。解：（一）过 A点作 AD BC于 D，等边，ABCBACBDDC11230 设，则，BDDCxACxADx23 SBCADxxABC12122348 3 1234 334482ADxx 正三角形的半径：边心距：高=2：1：3 当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇

5、形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 832123R 。等边三角形外接圆面积6423R （二）设 O为等边三角形的中心，连结 OB、OC，作 OD BC于 D，BOCBOC360312011260 设，则，OCRODRDCR1232 RBC3 SSBCODABCBOC3312 34823213RR R2=416 R=8 正三角形外接圆面积=64 例 3.已知，圆内接正方形的面积为 32，求同圆内接正六边形的面积 分析：沟通圆内接正四边形和正六边形的同圆，则半径相同。显然是从正方形的面积中求出正四边形的半径，然后再利用外接圆半径求出正六边形面积 解：如图，

6、连结 AC、OE、OF，OM EF于 M 当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 24322BCBCS正四边形 AC2=2BC2=64 AC=8 )82(4214BCACACR或 OE=OF=R4=4 606360EOF EOF为等边三角形 221EFMFEM 32242222MFOFOM (tan)或利用三角函数OMMF6023 正六边形SSEOF661242 324 3 例 4.如图半径分别为，的两圆相交，圆心距为，求两圆

7、组成的2231cmcm 图形的外轮廓线的长度 分析：外轮廓线的长度等于两圆周长和去掉公共弦在两圆中所对的劣弧长之和，关键是求圆心角AO1B和AO2B的度数。解：连结 AB，则 O1O2垂直平分公共弦 AB，设 AO=x 13221322221xxOOOO有 解得：x=1，AB=2x=2，OA1=O1B=2 AO1B是等边三角形，AO1B=60 所对弧长AO Bl1160218023 在中，AO BAOBOAB222222222244()()AOBOABAO B22222290 所对的弧长AO Bl2290218022 当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关

8、正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 外轮廓线的总长()()222212ll ()209 26cm 例 5.如图，已知三个皮带轮的半径都是 10cm，圆心距 AB=50cm，AC=30cm，BC=40cm，求：皮带的长度。分析：皮带的长度是由三条线段，和三段圆弧构成，分别求出它们，再求和。解：设皮带与C、B、A的切点分别是 D、E、F、G、M、N，连结 CD、CE、BF、BG、AM、AN 则有四边形 BCFD、ACEM、ABGN 都是矩形 AC2+BC2=302+402=2500=502=AB2 A

9、CB=90，CAB+CBA=90 MAN=180 CAB，FBG=180 CBA DCE+MAN+FBG =90+180CAB+180 CBA =360+90(CAB+CBA)=360 又C、A、B是等圆，lllRAEMNFG2 皮带总长是：AB+BC+AC+2R =50+40+30+210=（120+20）cm 例 6.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆的三等分点，若半径为 R，求阴影部分的面积。分析：阴影部分的面积不是规则图形的面积，连结 CD，则 CD AB，于是ADC 的面积等于的面积，而与组成一个规则的扇形。CDOCDOCmD 解：连结 OC、OD、CD ，是半圆的直径ACCDDB

10、AB COD=60，CDA=DAB=30 当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 CD AB，SACD=SOCD 阴影扇形SSRROCD60360622 例 7.如图，以 RtABC的直角边 BC为直径画半圆，交斜边 AB于 D，若 ACBD2333，求图中阴影部分的面积 分析：阴影面积等于ABC面积减去DBO面积，与扇形 ODC面积的和，需求出 BC长，DOC的度数 解：连结 OD，由切割线定理知：AC2=AD AB，AC2

11、=（AB BD）AB ()()23332ABAB 即ABAB23430 解得：，舍去ABAB1243333()在 RtABC中，sin BACABB2334331230，DOC 60 BCACBcotcot233302 ，扇形Sn RODC223606013606 SBDBOOBD1230sin 123112 34 当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 SACBCABC12122332233 阴影扇形SSSSABCODCOB

12、D 233634 5 3212 例 8.把一个半圆面围成一个圆锥，则该圆锥轴截面三角形底角的度数是多少？解：设半圆 DC的半径 AC=R 半圆围成的圆锥底面O的半径 OC=r 半圆的长 的周长CDO R=2 r 又RrrRAOBC212 ACO=60 例 9.已知 RtABC的斜边 AB=13cm，以直线 BC为轴旋转一周得到一表面积为 90cm2的圆锥，求这个圆锥的高？解：如图，设底面圆的半径 AC=r，圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆面积 901222rABr rr213900 即rr213900 当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算

13、往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 解得 r1=5 或 r2=18（舍去）AC=5 勾股定理得，圆锥的高 BCABACcm222213512()答：圆锥高为 12cm。例 10.如图，、是圆周上的四个点，且ABCDABCDACBD 弦 AB=8，弦 CD=4，求图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？（结果保留三个有效数字）解：作直径 AE，连结 BE A、B、C、D是圆周上的四个点，且 AB CDACBD 的度数应等于AB CD180 又AE为O直径 的度数等于ABBE180 即 AB CDABBE 弓形弓形弓形

14、弓形BECDSSSSABCDABBE ABE=90 ，AEABBE2222844 5 阴影半圆SSSABEABE 122 512842()1016 31416154.一、选择题 1.已知一个正 n 边形的一个外角等于一个内角的 2 倍，若它的边长为 a，则它的半径为（）A.a B.a3 C.a23 D.a33 2.正六边形的半径为 1，则它的面积为（）当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 A.233 B.33 C.43 D.

