2023年初中数学轴对称图形知识点总结归纳加习题全面汇总归纳1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 知识点 1 轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴;这时,我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。知识点2 对称轴的性质 1.对称轴是一条直线。2.在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。3.在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。4.图形对称 例1 下面哪些图形是轴对称图形？画出轴对称图形的对称轴。例2.推理游戏：下面应该是什么图形？学习必备 欢迎下载 知识点3 线段垂直平分线定义及其性质 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。性质1.垂直

2、平分线垂直且平分其所在线段。2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。例3如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 CD 上的一点，已知线段 PA=6，则线段 PB 的长度为（）A3 B5 C6 D8 解析：直线 CD是线段 AB的垂直平分线，PB=PA，PA=6，PB=6 答案 C 例4 如图所示，DE 是线段 AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）AED=CD BDAC=B 称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对

3、称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 CC2B DB+ADE=90 分析：DE是线段 AB的垂直平分线，AD=BD B=BAD，ADE=BDE B+ADE=90 答案 D 课堂练习1 1点 A，B 关于直线 a 对称，P 是直线 a 上的任意一点，下列说法不正确的是（）A直线 AB 与直线 a 垂直 B直线 a 是点 A 和点 B 的对称轴 C线段 PA 与线段 PB 相等 D若 PA=PB，则点 P 是线段 AB 的中点 2.三角形中到三边的距离相等的点是（）A三条边的垂直平分线

4、的交点 B三条高的交点 C三条中线的交点 D三条角平分线的交点 3.已知 A 和 B 两点在线段 EF 的中垂线上，且EAF=100，EBF=70,则AEB 等于()A、95 B、15 C、95或15 D、170或30 4.已知：如图，线段 AB 垂直平分线段 CD 则 AC 。若线段 AB,CD 互相垂直平分，则 AC=。ABCODOABDC称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 第四题 第五题 5已知：如图，O=34,BD 垂

5、直平分 AO，求ABC的度数.6.已知：如图，AC=BC,AD=BD，求证：AE=BE 知识点1 画轴对称图形 例 1 已知直线 AB 和直线 l，要画出 AB 关于 l 的对称图形只需要在直线 AB 上选两个不同的点，这 两点关于 l 的对称点就可以确定直线 AB 的对称图形 CD。点构成线，线构成面，类似的，作出构成这 个平面图形的直线的轴对称图形即可确定这个平面的对称图形。EABDC称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 例

6、2ABC在平面直角坐标系中如图所示，（1）作出ABC关于 x 轴对称的图形A1B1C1；若 P（a，b）是ABC内一点，请用 a，b表示出点 P关于 x 轴对称的点 P1的坐标；（2）作出ABC关于原点对称的图形A2B2C2，写出点 C2的坐标（3）A2B2C2能否由A1B1C1通过某种变换而得到？若能，请指出是何种变换 分析：（1）根据网格结构找出点 A、B、C 关于 x 轴的对称点 A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，根据关于 x 轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数写出点 P1的坐标；（2）根据网格结构找出点 A、B、C 关于原点对称的点 A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即

7、可，再根据平面直角坐标系写出点 C2的坐标；（3）观察图形可知关于 y 轴对称 解：（1）A1B1C1如图所示，点 P1的坐标为（a，-b）；（2）A2B2C2如图所示，点 C2的坐标（2，0）；（3）A2B2C2能由A1B1C1通过变换得到，是关于 y 轴对称 称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 知识点3 用坐标表示轴对称 坐标轴对称 点 P（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标是（x，-y）点 P（x，y）关于 y 轴对称的

8、点的坐标是（-x，y）原点对称 点 P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）坐标轴夹角平分线对称 点 P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 y=x 对称的点的坐标是（y，x）点 P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y=-x 对称的点的坐标是（-y，-x）例3 在平面直角坐标系中，A点的坐标（-4，3）（1）求出点 A关于 y 轴对称的点 B的坐标；称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 答案（1）A点的

