2023年初中数学基础知识宝典1.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载【代数部分】第一章 数与式 第一部分 数（初中阶段数的最大范围是实数）考点一、概念及分类 1、实数按定义分类 正整数 整数 零 有理数 负整数 实数 正分数 分数 有限小数和无限循环小数 负分数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、实数按正负分类 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数 实数 零 负整数 负有理数 负分数 负实数 负无理数 3、温馨提示 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一本质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如3+8 等；（3）有特定结构的数，如 0.101001

2、0001等，一定要注意后面要带省略号；（4）某些三角函数，如 sin60o等 考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值 1、数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。对应：实数和数轴上的点是一 一对应的关系。2、倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。学习好资料 欢迎下载 零没有倒数。a 的倒数为a1。3、相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=b，反之亦成立。相反数等于本身的数是0，任何数都有相反数。a 的相反数为-a。4

3、、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a 0；若|a|=-a，则 a 0。绝对值等于本身的是正数和零。化简绝对值的一般步骤：（1）由条件判断绝对值里的式子的正负即绝对值里的式子与 0 作比较，（2）化简一个个的小绝对值，（3）绝对值化小括号，（4）去括号，合并同类项。考点三、平方数、立方数、平方根、算数平方根和立方根 1、平方数 正数的平方为正数，0 的平方为 0，负数的平方为正数。平方后等于本身的数是 0，1。2、立方数 正数的立方为正数，0 的立方为 0，负数的立方为负数。立方后等于本身的数是 0，1，-

4、1。3、平方根 如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。正数 a 的平方根记做“a”。正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。平方根为本身的数是 0.4、算术平方根 如果一个正数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的算术平方根，记作“a”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根。正数 a 的算术平方根记做“a”。算术平方根为本身的数是 0 和 1。a（a0）0a aa2 ；注意a的双重非负性：-a（a0）a0 3、立方根 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。a

5、的立方根记做“3a”。负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。立方根等于本身的数是 0,1，-1。注意：33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四、近似数和科学记数法 1、近似数：将一个数四舍五入所得到的数。2.近似数的有效数字（1）非科学计数法形式的近似数：有效数字是从左边第一个不是零的数字起到最后一个数字止的所有数字。（2）科学技术法形式的近似

6、数：有效数字是看 a，a 中从左边第一个不是零的数字起到最后一个数字止的所有数字。3.近似数的精确度（1）非科学计数法形式的近似数：看最后一个数字所在的数位数；（2）科学技术法形式的近似数：分三步，第一步在 a 中找到最后一个数字，第二步写出原数，第三步看 a 中的最后一个数字在原数中所处的数位数。4、科学记数法（1）定义：把一个数写做na10的形式，其中101 a，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。（2）a 的取法：在第一位非0 数字后点小数点，即可得a。（3）n 的取法：若原数是绝对值很大的数，n 等于前后两个小数点间的数位数，若原数是绝对值很小的数，n 等于前后两个小数点间的数位数的

7、相反数。考点五、实数大小的比较 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设 a、b 是实数，,0baba ,0baba baba0（3）求商比较法：设 a、b 是两正实数，;1;1;1babababababa（4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则baba，即两个负数，绝对值大的反而小。（5）平方法：设 a、b 是两负实数，则baba22。（6）类别比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。考点六、非负数（1）非负数式子有三个：2a，a，a（a0）。（2）若几个非负式子和为零，则每个式子均为 0。考点七、实数的运算 1.基本运算有：加减乘除乘

8、方开方。2.运算律：（1）加法交换律 abba 负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载（2）加法结合律 )()(cbacba（3）乘法交换律 baab （4）乘法结合律 )()(bcacab（5）乘法对加法的分配律 acabcba)(3.实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。第二部分 代数式（初中阶段式的最大范围是代数式）考点一、概念及分类 代数式按定义分类 整式里有单项式、多项式两种。共

9、学了加减乘除四种运算。乘法运算 整式 有同底数幂的乘法、单项式 x 单项式，单项式 x 多项式，多项式 x 多 有理式 项式，除法运算有同底数幂除法，单项式除以单项式，多项式除以单项式。代数式 分式里只学了分式的加减乘除运算。分式 无理式 只学了二次根式的运算（包括加减乘除）考点二、整式的有关概念 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如ba2314，这种表示就是错误的，应写成ba2313。一个单项式中，所有字

10、母的指数的和叫做这个单项式的次数。如cba235是 6 次单项式。3、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。如36x4y3z+3x5yz3-4xy-1叫做九次四项式。4.多项式的升降幂排列：指的是按某一个字母的指数从大到小排列叫降幂排列，从小到大排列叫升幂排列。5.整式的概念：单项式和多项式统称整式。6.代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面

11、要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载 做代数式的值。注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。7.同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。8.去括号法则（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。（2）括号前是“”，把括号和它前面的“”号一起去掉，括号里各项都变号。考点二：整式的运算 1.整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项；（3）按降幂排列。2.

