2023年多元一次不定方程的完整讲义和练习.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 二元 一次不定方程 知识要点和基本方法 1当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程只讨论有二个未知数的一次不定方程 2一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1 解方程83 yx 解：由原方程，易得yx38 因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为 kykx38 其中k为任意数 整数解问题：例2 求方程863 yx的整数解 解：因为)2(363yxyx，所以，不论x与

2、y取何整数，总有,633yx但3不能整除 8，因此，不论x与y取何整数，yx63 都不可能等于 8，即原方程无整数解 定理 1：整系数方程cbyax有整数解的充分而且必要条件是a与b的最大公约数d能整除c 例3 求方程34104 yx的整数解 解：因为 4 与 10 的最大公约数为 2，而 34 是 2的倍数，由定理得，原方程有整数解。两边约去 2 后，得,1752 yx故5217xy ，因此，要使y取得整数，1x27=15，3y，即我们找到方程的一组解,3,100 yx设原方程的所有解的表达式为：nymx31代入原方程，得05217)3(5)1(2nmnm（nm,为整数）2与 5 互质，所以

3、kknkm(2,5为整数）由此得到原方程的所有解为kykx2351（k为任意整数）定理 2。若a与b的最大公约数为 1（即a与b互质），00,yx为二元一次整系数不定方程cbyax的一组整数解（也称为特解），则cbyax的所有解（也称通解）为 akyybkxx00其中k为任意整数 但不定方程11051999yx很难直接找到一组整数解 例4 求方程1253 yx的整数解。解：由yxyx3541253，所以当且仅当y是 3 的倍数时，取,3y得,13354x即3,1yx是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为 kykx3351（k为任意整数）精品资料 欢迎下载 例5 求方程3153 yx的整数

4、解 解：由原方程得：312103531yyxyx要使方程有整数解，31y必须为整数，取,2y得7141031210yyx，故2,7 yx是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为kykx3257（k为任意整数）例 6：若干只 6 脚蟋蟀和 8脚蜘蛛，共有 46 只脚，则蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：设有 x 只蟋蟀只，蜘蛛 y 只，则方程 6x+8y=46，即 3x+4y=23，3423yx，变形为 327yyx，,61y又y为正整数，且24 y能被 3整除，2y或5y，把2y，5y代入得方程的正整数解为51,25yxyx 例 7：用 16 元钱买面值为 20 分、60 分、1 元的三种邮票共

5、18 枚，每枚邮票至少买 1 枚，共有多少种不同的买法？解：设买面值为 20 分的邮票 x 枚，面值为 60 分的邮票 y 枚，则买面值为 1 元的邮票为)18(yx 枚，根据题意得1600)18(1006020yxyx，即52yx，由,2125xxy又212,12,1)25(18xxxx，因此x可取的正整数值为 1，2；当1x时，3y,1418yx当2x时，1518,1yxy，均符合 正整数解问题 例1 求方程3153 yx的正整数解。解：我们知道3153 yx的所有整数解为kkykx(3257为任意整数）故要求原方程的正整数解，只要使0,0 yx即可，所以032057kk3257k，注意到

6、k为整数，所以1,0 k得所有正整数解52;27yxyx 例2 求方程735 yx的正整数解。解：原方程可化为573 yx，即5)1(32yx其中4,1 yx为原方程的一组整数解，因此，原方程的所有整数解为kykx5431（k为任意整数）令0,yx得：31054031kkk（k为整数）3,2,1,0k 原方程可得无穷多组正整数解kykx5431（3,2,1,0k）程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数解所以不论与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原方程有整数解两边约去后精品资料 欢迎下载 例3 求方程12511 yx

7、的正整数解。解：如果方程有正整数解，则,1,1 yx因此16511511 yx12，这个方程无正整数解。说明：一般地，若方程cbyax中，cbaba,0.0，则这个方程无正整数解。例4 如果三个既约真分数6,4,32ba的分子都加上b，这时得到的三个分数的和为 6，求这三个既约真分数的积。解：由题意得66432bbbab，整理得,64113 ba问题转化为求64113 ba的正整数解。31421bba，不定方程有一组整数解214ba它的所有整数解为 kkbka(321114为任意整数）令0,0 ba，得不等式组32111403201114kkk 整数1;0 k。因此方程有两组正整数解53;21