9、坐标（-4，3），B与 A关于 y 轴对称，二者纵坐标相同，横坐标互为相反数 故 B点坐标为 B（4，3）；课堂练习2 1 点 A（-3，2）关于 y 轴对称点的坐标是()A （-3，-2）B （3，2）C （-3，2）D（2，-3）2点 P（a，b）关于 x 轴的对称点为 P（1，-6），则 A、B的值分别为()A 1，6 B-1，-6 C-1，6 D 1，-6 3.点 P 关于 x 轴对称点 P的坐标为（4，-5）,那么点 P 关于 y 轴对称点 P 的坐标为：A(-4，5)B(4，-5)C(-4，-5)D(-5，-4)4.已知 A、B两点的坐标分别是(-2，3)和(2，3），则下面四个结

10、论：A、B关于 x 轴对称；A、B关于 y 轴对称；A、B关于原点对称；A、B之间的距离为 4，其中正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4 个 5.已知 M(0，2)关于 x 轴对称的点为 N，线段 MN的中点坐标是()A.(0，-2)B.(0，0)C.(-2，0)D.(0，4)6.平面内点 A(-1，2)和点 B(-1，6)的对称轴是()A.x轴 B.y轴 C.直 线y=4 D.直线 x=-1 7.下列关于 直线 x=1 对称的点是()称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂

11、直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 A 点（0，-3）与点（-2，-3）B 点（2，3）与点（-2，3）C 点（2，3）与点（0，3）D 点（2，3）与点（2，-3)二、填空题:8.已知 A(-1，-2)和 B(1，3），将点 A 向_平移_个单位长度后得到的点与点 B关于 y 轴对称 9.一个点的纵坐标不变，把横坐标乘以-1，得到的点与原来的点的关系是_ 10.点M(-2，1)关于x轴对称的点N的坐标是_，直线MN 与x 轴的位置关系是_ 11.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点 A的坐标为（2，1），标出点 B、C、D 的坐标分别为：

12、B(，)，C(，)，D(，)。12.若 A（m-1，2n+3）与 B（n-1，2m+1）关于 y 轴对称，则 m=,n=13.已知 a0，那么点 P（-a-2，2-a）关于 x 轴对称的对应点 P在第 象限 三、解答题 14.已知点 M（1-a，2a+2），若点 M 关于 x 轴的对称点在第三象限，求 a 的取值范围？15.已知点 A 的坐标为（2x+y-3，x-2y）。它关于 x 轴对称的点 A的坐标为（x+3，y-4），求点 A 关于 y 轴对称的点的坐标。知识点1 等腰三角形 有两边相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形中，相等的两个边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角

13、，腰和底边的夹角叫做底角。称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 知识点2 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等

14、腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰大于高 知识点3 等腰三角形的判定 定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。例1 称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 如图，ABC中，点 D

15、在边 AC上，且A=36，DBC=36，C=72，（1）找出图中图中所有的等腰三角形：（2）请在你第（1）小题所找的三角形中，说明它是等腰三角形的理由 解：（1）A=36，C=72，ABC=180-36-72=72，AB=AC，ABC是等腰三角形，DBC=36，C=72，BDC=72，DB=CB，DBC是等腰三角形，BDC=72，ABD=36，AD=DB，ABD是等腰三角形，故答案为：ABC，DAB，BCD；知识点4 等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三

16、角形）。知识点5 等边三角形的性质 等边三角形的内角都相等，且均为60度。等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 知识点6 等边三角形的判定 三边相等的三角形是等边三角形（定义）。三个内角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。有两个角等于 60度的

17、三角形是等边三角形。例2 如图：ABC和ADE是等边三角形证明：BD=CE 证明：ABC和ADE是等边三角形（已知），AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=60（等边三角形的性质）BAD=CAE（等式的性质）在BAD与CAE中，ABAC，BADCAE，ADAE ，BADCAE（SAS）BD=CE（全等三角形的对应边相等）知识点7 含30 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，有一个锐角是 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。例3 如果直角三角形的一个锐角为30，而斜边与较短的直角边之和为18cm，那么斜边长为（）A6cm B9cm C12cm D14cm 解析：设直角三角形的30角对的边

