2023年北师大版八年级数学二元一次方程组.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 二元一次方程组知识总结及训练 知识讲解 1二元一次方程组的有关概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程 二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组 一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元

2、一次方程组的解 2二元一次方程组的解法 代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法 加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法 3二元一次方程组的应用 对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个

3、未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解 例题解析 学习必备 欢迎下载 例 1 已知21xy是方程组2(1)21xmynxy 的解，求（m+n）的值 【分析】由方程组的解的定义可知21xy，同时满足方程组中的两个方程，将21xy代入两个方程，分别解二元一次方程，即得 m 和 n 的值，从而求出代数式的值 【解答】把 x=2，y=1 代入方程组2(1)21xmynxy 中，得 2 2(1)12211mn 由得 m=1，由得 n=0 所以当 m=1，n=0 时，（m+n）=（

4、1+0）=1 【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程 例 2 （2008，长沙市）“512”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷 某服装厂原有4 条成衣生产线和 5 条童装生产，工厂决定转产，计划用 3 天时间赶制 1000 顶帐篷支援灾区若启用 1 条成衣生产线和 2 条童装生产线，一天可以生产帐篷 105 顶；若启用 2 条成衣生产线和 3 条童装生产线，一天可以生产帐篷 178 顶 （1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生

5、产线平均每天生产帐篷各 x，y 顶，则210523178xyxy 解得：x=41；y=32 答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷 41 顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷 32顶 （2）由 3（441+532）=9721000 知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务 可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献 例 3 （2006，海南）某商场正在热销 20XX 年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程的解集二元一次方程组及其解两个二元一次方程合在一起就组成

6、了在二元一次方程组中选取一个适当的方程将一个未知数用含另一个未知学习必备 欢迎下载 奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力 【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为 x 元和 y 元依题意，得214523280 xyxy解这个方程组，得12510 xy 故一盒“福娃”玩具的价格为 125 元，一枚徽章的价格为 10 元 例 4 （2004，昆明市）为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计 11.8 万 m3，其中乙水厂

7、的日供水量是甲水厂日供水量的 3 倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多 1 万 m3 （1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走 600t 土石，运输公司派出 A 型，B 型两种载重汽车，A 型汽车 6 辆，B 型汽车 4 辆，分别运 5 次，可把土石运完；或者 A 型汽车 3 辆，B 型汽车 6 辆，分别运 5 次，也可把土石运完，那么每辆 A 型汽车，每辆 B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是 x 万 m3，则乙水厂的日供水量是 3x 万 m3，丙水厂的日供水量是（12x

8、+1）万 m3，由三个水厂的日供水量总和为 11.8 万 m3，可列方程x+3x+12x+1=11.8；（2）设每辆 A 型汽车每次运土石 xt，B 型车每辆每次运土石 yt，依题意可列方程组30206001530600 xyxy解方程后可求解 【解答】（1）设甲水厂的供水量是 x 万 m3，则乙水厂的日供水量是 3x 万 m3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万 m3 由题意得：x+3x+12x+1=11.8，解得 x=2.4 一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程的解集二元一次方程组及其解两个二元一次方程合在一起就组成了在二元一次方程组中选取一个适当的方程将一个

9、未知数用含另一个未知学习必备 欢迎下载 则 3x=7.2，x+1=2.2 答：甲水厂日供水量是 2.4 万 m3，乙水厂日供水量是 7.2 万 m3，丙水厂日供水量是 2.2万 m3（2）设每辆 A 型汽车每次运土石 xt，每辆 B 型汽车每次运土石 yt，由题意得：30206001530600 xyxy 1015xy 答：每辆 A 型汽车每次运土石 10t，每辆 B 型汽车每次运土石 15t 【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法 强化训练 一、填空题 1若 2xm+n13ymn3+5=0 是关于 x，y