8、4baba，4a与6b为既约真分数，所以5,3 ba是它的唯一解，因此所求的积为165654332 例5 今有 36 块砖，36 人搬，男搬 4块，女搬 3块，两个小孩抬一块，问男、女、小孩各有多少人？解：设男、女、小孩分别为zyx,人，又题意列方程组：36213436zyxzyx；消去z得 75153657yxyx；观察得3,300 yx是方程的一个解；所以方程的通解为 tytx7353（t为整数）。又依题意得120,90yx；7353127309530ttt，又t为整数，故只有3,3,0yxt则30z 答：有男 3 人，女 3 人，小孩 30 人。例6 一批游人分乘若干辆汽车，要求每车人数

9、相同（最多每车 32 人）。起初每车乘 22 人，这时有一人坐不上车，开走一辆空车，那么所有游人刚好平均分乘余下的汽车，问原来有多少辆汽车？这批游人有多少？解：设原有汽车x辆，总人数为)1(xn，由已知条件：322122)1(nxxxn nxxxn123221122是人数，应为正整数，231x，11x或 23，45,2nx或23,24nx共有汽车 24 辆，游人共 529 人。例7 求方程1985)52)(12(yx的正整数解 程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数解所以不论与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原方程

10、有整数解两边约去后精品资料 欢迎下载 解：39751985，52,12yx应是正整数，故有以下四种可能：9091;0199,1963152198512;198552112;55239712;39752512yxyxyxyxyxyxyx2993yx其中第二组和第四组都不是正整数解（舍）例 8：某剧场共有座位 1000 个，排成若干排，总排数大于 16，从第二排起，每排比前一排多一个座位，问：剧场共有多少排座位？解：设剧场共有 x 排座位，第一排有n个座位，则第x排有座位)1(xn个，根据题意得 21100010002)1(xxnxxnn，nx,均为正整数，所以x为奇数，且x是1000 的正约数。

11、1000,52100033的正奇约数只有 5，25，125，5,16xx不合题意，又当125x时，(54628n舍）当25x时，28n，符合题意，答：剧场共有 25 排座位。例：一个正整数与 13 的和为 5的倍数，与 13 的差是 6 的倍数，求满足条件的最小正整数是多少？解：由题意得21613513kxkx（21,kk是正整数），可得515,652622121kkkkk，要使x最小，则2k取最小值，当42k时，101k，此时37x 例：若ba,都是正整数，且,2001500143ba求ba 的值。解：由已知可得143711423131435002001bbba，观察可得7,2 ab，于是不

12、定方程的解为ttbta(1432,5007为整数），ba,是正整数，01432,05007tt，得14325007t，知9,2,7,0babat 例：设m和n大于 0 的整数，且,22523 nm若m和n最大公约数为 15，则_ nm；若m和n的最小公倍数为 45，则_ nm 解：nm,的最大公约数为 15，可令212121,.(15,15kkkkknkm为正整数），由已知得1523,2253045232121kkkknm的解为tktk36,2121，而21kk 且21,kk为正整数，有036,021tt，知1,0 t；当1t时3,21kk（舍去），当0t时，6,121 kk，此时mnmknk

13、m,90,9015,151521和n的最小公倍数为 45，可令ddnndmm(,11为正整数），由已知得5334511ndm，由22523 nm得225)23(11 nmd，于是有52311mn，则只有11n，,45,11 dm此时90,45nmnm 例：一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字 1，黄球上标有数字 2，蓝球上标有数字 3，小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？解：设小明摸出的 10 个球中有红球x个，黄球y个，则蓝球)10(yx 个，由题意得 程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数解所以不论

14、与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原方程有整数解两边约去后精品资料 欢迎下载 21)10(32yxyx,即,0,0,92yxyx而xy22，知5.40 x，故红球个数最多不超过 4个。二元一次不定方程练习 姓名_学号_ 一选择题 1方程72 yx在正整数范围内的解（C ）（A）有无数解 （B）只有一组 （C）只有三组 （D）以上都不对 2方程199119891990yx的一组正整数解是（C ）（A）12768,12785yx；（B）12770,12785yx；11941,11936)(yxC 12623,13827)(yxD 二判断下列二元一次方程有无整数解，并说明理由