15、36 3.正 n 边形的一个外角等于内角的51，则该多边形的边数为（）A.10 B.11 C.12 D.13 4.如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（）A.6：1 B.16 C.3：1 D.13 5.正六边形的边心距等于 6，则它的周长等于（）A.324 B.34 C.5512 D.5572 6.一条弧长等于 12，它所对的圆心角等于 120，则这条弧组成的扇形面积等于（）A.216 B.108 C.864 D.54 7.圆心角等于 120，半径等于 3，则圆心角所对的弧与弦组成的弓形面积等于（）A.4396 B.8396 C.4393 D.8393 8.以下图形既是中

16、心对称，又是轴对称的图形的是（）A.平行四边形 B.正五边形 C.等腰梯形 D.正六边形 9.下列各命题中正确的个数是（）（1）各边都相等的圆内接多边形是正多边形；（2）多边形的中心角随边长的增大而增大；（3）正 n 边形是中心对称图形；（4）既有内切圆又有外接圆的多边形是正多边形。A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.正三角形的边长、高、外接圆半径、边心距的比是（）A.332336 B.332331 C.433231 D.4321 11.等腰 RtABC中，A=Rt，BC=2，作其外接圆 O，则长是（）A.4 B.2 C.D.2 12.半径为 8cm的圆的圆内有相距为 8 的两

17、条平行且相等的弦，则在圆内这两条平行弦间所夹的面积为（）A.364332 B.312832 C.3128316 D.316316 当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 13.如图（1），扇形 OACB 中，AOB=90，P 与 OA，OB都相切，并且与切于 C 点，则扇形 OACB的面积与P面积的比为（）A.21 B.12 C.13 D.4)223(14.周长相等的正方形、正六边形的面积分别为 S1和 S2，则 S1和 S2

18、之间的关系是（）A.S1S2 D.S1S2 15.已知 C，D是以 AB=2R 为直径的半圆上三等分点，则弦 AC，AD和 CD围成的面积等于（）A.243R B.52R C.62R D.32R 16.半径等于 a 的两个圆相交，若圆心距为a3则这两圆的公共部分的面积为（）A.2)224(a B.2)433(a C.2)223(a D.2)233(a 二、填空题 1.如图（2），一个扇形的半径 OA=OB=a，圆心角为 45，以 O为圆心，b 长（ba）为半径画 CD，阴影部分面积是_。2.一个扇形的半径等于一个圆的半径的 2 倍，且它们的面积相等，则这个扇形的弧所对的圆心角为_。3.如图（3

19、），AB是O的一条弦，以半径 OA为直径的O与弦 AB相交于 E，则阴影部分面积与弓形面积之比为_。当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 4.如图（4），正ABC外切于圆，正方形 DEFG 内接于圆，若 AB=6，则 DE=_。5.一个圆内接正六边形与内接正方形面积之差为 4，则此圆的面积为_。三、解答题及证明题 1.如图（5），正五边形 ABCDE 的两条对角线 AD，BE相交于 P，求证 PD2=AP AD。2.如图（6

20、），已知 AB，CD是O的直径，以 D为圆心，DA为半径的圆交 CD于 E，证明和所围成的新月形的面积等于ABC的面积。3.如图（7），P是圆内接正四边形 ABCD 中上一点，试求PCPDPB 的值。4.如图（8），在 RtABC中，AC=BC，的圆心为 A，如果图中两个阴影部分面积相等，求 AD：DB的值。当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 5.如图（9），矩形 ABCD 中，AB=1，BC=2，以 B为圆心，BC为半径

21、画交 AD于 F，交 BA延长线于 E，求阴影部分的面积。当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 参考答案 一、选择题 1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.A 7.C 8.D 9.A 10.A 11.B 12.A 13.D 14.C 15.A 16.D 二、填空题 1.)(8122ba 2.90 3.3：1 4.6 5.1132324 三、解答题及证明题 1.证明：作此五边形的外接圆 O，则 于是AEB=EDA 又PA

22、E=EAD PAE EAD APAEAEAD 即 AE2=AP AD （1）又 BE CD 同理 BC AD BPDC是平行四边形 PD=BC=AE （2）由（1）（2）可得 PD2=AP AD 2.证明：连结 AD，BD，设O的半径为 r，新月形的面积为 S，又知 AB是直径 ADB=90，AD=r2 )(212ADBDAEBAEBACBSSrSSS扇形弓形半圆 12141214222222rADSrrrADB()ABCSr2 3.提示：延长 PB至 E，使 BE=PD，连结 CE 易证BCE DCP PCE为等腰 Rt 22PCPDPBPCPE即 4.提示：S扇形 ADEF=SABC而 S

23、扇 ADEF=8AD2 21212 ACSABC224121ABAB 当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个优秀学习资料 欢迎下载 22418ABAD 222ABAD 2ABAD 22ADABAD 即ADDB22222 5.解：连结 BF ABCD 是矩形 BAD=90 BF=BC=2 AB=1 322ABBFAF 6023sinABFBFAFABF SBEF扇形 16232 而233223阴影SSABF 当边数是偶数时又是中心对称图形正多边形都有一个外接圆和一个内切直角三角形有关正多边形的计算往往转化为解直角三角形的问题解决有转化为扇形及三角形等特殊图形的面积计算圆柱的面展开图是矩形这个