2023年初中数学竞赛定理大全.pdf

《2023年初中数学竞赛定理大全.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年初中数学竞赛定理大全.pdf（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、优秀学习资料 欢迎下载 欧拉（Euler）线：同一三角形的 垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的 欧拉线；且 外心 与 重心的距离等于 垂心 与 重心 距离的 一半。九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点 与 垂心间线段 的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与 垂心 所连 线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。优秀学习资料 欢迎下载 费尔马点：已知 P 为锐角ABC内一点，当APBBPCCPA120时，PAPBPC的值最小，这个点 P 称为ABC的费尔马点。海伦（Heron）公式：圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线

2、段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 塞瓦（Ceva）定理：在ABC中，过ABC的顶点作相交于一点 P 的直线，分别 交边 BC、CA、AB与点 D、E、F，则(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)1；其逆亦真。密格尔（Miquel）点：若 AE、AF、ED、FB四条直线相交于 A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理

3、在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 葛尔刚（Gergonne）点:ABC的内切圆分别切边 AB、BC、CA于点 D、E、F，则 AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。西摩松（Simson）线：已知 P 为ABC外接圆周上任意一点，PDBC，PEACPF AB，D、E、F为垂足，则 D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知

4、为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。帕普斯（Pappus）定理：已知点 A1、A2、A3在直线 l1上，已知点 B1、B2、B3在直线 l2上，且 A1 B2与 A2 B1交于点 X，A1B3与 A3 B1交于点 Y，A2 B3于 A3 B2交于 点 Z，则 X、Y、Z三点共线。圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周

5、上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 笛沙格（Desargues）定理：已知在 ABC与ABC 中，AA、BB、CC三线相交于点 O，BC与 BC、CA与 CA、AB与 AB分别相交于点 X、Y、Z，则 X、Y、Z三点共线；其逆亦真 摩莱（Morley）三角形：在已知ABC三内角的三等分线中，分别与 BC、CA、AB相邻的每两线相交于点 D、E、F，则DEF是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢

6、迎下载 帕斯卡（Paskal）定理：已知圆内接六边形 ABCDEF的边 AB、DE延长线交于点 G，边 BC、EF延长线交于点 H，边 CD、FA延长线交于点 K，则 H、G、K三点共线。托勒密（Ptolemy）定理：在圆内接四边形中，ABCDADBCACBD（任意四边形都可！哇哈哈）圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 斯图尔特（Stewart）定理：设 P 为ABC边 BC上一点，且 BP：PCn：m，则 m(AB2)n

7、(AC2)m(BP2)n(PC2)（mn）(AP2)梅内劳斯定理：在ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线 截于点X、Y、Z，则(BX/XC)(CY/YA)(AZ/ZB)1 圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 阿波罗尼斯（Apollonius）圆 一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则点P的轨迹，是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。

8、布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，ACBD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边。圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 广勾股定理：在任一三角形中，(1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的影射乘积的两倍 (2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的影射乘积的两倍 加法原理：做一件事情，完成它有 N类办法，在第一类办法

9、中有 M1种不同的方法，在第二类办法中有 M2种不同的方法，在第 N类办法中有 M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有 M1+M2+M(N)种不同的方法。比如说：从北京到上海有 3 种方法可以直接到达上海，1：火车k1 2：飞机k2 3：轮船k3，那么从北京-上海的方法 N=k1+k2+k3 乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一 步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2不同的方法，做第 n 步有 m n 不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1m2 m3mn 种不同的方法.圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线

10、分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径）这一定理对于任意三角形 ABC，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （R为三角形外接圆半径）余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为 a,b,c 三角为 A,B,C，则满足性质：a2=b2+c2-2bcCos A b2=a2+c2-2acCos B

11、 c2=a2+b2-2abCos C Cos C=(a2+b2-c2)/2ab Cos B=(a2+c2-b2)/2ac Cos A=(c2+b2-a2)/2bc 解析几何中的基本公式 1、两点间距离：若)y,x(B),y,x(A2211，则212212)()(yyxxAB 2、平行线间距离：若0CByAx:l,0CByAx:l2211 则：2221BACCd 注意点：x，y 对应项系数应相等。圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢

