2023年初中函数综合精品讲义1.pdf

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1、教育教师备课手册 教师姓名 学生姓名 填写时间 2012.2.1 学科 数学 年级 初三 上课时间 10:00-12:00 课时计划 2 小时 教学目标 教学内容 中考复习 函数综合 个性化学习问题解决 基础知识回顾，典型例题分析 教学重点、难点 教 学 过 程 一次函数【教学目标】1.理解正比例函数和一次函数的概念，能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数和一次函数的解析式.2.理解一次函数和正比例函数的图象与性质，理解它们的性质在实际应用中的意义.3.会用图象法解二元一次方程组，能利用一次函数的图象与性质解决简单的实际问题.【重点难点】重点：一次函数的图象与性质.难点：用图象法

2、解二元一次方程组，及利用一次函数的增减性解决实际问题中的最值.【考点例解】例 1 已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1）两点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）设该一次函数的图象向上平移 2 个单位后，与x轴、y轴的交点分别是点 A、点 B，试求AOB的面积.分析：本题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式和函数图象的平移.解答：（1）设一次函数的解析式为ykxb.把点（2，5）和（-1，-1）的坐标分别代入ykxb，得 251kbkb ，解这个方程组，得 21kb.一次函数的解析式为21yx .（2）将直线21yx 向上平移 2 个单位后，可得 23yx .在函数23yx 中，

3、令0 x，得3y；令0y，得230 x ，即32x.32OA，3OB.113932224AOBSOA OB .反比例函数 一、基础知识 1.定义：一般地，形如xky（k为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky 还可以写成kxy 1 2.反比例函数解析式的特征：等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为 1.比例系数0k 自变量x的取值为一切非零实数。函数y的取值是一切非零实数。3.反比例函数的图像 图像的画法：描点法 列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线

4、）反比例函数的图像是双曲线，xky（k为常数，0k）中自变量0 x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy 或xy）。反比例函数xky（0k）中比例系数k的几何意义是：过双曲线xky （0k）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。4反比例函数性质如下表：k的取值 图像所在象限 函数的增减性 ok 一、三象限 在每个象限内，y值随x的增大而减小 ok 二、四象限 在每个象限内，y值随x的增大而增大 5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

5、6“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky 中的两个变量必成反比例关系。7.反比例函数的应用 二、典型例题分析【例 1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky，（0k）即kxy 1（0k）又在第二，四象限内，则0k可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：01222kkk解得0211kkk或 1k 1k时函数222kkkxy为xy1 函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法

6、向上平移个单位后与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题【例 2】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210 xxx则下列各式正确的是（）A213yyy B 123yyy C 321yyy D 231yyy 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一：由题意得111xy，221xy，331xy 3210 xxx，213yyy所以选 A 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出xy1的图像 描出三个点，满足3210 xxx观察图像直接得到213yyy选 A 解法三：用特殊值法 213321321321,1,1,211,1,2,0y

7、yyyyyxxxxxx令【例 3】如果一次函数的图像与反比例函数xmnymnmxy30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）【解析】12132212213nmmnnmxxmnynmxy解得，相交于与双曲线直线 221111121,122211yxyxxyxyxyxy得解方程组双曲线为直线为 11，另一个点为【例 4】如图，在AOBRt中，点A是直线mxy与双曲线xmy 在第一象限的交点，且2 AOBS，则m的值是_.图 解:因为直线mxy与双曲线xmy 过点A,设A点的坐标为AAyx,.则有AAAAxmymxy,.所以AAyxm.函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的

8、坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法向上平移个单位后与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题 又点A在第一象限,所以AAAAyyABxxOB,.所以myxABOBSAAAOB212121.而已知2 AOBS.所以4m.二次函数 教学目标 1 理解二次函数的概念；2 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3 会平移二次函数 yax2(a 0)的图象得到二次函数ya(ax m)2k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4 会用待定系数法求二次函数的解析式；5 利用二次函数的图象，了