12、整式的乘法：同底数幂乘法：),(都是正整数nmaaanmnm 幂的乘方：),(都是正整数）（nmaamnnm 积的乘方：)()(都是正整数nbaabnnn 单项式乘以单项式：系数相乘做积的系数，相同字母相乘，对于只在一个单项式中存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘以多项式：用单项式去乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加。多项式乘以多项式：用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加。几种特殊形式的多项式乘以多项式：平方差公式：（相同项的平方减去相反项的平方）22)(bababa 完全平方公式：2222)(bababa 2222)(bababa 3.整式的除法

13、：同底数幂除法：底数不变，指数相减。)0,(anmaaanmnm都是正整数 单项式除以单项式：系数相除，相同字母相除，对于只在被除式里存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。（3）计算时要注意符号，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。（6）),0(1);0(10为

14、正整数paaaaapp 负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载 4.幂的性质 同底数幂乘法：),(都是正整数nmaaanmnm 幂的乘方：),(都是正整数）（nmaamnnm 积的乘方：)()(都是正整数nbaabnnn 同底数幂除法：)0,(anmaaanmnm都是正整数),0(1);0(10为正整数paaaaapp 考点三、因式分解（整式的一种变形）1、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，

15、也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。（2）运用公式法：包括平方差公式)(22bababa 完全平方公式 222)(2bababa 222)(2bababa 十字相乘法（口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横写因式。）（3）分组分解法：四项式分组分解：二二分，分后提取新的大公因；一三分，分后套用平方差公式。3、因式分解的一般步骤：一提。如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。二套。提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以尝试运用平方差公式法分解因式；3 项式可以尝试运用完全平方公式

16、法和十字相乘法分解因式；三分。如果多于三项可考虑分组分解法。四查。只查多项式因式，一查是否为化简的最后结果，二查会否为因式分解的最后结果。考点四、分式 1、分式的概念 一般地，用 A、B 表示两个整式，AB 就可以表示成BA的形式，如果 B 中含有字母，式子BA就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算法则 负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正

17、分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载;bcadcdbadcbabdacdcba);()(为整数nbabannn;cbacbcabdbcaddcba 4.分式的乘除步骤：（1）统一为乘法；（2）把分子分母都因式分解；（3）约分；（4）用分子的积做分子，用分母的积做分母。5.分式的加减的步骤：（1）统一成最简公分母，即各个分母系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积；（2）分母不变，分子相加减；（3）处理分子，先化简，再因式分解；（4）约去分子与分母的公因式 考点五、二次根

18、式 1、二次根式 式子)0(aa叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。4、

19、二次根式的性质（1）)0()(2 aaa )0(aa（2）aa2 )0(aa（3）)0,0(babaab （4）)0,0(bababa 5、二次根式的加减步骤：（1）化为最简二次根式（2）将被开方数相同的二次根式合并。负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载 6.二次根式的乘除步骤：（1）统一为乘法；（2）根号内的和根号内的乘除，根号外的和根号外的乘除；（3）用分子的积做分子，用分母的积做分母。7.二次根式的混合运算 二次根式的混

20、合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。8.考查a中 a0 的式子，如 y=a+2b+11cc-2，可由被开方数大于等于 0 求得 a=0，b=0，c=1，y=-2。9.考查a是非负数的式子（1）若 03212cbx，则 x=，y=，z=。（2）当 x=时，2x有最小值，为 。第二章 方程（组）与不等式（组）考点一、一元一次方程的概念 1、方程 含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）

21、同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0ax0 bax叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数 x 的系数，b是常数项。5、解方程的五个步骤：一去分母，二去括号，三移项，四合并同类项，五系数化为一。考点二、一元二次方程 1、一元二次方程的定义 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式)0(02acbxax，它的特征是：等式左边十一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；b

22、x 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。3、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax 是 b 的平负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载 方根，当0b时，bax，bax，当 b0 时，方程有两个不相等的实数根；当acb42=0 时，方程有两个相等的实数根；当acb420，经

23、过一三象限；若k0，经过一二象限；若 b0，y 随 x 的增大而增大，减小而减小；若 kc 可以看做是一次函数 y=ax+b 在函数值大于 c 时，求自变量 x 的范围；从图像上看相当于直线 y=ax+b 上纵坐标大于 c 的部分对应的横坐标的范围。C、一次函数与二元一次方程组的关系：从数的角度看，解二元一次方程组相当于求自变量为何值时，两个函数的函数值相等；从形的角度看，解二元一次方程组相当于求两条直线交点的坐标。考点四、反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，函数xky（k 是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1kxy的形式。自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实

24、数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0，函数 y0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质 x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；当 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦

25、成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载 当 k0 时，抛物线开口向上，a0 时，抛物线开口向下。（2）开口大小：与a有关。a越大开口越小，a越小开口越大。（3）极值：当 a 大于 0 时，函数有最小值，抛物线有最低点，当 x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值；当 a0 时，在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；当 a0 时，在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；2、二次函数)0(2akhxay的性质：（1）开口方向：与 a 的正负有关。a0 时，抛物线开口向上，a0 时，抛物

