2023年初二数学平行线分线段成比例定理.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 初二数学 【教学进度】几何第二册第五章 5.2 教学内容 平行线分线段成比例定理 重点难点剖析 一、主要知识点 1平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。3三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4三角形一边的平行线的性质定理 2（即课本例 6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得

2、的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。二、重点剖析 1平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。定理的基本图形 l1l2l3 DFEFACBCDFDEACABEFDEBCAB 对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：EFDEBCAB ，可以说成“上比下等于上比下”DFDEACAB ，可以说成“上比全等于上比全”DFEFACBC ，可以说成“下比全等于下比全”等 2三角形一边平行线的性质定理 1（即平行线分线段比例定

3、理的推论）基本图形 LLL图1-（1）CFABEDFC图1-（2）3ED12BAF3LC图1-（3）2LL1BEA图1-（4）FL3CL2L1BDA3L2LL1(D)(E)优秀学习资料 欢迎下载 ABCDEFl123ll图3图4ADBCE图5CBEFGADDEBC ACCEABDBACAEABADECAEDBAD 图 2（1），图 2（3）称为“A”型，图 2（2）称为“X”型 推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线 3三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。（1）这个定理可以用来判定两条直线平行。（2）使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两

4、边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。4平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。它是一个假命题，如图 3，其中 AB=BC，DE=EF，则1EFDEBCAB，但 L1、L2、L3不平行。5、三角形一边的平行线的性质定理 2（即课本例 6），这个定理也叫做相似三角形预备定理 DEBC ACAEBCDEABAD 这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定理也成立。图 4 是最基本的“A”型，课本例 6 中有“A”型时常作平行线，把所要研究的线段中，与其它线段关系不明显的线段平移到关系明显的线

5、段上去。典型例题 例 1、如图 5，在ABC 中，D 是 BC 上的点，E 是 AC 上的点，AD 与 BE 交于点 F，若 AE:EC=3:4，BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系，而图形本身并没有平行线，故需添加辅助线平行线去构造比例线段，进而求出比值。解：过 E 作 EGBC 交 AD 于 G，则在ADC 中，ACAEDCGE 又43ECAE 73ACAE 73DCEG 极 EG=3X，DC=7X（X0），则 32DCBD DB=xxDC31473232 9143314xxEGBD ADEBCEDABCABC

6、DE图2-(1)图2-(2)图2-(3)行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边或两角形的第三边三角形一边的平行线的性质定理即课本例平行于三角形的基本的理论同时它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一定理的基优秀学习资料 欢迎下载 ABCDEF图6 又 EGBC，914EGBDFEBF 例 2、如图 6，DEAB，EFBC，AF=5cm,FB=3cm,CD=2cm,求 BD。分析 根据条件可知 BDEF 为平行四边形，由 EFBC，应用相似三角形的预备定理，得BCEFABAF再应用比例性质，即可求出 EF 即 BD。解：DEAB，EFBC 四边形 BDEF 为平行四边形，BD

7、=EF 又 EFBC，BCEFABAF DCBDBDBFAFAF 2355BDBD 解之，得 BD=310（cm）例 3、如图 7，A、C、E 和 B、F、D 分别是O 的两边上的点，且 ABED、BCFE。求证：AF/CD 分析 要证明 AF/CD，应推导出能使 AF/CD 的比例线段，由题中图形可知，应证明ODOFOCOA，而由 AB/ED，BC/FE，容易得到此关系。证明：AB/ED ODOBOEOA BC/FE OEOCOFOB 由得 OEOBODOA 由得 OEOBOFOC OFOCODOA 则ODOFOCOA AF/CD 点评：本题是采用的是“公比过渡”的方法来解决问题的，“公比”

8、是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比，有时公比是采用乘积式的形式。例 4 如图 8 梯形 ABCD 中，AB/CD，M 为 AB 的中点，分别连结 AB、BD、MD、MC，且 AC 与 MD 交于 E，DB 与 MC 交于 F，求证 EF/CD 分析：要证 EF/CD，可根据三角形一边平行线的判定定理证明，首先观察 EF、CD 截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。证明：AB/CD EMDEAMCD，FMCFMBCD 又AM=BM FMCFEMDE EF/CD 点评 利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：（1）首先观察欲证平行线截哪个三角形 （2）再

9、观察它们截这个三角形的哪两边（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可 当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其它相等线段）的比作为中间比 例 5 如图 9，,CBA分别在ABC 的三边 BC、AC、AB 上 或其延长线上，且CCBBAA/求证：CCBBAA111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题，一般情况下，要将其转化为线段比的形式。证明：AACC/BACBAACC BBCC/ABCABBCC 1ABCACBABCABACBBBCCAACC CCBBAA111 点评 对于线段倒数和的证明，常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式，再利用平行线或相似三角图7COB

10、AFDED图8CMAEFB图9ACBACB行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边或两角形的第三边三角形一边的平行线的性质定理即课本例平行于三角形的基本的理论同时它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一定理的基优秀学习资料 欢迎下载 FC图11BDEAMN 形有关性质进行求解，如本题中，要证CCBBAA111，只需证1BBCCAACC，即将倒数和的形式化为线段比的形式。例 6 如图 10 四边形 ABCD 中，BAD 的平分线交 BD 于 E，EF/CD 交 BC 于 F，求证：1ABADBFBC 分析 结论是两个线段比的差，可分别求出每一组线段的比，再进行减法运算。证明：A