10、的二元一次方程，则 m=_，n=_ 2 在式子 3m+5nk 中，当 m=2，n=1 时，它的值为 1；当 m=2，n=3 时，它的值是_ 3若方程组026axyxby 的解是12xy，则 a+b=_ 4已知方程组325(1)7xykxky 的解 x，y，其和 x+y=1，则 k_ 5已知 x，y，t 满足方程组23532xtytx ，则 x 和 y 之间应满足的关系式是_ 6（2008，宜宾）若方程组2xybxbya 的解是10 xy，那么ab=_ 7 某营业员昨天卖出 7 件衬衫和 4 条裤子共 460 元，今天又卖出 9 件衬衫和 6 条裤子共 660元，则每件衬衫售价为_，每条裤子售价

11、为_ 8（2004，泰州市）为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天 8：00 至 21：00 用电每千瓦时 0.55 元（“峰电”价），21：00 至次日 8：00 用电每千瓦时 0.30 元（“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，五月份用电量为 300kW h，付电费 115 元，则王老师家该月使用“峰电”_kWh 二、选择题 9二元一次方程 3x+2y=15 在自然数范围内的解的个数是（）一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程的解集二元一次方程组及其解两个二元一次方程合在一起就组成了在二元一次方程组中选取一个适当的方程将一个未知数用

12、含另一个未知学习必备 欢迎下载 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10已知xayb是方程组|223xxy 的解，则 a+b 的值等于（）A1 B5 C1 或 5 D0 11已知2xy3+（2x+y+11）2=0，则（）A21xy B03xy C15xy D27xy 12在解方程组278axbycxy时，一同学把 c 看错而得到22xy，正确的解应是32xy，那么 a，b，c 的值是（）A不能确定 Ba=4，b=5，c=2 Ca，b 不能确定，c=2 Da=4，b=7，c=2 13（2008，河北）如图 42 所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克

13、力的质量是（）A20g B25g C15g D30g 144 辆板车和 5 辆卡车一次能运 27t 货，10 辆板车和 3 辆卡车一次能运 20t 货，设每辆板车每次可运 xt 货，每辆卡车每次能运 yt 货，则可列方程组（）A452710327xyxy B452710320 xyxy C452710320 xyxy D427510203xyxy 15七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了 14 名，这时男女同学之比为 5：3，后来男同学又走了 22 名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（）A39 名 B43 名 C47 名 D55 名 16某校初三（2）班 40 名同学为“希望工

14、程”捐款，共捐款 100 元，捐款情况如下表：捐款/元 1 2 3 4 人数 6 7 一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程的解集二元一次方程组及其解两个二元一次方程合在一起就组成了在二元一次方程组中选取一个适当的方程将一个未知数用含另一个未知学习必备 欢迎下载 表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚 若设捐款 2 元的有 x 名同学，捐款 3 元的有 y 名同学，根据题意，可得方程组（）A272366xyxy B2723100 xyxy C273266xyxy D2732100 xyxy 17 甲，乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则 a

15、h 相遇；若同向而行，则 bh 甲追 上乙，那么甲的速度是乙的速度为（）Aabb倍 Bbab倍 Cbaba倍 Dbaba倍 18 学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用 3 张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，但余下 50 张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下 50 个信封，则两处各领的信笺张数，信封个数分别为（）A150，100 B125，75 C120，70 D100，150 三、解答题 19解下列方程组：（1）（2008，天津市）35821xyxy （2）（2005，南充市）2711 32xyyx 20（2008，山东省）为

16、迎接 20XX 年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5 盒和 10 盒该厂购进甲、乙原料的量分别为 20000 盒和 30000 盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程的解集二元一次方程组及其解两个二元一次方程合在一起就组成了在二元一次方程组中选取一个适当的方程将一个未知数用含另一个未知学习必备 欢迎下载 21（2008，重庆市）

17、为支持四川抗震救灾，重庆市 A，B，C 三地现在分别有赈灾物资 00t，100t，80t，需要全部运往四川重灾地区的 D，E 两县根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20t （1）求这批赈灾物资运往 D，E 两县的数量各是多少？（2）若要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为 60t，A 地运往 D 县的赈灾物资为 xt（x 为整数），B 地运往 D 县的赈灾物资数量小于 A 地运往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍，其余的赈灾物资全部运往 E 县，且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过 25t则 A，B 两地的赈灾物资运往 D，E 两县的方案有几种？

