2023年初中数学因式分解精华例题.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 初中因式分解的常用方法（例题详解）一、提公因式法.如多项式),(cbamcmbmam 其中 m叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式 二、运用公式法.运用公式法，即用 )(,)(2),)(223322222babababababababababa 写出结果 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：bnbmanam 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间

2、的联系。解：原式=)()(bnbmanam =)()(nmbnma 每组之间还有公因式！=)(banm 思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式：bxbyayax5102 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax 原式=)510()2(byaybxax =)5()5(2yxbyxa =)2(5)2(baybax =)2)(5(bayx =)5)(2(yxba 练习：分解因式 1、bcacaba2 2、1yxxy （二

3、）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式：ayaxyx22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=)()(22ayaxyx =)()(yxayxyx =)(ayxyx 例 4、分解因式：2222cbaba 解：原式=222)2(cbaba =22)(cba =)(cbacba 注意这两个例题的区别！练习：分解因式 3、yyxx3922 4、yzzyx2222 综合练习：（1）3223yxyyxx （2）baaxbxbxax22 优秀学习资料 欢迎下载（3）181696222aayxyx （4）abbaba49126

4、22 （5）92234aaa （6）ybxbyaxa222244 （7）222yyzxzxyx （8）122222abbbaa （9）)1)(1()2(mmyy （10）)2()(abbcaca （11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333=a b+a c+b a+b c+c a+c b+2abc =(a b+b a)+(b c+c b)+(a c+c a)+2abc =ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc =ab(a+b)+bc(b+c)+abc+ac(a+c)+abc =ab(a+b)+bc(b+c+a)+ac(a+c+b)=ab(a

5、+b)+(bc+ac)(a+b+c)=ab(a+b)+c(b+a)(a+b+c)=(a+b)ab+c(a+b+c)=(a+b)ab+ca+c(b+c)=(a+b)a(b+c)+c(b+c)=(a+b)(b+c)(c+a)a3+b3+c3-3abc =(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-3ab)=(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-3ab+a2-ab+b2-a2+ab-b2)=(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-a2-2ab-b2)+(a2-ab+b2)=(a+b)(a2-ab+b2)+cc2-(a+b)2+c(a2-ab+b2)=(a+b+c)(a2-ab+b2)+c(a+b

6、+c)(c-a-b)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式：652 xx 分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由 于 6=2 3=(-2)(-3)=1 6=(-1)(-6)，从 中 可 以 发 现 只 有 2 3 的 分 解 适 合，即 2+3=5。1 2 解：652 xx=32)32(2xx 1 3 =)3)(2(xx 12+13=5 用此方

7、法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式：672 xx 解：原式=)6)(1()6()1(2xx 1 -1 =)6)(1(xx 1 -6 （-1）+（-6）=-7 练习 5、分解因式(1)24142 xx (2)36152 aa (3)542 xx 公因式例分解因式分析从整体看这个多项式的各项既没有公因式可提也每组之间还有公因式思考此题还可以怎样分组此类型分组的关键分组后解原式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分解因式分析若将第一优秀学习资料 欢迎下载 练习 6、分解因式(1)22xx (2)1522 yy (3)24102 xx

8、 （二）二次项系数不为 1 的二次三项式cbxax2 条件：（1）21aaa 1a 1c（2）21ccc 2a 2c（3）1221cacab 1221cacab 分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa 例 7、分解因式：101132 xx 分析：1 -2 3 -5 （-6）+（-5）=-11 解：101132 xx=)53)(2(xx 练习 7、分解因式：（1）6752 xx （2）2732 xx （3）317102 xx （4）101162yy （三）二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8、分解因式：221288baba 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十

9、字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)=-8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba =)16)(8(baba 练习 8、分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba （四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、22672yxyx 例 10、2322 xyyx 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)=-7y (-1)+(-2)=-3 解：原式=)32)(2(yxyx 解：原式=)2)(1(xyxy 练习 9、分解因式：（1）224715yxyx （2）8622 axxa

10、 综合练习 10、（1）17836 xx （2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx （4）344)(2baba （5）222265xyxyx （6）2634422nmnmnm （7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa （9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx 思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222 五、主元法.公因式例分解因式分析从整体看这个多项式的各项既没有公因式可提也每组之间还有公因式思考此题还可以怎样分组此类型分组的关键分组后解原式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分解因

11、式分析若将第一优秀学习资料 欢迎下载 例 11、分解因式：2910322yxyxyx 5 -2 解法一：以x为主元 2 -1 解：原式=)2910()13(22yyyxx (-5)+(-4)=-9 =)12)(25()13(2yyyxx 1 -(5y-2)=)12()25(yxyx 1 (2y-1)=)12)(25(yxyx -(5y-2)+(2y-1)=-(3y-1)解法二：以y为主元 1 -1 解：原式=)2()93(1022xxxyy 1 2 =)2()93(1022xxyxy -1+2=1=)2)(1()93(102xxyxy 2 (x-1)=)2(5)1(2xyxy 5 -(x+2)