26、线开口向下。（2）开口大小：与a有关。a越大开口越小，a越小开口越大。（3）极值：当 a 大于 0 时，函数有最小值，抛物线有最低点，当 x=h 时，y 有最小值，ky最小值；当 a0 时，在对称轴的左侧，即当 xh 时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；当 a0 时，在对称轴的左侧，即当 xh 时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；3、二次函数与一元二次方程的关系(1)二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，当已知函数值为 m，求自变量 x的值时，可看做是解一元二次方程 ax2+bx+c=m;反 过 来，解 一 元 二 次 方 程ax2+bx+c=m，可 看 做 是 二 次

27、 函 数)0,(2acbacbxaxy是常数，当已知函数值为 m，求自变量 x 的值。（2）一元二次方程中的ac4b2，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。当0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时，图像与 x 轴没有交点。4.无论是什么函数，左右移影响着 x 的变化，左移 x 加，右移 x 减；上下移影响着 y 的变化，上移 y 减，下移 y 加。第四章 统计初步与概率初步 考点一、平均数 1、平均数的概念 负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒

28、数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载（1）平均数：一般地，如果有 n 个数,21nxxx那么，)(121nxxxnx叫做这 n 个数的平均数，x读作“x 拔”。（2）加权平均数：如果 n 个数中，1x出现1f次，2x出现2f次，kx出现kf次（这里nfffk21），那么，根据平均数的定义，这 n 个数的平均数可以表示为nfxfxfxxkk2211，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中kfff,21叫做权。考点二、统计学中的几个基本概念 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个

29、样本。4、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。5、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。考点三、众数、中位数 1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。考点四、方差 1、方差的概念 在一组数据,21nxxx中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“2s”表示，即)()()(1222212xxxxxxnsn 2.方差的大小决定波动的大小，方差越大波动越大，方差越小波

30、动越小。考点五、频率分布 1、频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。2、研究频率分布的一般步骤及有关概念 负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：计算极差（最大值与最小值的差）决定组距与组数决定分点列频率分布表 画频率分布直方图（2）频率分布的有关概念 极差：最大值与最

31、小值的差 频数：落在各个小组内的数据的个数 频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量 n）的比值叫做这一小组的频率。考点六、确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。考点七、随机事件发生的可能性 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些

32、游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。考点八、概率的意义与表示方法 1、概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率mn会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率。2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母 A，B，C，表示事件 A 的概率 p，可记为 P（A）=P 考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率（1）当 A 是必然发生的事件时，P（A）=1（2）当 A 是不可能发生的事件时，P（A）=0 2、确定事

33、件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1 概率的值 不可能发生 必然发生 事件发生的可能性越来越大 考点十、列表法求概率 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载 考点十一、树状图法求概率 1、树状图法 就是通过列

34、树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。考点十二、利用频率估计概率 1、利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。第五章 几何图形 考点一、直线、射线和线段 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的

35、各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、点、线、面、体（1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。3、直线的概念 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。4、射线的概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。5、线段的概念 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。6、点、直线、射线和线段

36、的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。注意：（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。（2）直线和射线无长度，线段有长度。（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。（4）点和直线的位置关系有线面两种：点在直线上，或者说直线经过这个点。负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没

37、有倒数学习好资料 欢迎下载 点在直线外，或者说直线不经过这个点。7、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。8、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂

38、直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。考点二、角 1、角的相关概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。2

39、、角的表示 角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：用数字表示单独的角，如1，2，3 等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如，等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B，C等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD，BAE，CAE 等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3、角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“”表示，1 度记作“1”，n 度记作“n”。把 1的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1”。把

40、1 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1”。1=60=60”4、角的性质 负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。5、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线的判定定理：到一个角的

41、两边距离相等的点在这个角的平分线上。考点三、相交线 1、相交线中的角（1）在两条直线相交的图样中，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角。邻补角互补，对顶角相等。（2）在三线八角图样中：直线 AB，CD 与 EF 相交（或者说两条直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截），构成八个角。其中1 与5这两个角分别在 AB，CD 的上方，并且在 EF 的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；3 与5 这两个角都在 AB，CD 之间，并且在EF 的异侧，像这样位置的

42、两个角叫做内错角；3 与6 在直线 AB，CD 之间，并侧在 EF 的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。2、垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线 AB，CD 互相垂直，记作“ABCD”（或“CDAB”)，读作“AB 垂直于 CD”（或“CD 垂直于 AB”）。垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。考点四、平行线 1、平行线的概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“”表示，

43、如“ABCD”，读作“AB 平行于 CD”。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。2、平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3、平行线的判定 平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。平行线的两条判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。负

44、无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。考点五、命题、定理、证明 1、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。理解

45、：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题 假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。4、定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。6、证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出

46、证明过程。考点六、投影与视图 1、投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。2、视图 当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。考点七、三角形 负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无

47、理数实数零简后含有的数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线

48、段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下：不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形

49、锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形 当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180。推论：直角三角形的两个锐角互余。负无理数实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零简后含有的

50、数如有特定结构的数如等一定要注意后面要带省略号某些三则有反之亦成立倒数等于本身的数是和学习好资料欢迎下载零没有倒数学习好资料 欢迎下载 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积 三角形的面积=21底高=21x 周长 x 内切圆半径。9、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角