9、解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。一、知识体系 二、知识回顾 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.【例 1】下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是，指出 a、b、c (1)y=1-3x2；(2)y=x(x-5)；(3)y=3x(2-x)3x2；(4)y(x 2)(2-x)(5)y=x42x21 1.y=ax2 2.y=ax2+c 3.y=a(x-h)2 对函数的再认识 二次函数的定义 二次函数的图象性质 二次函数的表达式 1.函数表达式及求法

10、 2.图象法 3.列表法 二次函数与一元二次方程 1、二次函数与一 元二次方程的关系 2、利用图象求一 元二次方程的近似解 二次函数的应用 1、最大利润 2、最大面积 3、坐标系的建立 二次函数 函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法向上平移个单位后与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题 2.二 次 函 数cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成：khxay2的 形 式，其 中abackabh4422，.【例 2】求经过 A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于 y 轴的抛物线

11、的解析式 3.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线 abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：0c，抛物线经过原点;0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.4.

12、用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.【例 3】.已知12212xxy(1)把它配方成 ya(x-h)2k 形式；(2)写出它的开口方向、顶点 M的坐标、对称轴方程和最值；(3)求出图象与 y 轴、x 轴的交点坐标；(4)作出函数图象；函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法向上平移个单位后

13、与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题 (5)x 取什么值时 y0，y0；(6)设图象交 x 轴于 A，B两点，求AMB 面积 5.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).（2）与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).（3）抛物线与x轴的交点 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离

14、.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为 0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故 acxxabxx2121,aaacb

15、acabxxxxxxxxAB444222122122121 三、典型例题分析【例 1】（2008 年泰州市）二次函数342xxy的图像可以由二次函数2xy 的图像平移而得到，下列平移正确的是(B)A先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位;B先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位;函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法向上平移个单位后与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题yOBCD1Mx24A ENMDCBAOyxC先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位;D先向右平移 2 个单位

16、，再向下平移 1 个单位【例 2】(2010 年安徽省芜湖市)二次函数yax2bxc的图象如图所示，反比例函数y ax 与正比例函数y（bc）x在同一坐标系中的大致图象可能是（B）A B C D 【例 3】（2010 年浙江省东阳县）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面 1 米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点 6 米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（2）足球第一次落地点C距守门员多

17、少米？（取734）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取562）【答案】（1）y=4)6(1212x （2）y=0,x=6+4313 （3）设 y=2)(1212 mx m=13+2618 y=0,x=182623 再向前跑 10 米 【例 4】（2010 年四川省眉山）如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），抛物线223yxbxc经过B点，且顶点在直线52x 上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是

18、否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N 设点M的横坐标为t，MN的长度为l求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标 函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法向上平移个单位后与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题ENMDCBAOyx【答案】解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32yxm （1 分）2254()32m 16m （3 分）所求函数关系式为：22251210()432633yxxx

19、（4 分）（2）在 RtABO中，OA=3，OB=4，225ABOAOB 四边形 ABCD是菱形 BC=CD=DA=AB=5 （5 分）C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）（6 分）当5x 时，2210554433y 当2x 时，2210224033y 点 C和点 D在所求抛物线上（7 分）（3）设直线 CD对应的函数关系式为ykxb，则 5420kbkb 解得：48,33kb 4833yx （9 分）MNy 轴，M 点的横坐标为 t，N 点的横坐标也为 t 则2210433Mytt，4833Nyt，（10 分）22248210214202734()3333333322NMlyyttt

20、ttt 203，当72t 时，32l最大，此时点 M 的坐标为（72，12）（12 分）课 堂 练 习 函数综合试题演练 1、（2006 重庆）已知：mn、是方程2650 xx 的两个实数根，且mn，抛物线2yxbxc 的图像经过点 A(,0m)、B(0n，).(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D，试求出点 C、D 的坐标和BCD 的面积；（注：抛物线函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法向上平移个单位后与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题2y