18、请你写出具体的运送方案：（3）已知 A，B，C 三地的赈灾物资运往 D，E 两县的费用如表所示：A地 B地 C地 运往 D县的费用/（元/t）220 200 200 运往 E县的费用/（元/t）250 220 210 为及时将这批赈灾物资运往 D，E 两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程的解集二元一次方程组及其解两个二元一次方程合在一起就组成了在二元一次方程组中选取一个适当的方程将一个未知数用含另一个未知学习必备 欢迎下载 22（2003，常州市）甲、乙

19、两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示甲班分两次共购买苹果 70kg（第二次多于第一次），共付出 189 元，而乙班则一次购买苹果70kg 购苹果数 不超过 30kg 30kg 以下但 不超过 50kg 50kg 以上 每千克价格 3 元 2.5 元 2 元 （1）乙班比甲班少付出多少元？（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？答案 13；1 27 38 4k=335 515yx=6 61 720 元 80 元 8100 9 C 10C 11D 12B 13A 14C 15C 16A 17C 18A 一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程的解集二元一次

20、方程组及其解两个二元一次方程合在一起就组成了在二元一次方程组中选取一个适当的方程将一个未知数用含另一个未知学习必备 欢迎下载 19（1）由得 y=2x1 把代入得：3x+5（2x1）=8 即 x=1 把 x=1 代入得 y=1 原方程组的解为11xy （2）化简方程组，得2763xyxy 代入，得 y=3 将 y=3 代入，得 x=1 故原方程组的解是：13xy 20设生产奥运会标志 x 套，生产奥运会吉祥物 y 套，根据题意，得4520000,31030000.xyxy 2得：5x=10000 x=2000 把 x=2000 代入得：5y=12000 y=2400 答：该厂能生产奥运会标志

21、2000 套，生产奥运会吉祥物 2400 套 21（1）设这批赈灾物资运往 D 县的数量为 a（t），运往 E 县的数量为 b（t）由题意，得280,220.abab 解得180,100.ab 答：这批赈灾物资运往 D 县的数量为 180t，运往 E 县的数量为 100t （2）由题意，得1202225xxx 解得40,45.xx 即 40 x45，x 为整数，x 的取值为 41，42，43，44，45 一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程的解集二元一次方程组及其解两个二元一次方程合在一起就组成了在二元一次方程组中选取一个适当的方程将一个未知数用含另一个未知学习必

22、备 欢迎下载 则这批赈灾物资的运送方案有五种 具体的运送方案是：方案一：A 地的赈灾物资运往 D 县 41t，运往 E 县 59t；B 地的赈灾物资运往 D 县 79t，运往 E 县 21t 方案二：A 地的赈灾物资运往 D 县 42t，运往 E 县 58t；B 地的赈灾物资运往 D 县 78t，运往 E 县 22t 方案三：A 地的赈灾物资运往 D 县 43t，运往 E 县 57t；B 地的赈灾物资运往 D 县 77t，运往 E 县 23t 方案四：A 地的赈灾物资运往 D 县 44t，运往 E 县 56t；B 地的赈灾物资运往 D 县 76t，运往 E 县 24t 方案五：A 地的赈灾物资

23、运往 D 县 45t，运往 E 县 55t；B 地的赈灾物资运往 D 县 75t，运往 E 县 25t （3）设运送这批赈灾物资的总费用为 w 元，由题意，得 w=220 x+250（100 x）+200（120 x）+220（x20）+20060+21020=10 x+60800 因为 w 随 x 的增大而减小，且 40 x45，x 为整数 所以，当 x=41 时，w 有最大值，则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w=60390（元）22（1）乙班共付出 702=140（元），乙班比甲班少付出 189140=49（元）（2）设甲班第一次买苹果 xkg，第二次买苹果 ykg（x30（否则，x+y6070）依题意有7032.5189xyxy 或者7032189xyxy 解之，得2842xy 或者4921xy（不合题意，舍去）若 30 x50，则 3050，当 y50，x+y8070，不合题意 当 30y50 时，702.5=17550，yx，则 x+y70，不合题意 故甲班第一次买苹果 28kg，第二次买苹果 42kg 一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程的解集二元一次方程组及其解两个二元一次方程合在一起就组成了在二元一次方程组中选取一个适当的方程将一个未知数用含另一个未知