15、1562 yx 2864 yx 311653yx 43211yx 程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数解所以不论与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原方程有整数解两边约去后精品资料 欢迎下载 三求下列二元一次方程的解 1762 yx 26433yx 四求下列二元一次方程的整数解 120105 yx 2743 yx 3874 yx 4 43013yx 五求下列方程的正整数解 1201511 yx 22152 yx 3325 yx 43285 yx 六试将 100 分成两个正整数之和，其中一个为 11 的倍数，另一个为

16、 17 的倍数。七求不定方程1635 yx的最小整数解 解：将1635 yx变为5163 yx，当2,1y时均不合题意，当3y时，5x 原不定方程的最小正整数解为35yx 八用 16 元钱买面值为 20 分，60 分，1元的三种邮票共 18 枚，每枚邮票至少买 1枚，共有多少中不同的买法？九一分、二分、五分的硬币共十枚，付一角八分钱，有几种不同的取法？解：设取 x 枚 1分，y 枚 2分，则取)10(yx 枚 5分硬币，由题意得323418)10(52yxyxyx，,438yxyx,均为非负数，由 程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数

17、解所以不论与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原方程有整数解两边约去后精品资料 欢迎下载 0438 y得,332y又y为 4的倍数，.8,4,0y有三种不同的取法。十把 118 分成两个整数，一个数为 11 的倍数，一个数为 17 的倍数。解：设 118=yx1711（yx,为在整数）得特解为5300yx，通解为kkykx(115173为整数），kkk)(115(17)173(11118为整数）十一。全年级 104 人到公园划船，大船每只载 12 人，小船每只载 5 人，大小船每客票价相等，但无论坐满与否都要照满载算价，试计算，大小船各租几只才能既使每人都能乘船又使费用最省

18、？解：设大小船各租 x 只，y 只，由题意得yxyx,(104512为非负整数）。当104512 yx时费用最省，此时,512104xy由,0512104 x得,12104x且x24能被 5整除，7,2x，当2x时，,16y当7x时，4y 答：大小船各租 2只，16 只或 7 只，4只时，既使每人都能乘船又使费用最省。十二。一头猪卖213银币，一头山羊卖311银币，一头绵羊卖21银币，有人用 100 个银币买了100 头牲畜，问买了猪、山羊、绵羊各几头？解：设买猪 x 头，山羊 y 头，则买绵羊)100(yx 头，yx,为非负整数，由题意得 100)100(21311213xyyx，整理得xy

19、yx51860,300518，由 051860 x得350 x，又x为 5 的倍数，15,10,5,0 x，当0 x时，40100,60yxy；当5x时，53100,42yxy；当10 x时，66100,24yxy；当15x时，6y，79100yx 答：买猪 0 头，山羊 60 头，绵羊 40 头；买猪 5头，山羊 42 头，绵羊 53 头；买猪 10 头，山羊 24 头，绵羊 66 头；买猪 15 头，山羊 6头，绵羊 79 头。程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数解所以不论与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原

20、方程有整数解两边约去后精品资料 欢迎下载 十三。小王架车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，一小时后看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数；再过一小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好 是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少？解：设第一次看到的两位数的十位数字为 x，个位数字为 y（yx,为 19 的自然数）则)10(100)10()10(xyyxyxxy，整理得xy6，yx,为 19的自然数，,6,1 yx三块里程碑上的数分别为 16，61，106；如何解二元一次不定方程 意思就是说求方程中的整数解。对于这个问题，数论中有专门的解法，一

21、般是采用辗转相除法来做，就是类似于求最大公因子的相除过程。因为可能直接用辗转相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法来做，然后再跟大家介绍数论中的做法。为了简化问题，我们先求的一切整数解。解：我们对等式进行变形，得到 式 因为 是整数，所以也必须是整数，再另，变形得到，再次变形表达成 式 因为 是整数，所以也必须是整数，然而是整数的条件就是是 3 的倍数，所以 式 这样是整数才能满足。从式反推回式，得到 再反推回式得到 至此，我们就得到了不定方程的全部整数解式中 可以取任意的整数。对结果表示怀疑？那么我们试几个 值：当=0 时，当=1 时，如果还想试的话，自己去试吧，如果找到不对的情况

