2023年勾股定理经典例题详解.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 勾股定理经典例题详解 知识点一：勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（1）中，所以。方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（2）中，所以

2、。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）1 和（3）2 所示的两个形状相同的正方形。在（3）1 中，甲的面积=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,在（3）2 中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,学习好资料 欢迎下载 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。，所以。知识点三：勾股定理的作用 1已知直角三角形的两条边长求第三边；2已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3用于证明平方关系的问题；4利用勾股定理，作出长为的线段。2.在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程 x2+y2=z2的三个正整数，称

3、为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以 x,y,z 为三边长的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25；10、24、26；9、40、41 如果(a,b,c)是勾股数，当 t0 时，以 at,bt,ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在 RtABC中，C=90 (1)已知 a=6，c=10，求 b，(2)已知 a=40，b=9，求 c；(3)已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解

4、析：(1)在ABC中，C=90，a=6，c=10,b=(2)在ABC中，C=90，a=40，b=9,c=(3)在ABC中，C=90，c=25，b=15,a=总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三 【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,则 AB的长是多少?【答案】ACD=90 AD=13,CD=12 AC2=AD2CD2 =132122 =25 AC=5 又ABC=90且 BC=3 只适用于直角三角形而不适用于

5、锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三学习好资料 欢迎下载 由勾股定理可得 AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB=4 AB的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，.求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，则有，再由勾股定理计算出 AD、DC的长，进而求出 BC的长.解析：作于 D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.总结

6、升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.举一反三【变式 1】如图，已知：，于 P.求证：.思路点拨:图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP 为边的直角三角形.因此，只适用于直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三学习好资料 欢迎下载 我们考虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形.所以连结 BM.这样，实际上就得到了 4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平

7、方之间的关系.解析：连结 BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有 .又（已知），.在中，根据勾股定理有 ，.【变式 2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD、BC交于 E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE=。

8、S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C在营地 A 的什么方向。只适用于直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三学习好资料 欢迎下载 思路点拨：把实际问题中的角度转化为图

9、形中的角度，利用勾股定理求解。解析：（1）过 B 点作 BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以 （2）在 RtABC中，BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点 C在点 A 的北偏东 30的方向 总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该

10、工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH如图所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD，与地面交于 H 解：OC1 米(大门宽度一半)，OD0.8 米（卡车宽度一半）在 RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门 只适用于直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三学习好资料 欢迎下载 （二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为

11、了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 解析：设正方形的边长为 1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD3，AB+BC+CD3 图（3）中，在 RtABC中 同理 图（3）中的路线长为 图（4）中，延长 EF交 BC 于 H，则 FHBC，BHCH 由FBH 及勾股定理得：EA

12、EDFBFC EF12FH1 此图中总线路的长为 4EA+EF 32.8282.732 图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线 总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程 只适用于直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如

13、图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三学习好资料 欢迎下载 解：如图，在 Rt中，底面周长的一半cm，根据勾股定理得 （提问：勾股定理）AC（cm）（勾股定理）答：最短路程约为cm 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示 （1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角ACB，使 AB 为斜边；（2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、。总结升华：（1）以

14、上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如 1cm、1m 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。举一反三 【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到 A点，使 OA=3，作 ACOA且截取 AC=1，以 OC为只适用于直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知

15、识点三学习好资料 欢迎下载 半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（正确）4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华：本题是为了学习勾股

16、定理的逆命题做准备。7、如果ABC的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到 a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。(a-3)20,(b-4)20,(c-5)20。a=3，b=4，c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。总结升华

17、：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。举一反三【变式 1】四边形 ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。【答案】：连结 AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理）【变式 2】已知:ABC的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn),判断ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可 证明：只适用于

18、直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三学习好资料 欢迎下载 所以ABC是直角三角形.【变式 3】如图正方形 ABCD，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF=AB。请问 FE与 DE 是否垂直?请说明。【答案】答：DEEF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接 DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=

19、25a2。DF2=EF2+DE2,FEDE。经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2202 化简得 x216；直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。【答案

20、】如图，等边ABC，作 ADBC于 D 则：BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）ABACBC2（等边三角形各边都相等）BD1 在直角三角形 ABD 中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413 AD SABCBCAD 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为a。【变式 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是 x，y，根据题意得：由（1）得：x+y7，只适用于直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即

21、方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三学习好资料 欢迎下载 （x+y）249，x2+2xy+y249(3)(3)(2)，得：xy12 直角三角形的面积是xy126（cm2）【变式 3】若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为 n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（n+3）2 化简得：n24 n2，但当 n2 时，n+110，n2 总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先

22、要先确定斜边，直角边。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2a2+b2的变形：b2c2a2（ca）（c+a）来判断。例如：对于选择 D，82（40+39）（4039），以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A 【变式 5】四边形 ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。解：连结 AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（

23、勾股定理）AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理）S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36 类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A到公路的距离是

24、否小于 100m,小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作 ABMN，垂足为 B。只适用于直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三学习好资料 欢迎下载 在 RtABP 中，ABP90，APB30，AP160，ABAP80。（在直角三角形中，30所对的直角边等于斜

25、边的一半）点 A到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C处学校开始受到影响，那么 AC100(m)，由勾股定理得：BC21002-8023600,BC60。同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。拖拉机行驶的速度为:18km/h 5m/s t120m 5m/s 24s。答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24 秒。总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线

26、的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为 3+47(m)设走“捷径”的路长为 xm，则 故少走的路长为 752(m)又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了 4 步路。【答案】4 【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四

27、边形 ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段 AC的长（可作辅助线）。只适用于直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三学习好资料 欢迎下载 【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。（2）如图可直接得出平行四边形 ABCD含有 24 个单位正三角形，因此其面积。（3）过 A作 AKBC于点 K（如图所示），则在 RtACK中，故 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角

28、三角形问题来解决 3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF的长。思路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD 解：连接 AD 因为BAC=90，AB=AC 又因为 AD 为ABC的中线，所以 AD=DC=DBADBC 且BAD=C=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90 所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA）所以 AE=FC=5 同理

29、：AF=BE=12 在 RtAEF中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、只适用于直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三学习好资料 欢迎下载 的值。思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。解：在 RtABC中

30、，A=60，B=90-A=30，则，由勾股定理，得。因为，所以，。总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF的长。解：因为ADE与AFE关于 AE对称，所以 AD=AF，DE=EF。因为四边形 ABCD是矩形，所以B=C=90，在 RtABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，所以。所以。设，则。在 RtECF中，即，解得。即 EF的长为 5cm。只适用于直角三角形而不适用于锐角三角形和钝角三角理解勾股定理的图中所以方法三将四个全等的直角三角形分别拼成如图和所示的两个形面积和即方法四如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形所以知识点三