12、=)25)(12(xyxy 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练习 11、分解因式(1)56422yxyx (2)67222yxyxyx (3)613622yxyxyx (4)36355622bababa 六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对FEyDxCyBxyAx22型多项式的分解因式。条件：（1）21aaA，21ccC，21ffF （2）Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221 即：1a 1c 1f 2a 2c 2f Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221 则FEyDxCyBxyAx22)(222111fcxafycxa 例 12、分解因式

13、（1）2910322yxyxyx （2）613622yxyxyx 解：（1）2910322yxyxyx 应用双十字相乘法：x y5 2 x y2 1 xyxyxy352，yyy945，xxx2 原式=)12)(25(yxyx （2）613622yxyxyx 应用双十字相乘法：x y2 3 x y3 2 xyxyxy 23，yyy1394，xxx32 原式=)23)(32(yxyx 练习 12、分解因式（1）67222yxyxyx （2）22227376zyzxzyxyx 七、换元法。例 13、分解因式（1）2005)12005(200522xx 公因式例分解因式分析从整体看这个多项式的各项既没

14、有公因式可提也每组之间还有公因式思考此题还可以怎样分组此类型分组的关键分组后解原式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分解因式分析若将第一优秀学习资料 欢迎下载 （2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx 解：（1）设 2005=a，则原式=axaax)1(22 =)(1(axax =)2005)(12005(xx（2）型如eabcd 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=222)65)(67(xxxxx 设Axx652，则xAxx2672 原式=2)2(xAxA=222xAxA =2)(xA=22)66(xx 练习 13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx（2

15、）90)384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5()1(aaa 例 14、分解因式（1）262234xxxx 观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=)1162(222xxxxx=6)1()1(2222xxxxx 设txx1，则21222txx 原式=6)2222ttx（=10222 ttx =2522 ttx=215222xxxxx =21522xxxxxx=1225222xxxx =)2)(12()1(2xxx （2）14423

16、4xxxx 解：原式=2221414xxxxx=1141222xxxxx 设yxx1，则21222yxx 原式=3422 yyx=312 yyx =)31)(11(2xxxxx=13122xxxx 练习 14、（1）673676234xxxx（2）)(2122234xxxxx 八、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1）4323 xx 解法 1拆项。解法 2添项。原式=33123xx 原式=444323xxxx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx =)44()43(2xxxx =)331)(1(2xxxx =)1(4)4)(1(xxxx =)44)(1(2xxx =)44)(1(2xx

17、x =2)2)(1(xx =2)2)(1(xx（2）3369xxx 公因式例分解因式分析从整体看这个多项式的各项既没有公因式可提也每组之间还有公因式思考此题还可以怎样分组此类型分组的关键分组后解原式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分解因式分析若将第一优秀学习资料 欢迎下载 解：原式=)1()1()1(369xxx=)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx 练习 15、分解因式（1）893 xx （2）4224)1()1()1(xxx （3）1724 xx （4）22412aaxxx （5）444)(yxy

18、x （6）444222222222cbacbcaba 九、待定系数法。例 16、分解因式613622yxyxyx 分析：原式的前 3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx 解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622 613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622 对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm 原式=)32)(23(yxyx 例 17、（1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项

19、式。（2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba 的值。（1）分析：前两项可以分解为)(yxyx，故此多项式分解的形式必为)(byxayx 解：设6522ymxyx=)(byxayx 则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22 比较对应的系数可得：65ababmba，解得：132mba或132mba 当1m时，原多项式可以分解；当1m时，原式=)3)(2(yxyx；当1m时，原式=)3)(2(yxyx（2）分析：823bxaxx是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。解：设823bxaxx=)(2)(1(cxxx 则823bx

20、axx=cxcxcx2)32()3(23 82323ccbca，解得4147cba，ba=21 练习 17、（1）分解因式2910322yxyxyx 公因式例分解因式分析从整体看这个多项式的各项既没有公因式可提也每组之间还有公因式思考此题还可以怎样分组此类型分组的关键分组后解原式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分解因式分析若将第一优秀学习资料 欢迎下载 （2）分解因式6752322yxyxyx （3）已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。（4）k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。公因式例分解因式分析从整体看这个多项式的各项既没有公因式可提也每组之间还有公因式思考此题还可以怎样分组此类型分组的关键分组后解原式练习分解因式二分组后能直接运用公式例分解因式分析若将第一