11、E 平分BAD BEDEABAD 在BCD 中 EF/CD BFCBBEDB 得 1BEDEBEDBABADBFBC 1ABADBFBC 例 7 如图 11，AD 为ABC 的角平线，BFAD 的延长线于 F，AMAD 于 A 交 BC 的延长线于 M，FC 的延长线交 AM 于 E，求证：AE=EM 分析 要证 AE=EM，可利用比例缎来证明，而由 BFAF，可延长 BF 交 AC 延于 N，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质有 BF=FN，再由 BN/AM，得比例线段，即可得出结论。证明：延长 BF 交 AC 的延长线于 N AFBF BFA=NFA=900 又BAF=NAF，AF=AF

12、ABFANF BF=NF BFAF AMAF BF/AM ECFCEMBF，CEFCAEEN AEFNEMBF 又BF=FN EM=AE 点评（1）有和角平分线垂直线段时常把它延长，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质证题（2）利用比例证明线段相等主要有以下形式 baba 1 cabcba cadbdcba dbcadcba 例 8 如图 12 把线段 AB 分成 2：3 两部分 分析 利用平行线分线段成比例定理作图 作法；1.以点 A 为端点，作射线 AM 2.在 AM 上顺次截 AD=2a，DE=3a（a 为任意长）3.连结 BE，过点 D 作 DC/BE 交 AB 于 C，则点 C 即为所

13、求 练习与测试 1 如图ABC 中，D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE/BC，EF/AB，AD=9，EF=6，CF=5，则 BF=2 直线 DE 分别交ABC 的边 AB、AC 于点 D、E，且 AD=4cm，AE=6cm、AB=12cm，AC=那么 DE/BC 3 如图 DE/BC 32DBAD，那么ECAC=BCDE 4如图在 ABCD 中，E 在 AD 上，F图10CBEAD图122aADC3aBEM(第1题)BDCFEA(第3题)CEABD(第4题)BAFCEDDABO(第5题)CE(第6题)GACEBHFD行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边或两

14、角形的第三边三角形一边的平行线的性质定理即课本例平行于三角形的基本的理论同时它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一定理的基优秀学习资料 欢迎下载 NEFADBC（第13题（2）M（第13题（2）ADEFCBMN（且 4AE=5DE，CE 交 BD 于 F，则DFBF 5 如图，梯形 ABCD 中，AD/BC，对角线 AC、BD 相交于 O，CE/AB 交 BD 的延长线于 E，若 OB=6，OD=3，则 DE=6 如图，已知 DC/EF/GH/AB，AB=30，CD=6，且 DE：EG：GA=1：2：3，则 EF=GH=7如图，在 ABCD 中，O1、O2、O3分别为对角线 BD 上三点，且

15、 BO1=O1O2=O2O3=O3D，连结 AO1，并延长交 BC 于 E，连结 EO3，并延长交 AD 于点 F，则 AD：FD=8 图，GBAFll52,/21，BC=4CD，若 AE=kEC，则 k=9 如图，CD 是ABC 的角平分线，点 E 在 AC 上，52ACAEABAD，AC=10，求 DE 10 如图，CD 是ABC 中，E 为 AC 的中点，D 为 BC 上的点，且 BD=AB，求证：GDAGABBC 11 已知，C 是线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边，在 AB 的同侧作两个等边三角形 ACD 和 BCE，AE 交 CD 于 F，BD 交 CG 于 G，求证 F

16、G/AB 12 已知，BD 为ABC 的角平分线，DE/BC，交 AB 于 E，求证：DEBCAB111 13已知，如图（1），梯形 ABCD 中，AD/BC，E、F 分别在 AB、CD 上，且 EF/BC，EF 分别交 BD、AC 于 M、N。求证 ME=NF 当 EF 向上平移 图（2）各个位置其他条件不变时，的结论是否成立，请证明你的判断。练习与测试参考解答或提示 1215；218cm；352,35；49：4；59；610，18；79：1；82；96 10提示，过 D 作 DH/AC 交 BG 于 H 点，则DHAEGDAG，DHECBDBC，又 AE=EC，BD=AB，即可得结论。11

17、略证，由DCA=EBA=600，有 CD/BE，则CGEGCDBE，同理ADCEAFEF，而 EB=CE，CD=AD，(第7题)EOB1A2OCOF3DECG(第8题)BFADl2l1(第9题)BDCEAADEBCG(第10题)DAEFNMBC(第13题（1）)（第13题（2）ADBC（N）MEF行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边或两角形的第三边三角形一边的平行线的性质定理即课本例平行于三角形的基本的理论同时它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一定理的基优秀学习资料 欢迎下载 则AFEFCGEG，所以 FG/AB 12 略证，由 DE/BC，有EDB=DBC，ABAEBCDE，又ABC=DBC，所以EDB=ABD，则 BE=DE，所以1ABABABAEABBEBCDEABDE 13由 AD/EF/BC，有ADNFCDCFABBEADEM，EM=NF 仍成立，证明同。行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边或两角形的第三边三角形一边的平行线的性质定理即课本例平行于三角形的基本的理论同时它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一定理的基