18、为 a，称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 另一直角边为 b，斜边为2a，由题意知，3a=18，a=6，2a=12cm.答案 C 课堂练习3 1已知等腰三角形一个内角的度数为 30，那么它的底角的度数是_ 2等腰三角形的顶角的度数是底角的 4 倍，则它的顶角是_ 3等腰三角形的两边长分别为 3 厘米和 6 厘米，这个三角形的周长为_ 4如图，在 中，平分，则 D点到 AB的距离为_ 5 如图，在 中，平分，若，则 6 如图，A

19、B的垂直平分线交AC于D，则 7.等边三角形是轴对称图形，它有_条对称轴。8.等边三角形两个内角的平分线所成的钝角的度数是_.9.若一个三角形有两个外角都是 120，则这个三角形是_三角形。10.等边三角形的两条中线相交所成的锐角的度数是_。11.若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角形是_三角形。12.若右图所示，已知点 D在 BC上，点 E在 AD上，BE=AE=CE,并且1=2=60.求证：ABC是等边三角形。称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某

20、直线对称那学习必备 欢迎下载 13.如右图所示，在等边三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别截出 AD=AE，ADE是等边三角形吗？说明理由。课后作业 1下列命题中：两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；等腰三角形的对称轴是底边上的中线；等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有（）个 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2下列图形中：平行四边形；有一个角是 30 的直角三角形；长方形；等腰三角形.其中是轴对称图形有（）个 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3已知AOB30，点 P 在AOB 的内部，P1与 P

21、关于 OA 对称，P2与 P 关于 OB 对称，则P1OP2是 （）A含 30 角的直角三角形；B顶角是 30 的等腰三角形；C等边三角形 D等腰直角三角形.4如图：等边三角形 ABC 中，BDCE，AD 与 BE 相交于点 P，则 APE 的度数是 （）A45 B55 C60 D75 5.等腰梯形两底长为 4cm 和 10cm，面积为 21cm2，则 这个梯形较小 的底角是（）度.A45 B30 C60 D90 6已知点 P 在线段 AB 的中垂线上，点 Q 在线段 AB 的中垂线外，则 （）APA+PBQA+QB BPA+PBQA+QB DPA+PBQA+QB D不能确定 7已知ABC 与

22、A1B1C1关于直线 MN 对称，且 BC 与 B1C1交与直线 MN 上一点 O，则 （）A点 O 是 BC 的中点 B点 O 是 B1C1的中点 P A E C B D 称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 C线段 OA 与 OA1关于直线 MN 对称 D以上都不对 8如图：已知AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若 PC=4，则 PD=（）A4 B3 C2 D1 9AOB 的平分线上一点 P 到 OA 的距离 为 5

23、，Q 是 OB 上任一点，则（）APQ5 BPQ5 CPQ5 DPQ5 10等腰三角形的周长为 15cm，其中一边长为 3cm则该等腰三角形的底长为（）A3cm 或 5cm B3cm 或 7cm C3cm D5cm 11线段轴是对称图形，它有_条对称轴 12等腰ABC 中，若A=30，则B=_ 13在 RtABC 中，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 CD=4，则点 D 到 AB 的距离是_ 14等腰ABC 中，AB=AC=10，A=30，则腰 AB 上的高等于_ 15如图：等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=6，AD=5，BC=8，且 ABDE，则DEC的周长是_ 16等

24、腰梯形的腰长为 2，上、下底之和为 10 且有一底角为 60，则它的两底长分别为_ 17 若 D 为ABC 的边 BC 上一点，且 AD=BD，AB=AC=CD，则BAC=_ 18ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F，若BAC=115，则EAF=_ 19如图：已知AOB 和 C、D 两点，求作一点 P，使PC=PD，且 P 到AOB 两边的距离相等 B A D P O C B E C D A A C D O B 称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那学习必备 欢迎下载 20如图：AD 为ABC 的高，B=2C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD 21有一本书折了其中一页的一角，如图：测得 AD=30cm,BE=20cm，BEG=60，求折痕EF 的长 A C D B 称图形中对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等在轴对称图形中线段垂直平分线定义及其性质定义经过某一条线段的中点并且垂直于这离相等的点在这条线段的垂直平分线上如果两个图形关于某直线对称那