22、请立刻去买彩票！O(_)O 我们来分析一下这种计算方法，看看这么巧妙是如何实现的：式之中，我们通过变形把系数大的项移动到等式右边，然后把左边的系数除过去，得到 式中 都为整数，所以我们又变形得到，为何要这样呢？这就是关键所在！因为这样做就逐步的把系数减小了，前面的式子分子系数为 7，而后面的变成了 3！而根据是一个整数，所以我们又可以列出新的不定方程，这个方程就要比我们最早的方程更简单，程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数解所以不论与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原方程有整数解两边约去后精品资料 欢迎下载 这样

23、一直演算下去，最后分子系数肯定会变成 1，比如，这时因为是整数，假设等于，得到，变形得到，这就是最愉快的时候的，我们再一路反推回去，就可以得到原始的 的通解表达式了。上面的分析例子虽然简单，但是思想是对所有的不定方程都通用的，如果没有理解的话，请再仔细的看一遍，自己再演算一遍，肯定就 OK 了。以上就是普通解二元不定方程的方法，时间很晚了，数论上的方法我就先不讲了，下次补上。Winxos 2009-8-26 3:02:53 今天我接着上次的给大家讲一下数论中用的辗转相除法。实际上辗转相除法就是上面解方程法的简化计算版本，原理是一样的。我们还是以为例子来讨论 式中，我们对来辗转相除（就是求的最大

24、公因子的过程），如下：，然后让，重复上一步操作，停止计算（余数为 0 或者 1 就停止计算）。我们建立一个辅助表格：0 1 2 3 K 1 2 3 k 1 1 2 3 k 0 1 2 3 k 表 1 二元一次不定方程辅助表 下面我来告诉大家如何使用这个表，我们已经计算得到，我们也知道 0=1，1=1，0=0，1=1，将上面的数填入表中，我们得到下面的表：0 1 2 1 1 1 1 2 0 1 2 表 2 根据我们得到 根据我们得到 公式 1：不定方程的一个特解为 其中 n 就是表中的第一行。所以我们得到了不定方程的：一个特解为：下面给出几个相关的定理：定理 1：如果二元一次不定方程有一整数解；

25、又假定 则的一切解可以表示为 定理 2：有整数解的充分必要条件是 术语解释：表示的最大公因子，表示的最大公因子能整除 表构造说明：第一行表示第几项，第二行 就是我们计算过程中得到的商序列 k，第三行规律为 0=1，1=1，形象描述就是 从 2开始，等于沿着表中红色箭头方向第一项加上后两项的乘积。第四行规律为 0=0，1=1，绿色箭头方向。程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数解所以不论与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原方程有整数解两边约去后精品资料 欢迎下载 根据上面的定理 1，我们可以得到不定方程的通解为：经过

26、上面的练习，现在给出具体的求解的步骤：判断是否有解，看是否 若 将 两 边 同 时 除 以，得 到；互质 先利用表 1 及公式 1，求的的一个特解 将特解放大 倍，再绝对值变换，得到的特解 根据定理 1，求得的通解，这也是原方程的通解 完毕 下面我再给出一个书上的复杂点的例子，以及用上面的方法求解过程。题目：求的一切整数解。解：判断是否有解 所以该不定方程有解 变形处理 等式两端同时除以 得到 求特解 我们先求解，为了计算方便，我们进行绝对值处理，以及变量换名字，我们变成求解，辗转除 107 与 37，过程如下：余数为 1，停止计算 我们将带入表 1，得到：0 1 2 3 2 1 8 1 2

27、2 3 0 1 2 3 根据我们得到 根据我们得到 继而求得：根据公式 1，得到的特解为 所以的特解为 求的特解 将的特解放大 25 倍，得到的特解 求的通解 根据定理 1，得到的通解为 或者为了好看，处理小一点，表达成：程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数解所以不论与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原方程有整数解两边约去后精品资料 欢迎下载 这也就是题目的通解。完毕。辗转相除法是我国古代很早前就发明的算法，为我们的祖先感到骄傲。希望看到这篇文章的朋友能了解辗转相除法，能够很轻松的解二元一次不定方程，那样我就很满足了。如果朋友您从这里学会了二元一次不定方程的解法，不妨留下脚印，如果还有什么不理解的地方欢迎给我留言。程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数解所以不论与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原方程有整数解两边约去后精品资料 欢迎下载 程的整数解或正整数解此时它可能仍有无穷多组解也可能只有有限组解中为任意数整数解问题例求方程的整数解所以不论与取何整数总有但不因为与的最大公约数为而是的倍数由定理得原方程有整数解两边约去后