12、迎下载 3、点到直线的距离：0CByAx:l),y,x(P 则 P 到 l 的距离为：22BACByAxd 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：0)y,x(Fbkxy 消 y：02cbxax，务必注意.0 若 l 与曲线交于 A),(),(2211yxByx 则：2122)(1(xxkAB 5、若 A),(),(2211yxByx，P（x，y）。P 在直线 AB上，且 P 分有向线段 AB所成的比为，则112121yyyxxx ，特别地：=1时，P为AB中点且222121yyyxxx 变形后：yyyyxxxx2121或 6、若直线 l1的斜率为 k1，直线 l2的斜率为 k2，则 l1到 l2的

13、角为),0(,适用范围：k1，k2都存在且 k1k21，21121t a nkkkk 若 l1与 l2的夹角为，则tan21211kkkk，2,0(注意：（1）l1到 l2的角，指从 l1按逆时针方向旋转到 l2所成的角，范围),0(l1到 l2的夹角：指 l1、l2相交所成的锐角或直角。（2）l1l2时，夹角、到角=2。（3）当 l1与 l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 7

14、、（1）倾斜角，),0(；（2）0,，夹角ba；（3）直线 l 与平面20，的夹角；（4）l1与 l2的夹角为，20，其中 l1/l2时夹角=0；（5）二面角,0(；（6）l1到 l2的角)0(，8、直线的倾斜角与斜率 k 的关系 a)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。b)若直线存在斜率 k，而倾斜角为，则 k=tan。9、直线 l1与直线 l2的的平行与垂直 圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载（1）若 l1，l2均存

15、在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2 l1l2 k1k2=1 （2）若0:,0:22221111CyBxAlCyBxAl 若 A1、A2、B1、B2都不为零 l1/l2212121CCBBAA；l1l2 A1A2+B1B2=0；l1与 l2相交2121BBAA l1与 l2重合212121CCBBAA；注意：若 A2或 B2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。10、直线方程的五种形式 名称 方程 注意点 斜截式：y=kx+b 应分斜率不存在 斜率存在 点斜式：)(xxkyy （1）斜率不存在：xx （2）斜 率 存 在 时 为)(xxkyy 两点式：121121xxxxyyyy 截

16、距式：1byax 其中 l 交 x 轴于)0,(a，交 y轴于),0(b当直线 l 在坐标轴上，截距相等时应分：（1）截距=0 设 y=kx （2）截 距=0a 设1ayax 即 x+y=a 一般式：0CByAx （其中A、B不同时为零）11、直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 若22BACBbAad，0相离rd 0相切rd 0相交rd 13、圆锥曲线定义、标准

17、方程及性质（一）椭圆 定义：若 F1，F2是两定点，P 为动点，且21212FFaPFPF（a为常数）则 P 点的轨迹是椭圆。定义：若 F1为定点，l 为定直线，动点 P 到 F1的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e（0e1），则动点 P 的轨迹是双曲线。（二）图形：（三）性质 方程：12222byax)0,0(ba 12222bxay)0,0(ba 定义域：axaxx 或；值域为 R；实轴长=a2，虚轴长=2b 焦距：2c 准线方程：cax2 圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为

18、葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 焦半径：)(21caxePF，)(22xcaePF，aPFPF221；注意：（1）图中线段的几何特征：1AFacBF2，2AFcaBF1 顶 点 到 准 线 的 距 离：caacaa22或；焦 点 到 准 线 的 距 离：caccac22或;两准线间的距离=ca22 （2）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：02222byaxxaby 若 渐 近 线 方 程 为xaby0byax双 曲 线 可 设 为2222byax 若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y

19、轴上）（3）特别地当 时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为22yx；（4）注意21FPF中结合定义aPFPF221与余弦定理21cosPFF，将有关线段1PF、2PF、21FF和角结合起来。二、抛物线 （一）定义：到定点F与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点 F的距离与到定直线l 的距离之比是常数e（e=1）。（二）图形：圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为优秀学习资料 欢迎下载 （三）性质：方程：焦参数pppxy),0(,22；焦点：)0,2(p，通径pAB2；准线：2px；焦半径：,2pxCF过焦点弦长pxxpxpxCD212122 注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2p；焦点到准线的距离=p；通径长=p2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。（2）抛 物 线pxy22上 的 动 点 可 设 为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptPPpxyyx2),(2其中 圆这个圆称为三角形的九点圆其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中塞瓦定理在中过的顶点作相交于一点的直线分别交边与点则其逆亦真密则三线共点这个点称为葛尔刚点西摩松线已知为外接圆周上任意一点为