21、axbxc(0)a 的顶点坐标为24(,)24bacbaa）(3)P是线段 OC上的一点，过点 P作 PH x轴，与抛物线交于 H点，若直线 BC把PCH分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出 P点的坐标.解析 （1）解方程2650,xx 得125,1xx 由mn，有1,5mn 所以点 A、B的坐标分别为 A（1，0）,B（0，5）.将 A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入2yxbxc .得105bcc 解这个方程组，得45bc 所以，抛物线的解析式为245yxx （2）由245yxx ，令0y，得2450 xx 解这个方程，得125,1xx 所以 C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公

22、式计算，得点 D（-2，9）.过 D作x轴的垂线交x轴于 M.则1279(52)22DMCS 12(95)142MDBOS 梯形，1255 522BOCS 所以，2725141522BCDDMCBOCMDBOSSSS梯形.（3）设 P点的坐标为（,0a）因为线段 BC过 B、C两点，所以 BC所在的值线方程为5yx.那么，PH与直线 BC的交点坐标为(,5)E a a，PH与抛物线245yxx 的交点坐标为2(,45)H aaa.由题意，得32EHEP，即23(45)(5)(5)2aaaa 解这个方程，得32a 或5a （舍去）23EHEP，即22(45)(5)(5)3aaaa 解这个方程，得

23、23a 或5a （舍去）P点的坐标为3(,0)2或2(,0)3.函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法向上平移个单位后与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题5、如图 14，抛物线 E：342xxy交 x 轴于 A、B两点，交y轴于 M点。抛物线 E关于y轴对称的抛物线 F 交x轴于 C、D两点。求 F的解析式；在x轴上方的抛物线 F或 E上是否存在一点 N，使以 A、C N、M为顶点的四边形是平行四边形。若存在，求点 N坐标；若不存在，请说明理由；若将抛物线 E 的解析式改为cbxaxy2，试探索问题

24、。解析 当y=0 时，0342 xx，解得x1=3，x2=1，A、B点坐标分别为（3，0）、（1，0）当x0 时，y3，M点坐标为（0，3），A、B、M三点关于 y 轴得对称点分别是D、C、M，D、C坐标为（3，0）、（1，0）设F的解析式为32bxaxy 303390baba a1，b4 F的解析式为342xxy（2）存在。假设MNAC，N点的纵坐标为 3。若在抛物线F上，当y=3 时，3432xx，则x1=0，x2=4 N点坐标为(4，3)，MN=4，由(1)可求AC=4，MN=AC，四边形ACNM为平行四边形。根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为(4，3)或(4，3)(3)存在。假

25、设MNAC，N点的纵坐标为c。设y0，02cbxax aacbbx242，A点坐标为(aacbb242，0)，B点坐标为(aacbb242，0)C点坐标为(aacbb242，0)，AC=ab 在抛物线E上，当y=c时，cbxaxc2，x1=0，x2=ab N点坐标为(ab，0)NM=0(ab)=ab，NM=AC，四边形ACMN为平行四边形。函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法向上平移个单位后与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为(ab，c)或(ab，c)。8

26、、（2006 吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数621,xyxy的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒 1 个单位的速度运动，作PQx轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S。（1）求点A的坐标。（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的 关 系式。（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为 何 值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正 方 形PQMN与OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是_。解析 （1）由,621,xyxy 可

27、得.4,4yx A（4，4）。（2）点P在y=x上，OP=t，则点P坐标为).22,22(tt 点Q的纵坐标为t22，并且点Q在621xy上。txxt212,62122，即点Q坐标为)22,212(tt。tPQ22312。当tt2222312时，23t。当时230t，.2623)22312(222ttttS 当点P到达A点时，24t，当2423t时，2)22312(tS 函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法向上平移个单位后与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题 144236292tt。（3）有最大值，最大值应在230t中，,12)22(2312)824(232623222tttttS 当22t时，S的最大值为 12。（4）212t。函数的概念能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函数解决简单的实际问题重点难点重点一次函数的图象与性质难点用图象法向上平移个单位后与轴轴的交点分是点点试求教学过程的面积分析本题