2023年初三圆的综合复习精品讲义1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 圆综合复习 一、本章知识框架 二、本章重点 1圆的定义：2判定一个点 P 是否在 O 上 3与圆有关的角(1)圆心角 (2)圆周角 圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角(3)弦切角：4圆的性质：学习必备 欢迎下载 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等

2、 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴 垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦(5)平行弦夹的弧相等 5三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示 (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边

3、中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O 表示(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍，通常用 G 表示(4)垂心：是三角形三边高线的交点 6切线的判定、性质：7圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等 周角所对的弧相等的圆周角所对的弦为直径半圆或直径所对的圆周角为同圆或等圆中两个圆心角两条弧两条弦两条弦心距这四组量中的任意一对的两条弧平分弦不是直径的直径垂直于弦

4、并且平分弦所对的两条弧弦学习必备 欢迎下载 8直线和圆的位置关系：9圆和圆的位置关系：10两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点 11圆中有关计算：圆的面积公式：，周长 C2 R 圆心角为 n、半径为 R 的弧长 圆心角为 n，半径为 R，弧长为 l 的扇形的面积 弓形的面积 圆锥的侧面积 三、相关定理：1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）2.切割线定理 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中

5、项 说明：几何语言：若 AB 是直径，CD 垂直 AB 于点 P，则 PC2=PA PB 例 1：已知 PT 切 O 于 T，PBA 为割线，交 OC 于 D，CT 为直径，若 OC=BD=4cm，AD=3cm，求 PB 长。解：周角所对的弧相等的圆周角所对的弦为直径半圆或直径所对的圆周角为同圆或等圆中两个圆心角两条弧两条弦两条弦心距这四组量中的任意一对的两条弧平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦学习必备 欢迎下载 四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线 1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等 2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明

6、 3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算 4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角 5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角 6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角 7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角 8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径 9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点 10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点 11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线

7、 12)遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线 13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边 2、圆中较特殊的辅助线 1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线 周角所对的弧相等的圆周角所对的弦为直径半圆或直径所对的圆周角为同圆或等圆中两个圆心角两条弧两条弦两条弦心距这四组量中的任意一对的两条弧平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦学习必备 欢迎下载 2)将割线、相交弦补充完整 3)作辅助圆【中考热点】近年来，在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点，也是难点 例 2 已知相交于 A、B 两点，的半径是

8、 10，的半径是 17，公共弦AB16，求两圆的圆心距 解：分两种情况讨论：例 3 如果圆柱的底面半径为 4cm，母线长为 5cm，那么侧面积等于()A B C D 例 4 如图 23-12，在半径为 4 的 O 中，AB、CD 是两条直径，M 为 OB 的中点，延长 CM 交 O 于 E，且 EMMC，连结 OE、DE，(1)求 EM 的长(2)求 sin EOB 的值 周角所对的弧相等的圆周角所对的弦为直径半圆或直径所对的圆周角为同圆或等圆中两个圆心角两条弧两条弦两条弦心距这四组量中的任意一对的两条弧平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦学习必备 欢迎下载 练习 1、如图 2

9、3-13，AB 是 O 的直径，PB 切 O 于点 B，PA 交 O 于点 C，PF 分别交 AB、BC 于 E、D，交 O 于 F、G，且 BE、BD 恰好是关于 x 的方程(其中 m 为实数)的两根(1)求证：BEBD；(2)若，求 A 的度数 练习 2、如图 6，BE 是 O 的直径，点 A 在 EB 的延长线上，弦 PD BE，垂足为 C，连结OD，且 AOD=APC.（1）求证：AP 是 O 的切线；（2）若 OC：CB=1：2，且 AB=9，求 O的半径及 sinA 的值.CBAPDEO周角所对的弧相等的圆周角所对的弦为直径半圆或直径所对的圆周角为同圆或等圆中两个圆心角两条弧两条弦两条弦心距这四组量中的任意一对的两条弧平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦学习必备 欢迎下载 练习 3、如图，已知 O 的弦 AB 垂直于直径 CD，垂足为 F，点 E 在 AB 上，且 EA=EC。求证：AC 2=AE AB；延长 EC 到点 P，连结 PB，若 PB=PE，试判断 PB 与 O 的位置关系，并说明理由。O P F E D C B A 周角所对的弧相等的圆周角所对的弦为直径半圆或直径所对的圆周角为同圆或等圆中两个圆心角两条弧两条弦两条弦心距这四组量中的任意一对的两条弧平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