2023年初二下册数学知识点总结归纳.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 初二下学期数学知识要点梳理 第十六章：分式 一、知识要点梳理：知识点一、分式的有关概念及性质 1分式 设 A、B 表示两个整式如果 B 中含有字母，式子就叫做分式注意分母 B 的值不能为零，否则分式没有意义.2最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式，要进行约分化简.3分式的基本性质（M 为不等于零的整式）.知识点二、分式的运算 1基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:；nnnmnnmnmnmnmnmbaabaaaaaaaaa)(,)(),0(,2零指数 .3负整数指数 4约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这

2、种变形称为分式的约分 5通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 通分注意事项 (1)通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉 6分式的加减法法则(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算 7分式的乘除法法则 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘

3、 8分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的 知识点三、分式方程 1分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3分式方程的增根问题 学习必备 欢迎下载 (1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知 数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现 不适合原方程的根-增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根 知识点四、分式方程的应用 列分

4、式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性 二、规律方法指导 1分式的概念需注意的问题 (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有 括号的作用；(2)分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母 2约分需明确的问题 (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键

5、是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式 的思考过程相似；(3)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 3确定最简公分母的方法 (1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.4列分式方程解应用题的基本步骤 (1)审仔细审题，找出等量关系;(2)设合理设未知数;(3)列根据等量关系列出方程；(4)解解出方程;(5)验检验增根；(6)答答题 1.(-5)0=_；2.3-2=_；3.当 x_时，分式 1x+1 有意义；4.写出等式中未知的式子：（）c2+7c=1c

6、+7；5.约分：10a2b4ab2=_；6.分式：1x-1、1x-2 的最简公分母为：_；7.若方程xx-4=2+ax-4 有增根，则增根为 x=_；8.当 x=_时，分式32x-1的值为 1；9.若 x=2 是方程 x-ax+1=13 的解，则 a=_；10.某种感冒病毒的直径是 0.00000034 米，用科学记数法表示为_米；11.已知公式：1R=1R1+1R2，若 R1=10，R2=15，则 R=_；12.观察下列各式：22-4+66-4=2，55-4+33-4=2，77-4+11-4=2，1010-4+-2-2-4=2，依照以上各式形成的有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式

7、要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 规律，在括号内填入正确的数，使等式2020-4+（）（）-4=2 成立 13.下列关于 x 的方程中，是分式方程的是（）A.3x=12 B.1x=2 C.x+25=3+x4 D.3x-2y=1 14.下列各式中，成立的是（）A.=yxy B.m6m2=m3 C.a2xbx =a2b D.a+12a-12=a+1a-1 15.要把分式方程：32（x-2）=1x化为整数方程，方程两边需同时乘以（）A.2（x-2）B.x C.2x-4 D.2

8、x（x-2）16.-(-2)0的运算结果为（）A.-1 B.1 C.0 D.2 17.化简a2-b2a2+ab 的结果为（）A.a-ba+ab B.a-ba C.a+ba D.a-ba+b 18.若有 m人 a 天可完成某项工程，且每个人的工作效率是相同的，则这样的（m+n）人完成这项工程所需的天数为（）A.a+m B.amm+n C.am+n D.m+nam 19.计算：x+1x2-2x+1 x+1x-1;20.计算：x2+9xx2+3x+x2-9xx2+6x+9 21解方程：80 x+3=60 x-3;22.解方程：7x+2+2=1-3xx+2 23.先化简，再求值：（xx-2+xx+2）

9、4xx-2，其中 x=2007.24.已知 y=x2-2x+1x2-1 x2-xx+1-1x+1，试说明在等号右边代数式有意义的条件下不论 x 为何值，y 的值不变。25.为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自 07 年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%。该市林老师家 06 年 12 月份的水费是 18 元，而 07 年 1 月份的水费是 36 元，且已知林老师家 07 年 1月份的用水量比 06 年 12 月份的用水量多 6m3。求该市去年的居民用水价格。26.已知某项工程由甲、乙两队合作 12 天可以完成，共需工程费用 13800 元，乙队单独完成这项工程所需时

10、间是甲队单独完成这项工程所需时间的 1.5 倍，且甲队每天的工程费比乙队多 150 元。甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天；若工程管理部分决定从两个队中选一个队单独完成此项工程，以节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由。有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 第十七章：反比例函数 一、知识要点梳理 知识点一、反比例函数的概念 一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成（k 为常数，）的形式，那么称 y 是

11、x的反比例函数 （1）反比例函数 y=中的是一个分式,自变量 x0,也可写成或，其中 k0；（2）在反比例函数（k0）中，x 的指数是1。如，也写成：；（3）在反比例函数（k0）中要注意分母 x 的指数为 1，如就不是反比例函数。知识点二、反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限它们关于原点对称，反比例函数的图象与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 观察反比例函数的图象可得：x 和 y 的值都不能为 0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点 知识

12、点三、反比例函数的性质 1图象位置与函数性质 当 时，x、y 同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，x、y 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.2若点(a,b)在反比例函数的图象上，则点（-a,-b）也在此图象上，故反比例函数的图 象关于原点对称；有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 3、反比例函数的性质 反比例函数)0(kxky k的符号 k0 k0 时，函数

13、图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x的增大而减小。x的取值范围是 x0，y的取值范围是 y0；当k0 时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。3正比例函数与反比例函数的性质比较。正比例函数 反比例函数 解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置 k0，一、三象限；k0，二、四象限 k0，一、三象限 k0，二、四象限 增减性 k0，y 随 x 的增大而增大 k0，y 随 x 的增大而减小 k0，在每个象限，y 随 x 的增大而减小 k0，在每个象限，y 随 x 的增大而增大 4反比例函数 y=中 k 的意义 反比例函

14、数 y=(k 0)中比例系数 k 的几何意义,即过双曲线 y=(k 0)上任意一点引 x 轴、y轴垂线,所得矩形面积为k.知识点四、反比例函数解析式的确定 有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组 x、y 的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出 k 的值，从而确定反比例函数的解析式 知识

15、点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 1反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转 化为数学问题。2针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。3列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。如，某三角形的面积是 2 时，底边长 y 与该底边上的 高 x 之间的关系式是。二、规律方法指导 1反比例函数的概念需注意的问题 (1)k 是常数，且 k 不为零；(2)中分母 x 的指数为 1，如，就不是反比例函数；(3)自变量 x 的取值范围是的一切实数；(4)函数值 y 的取值范围是的一切实数 2画反比例函数的图象时要注意的问题 (1

16、)画反比例函数图象的方法是描点法；(2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来；(3)由于在反比例函数中，x 和 y 的值都不能为 0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到 x 轴和 y 轴的变化趋势 3用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤 (1)设所求的反比例函数为：（）；(2)根据已知条件，列出含 k 的方程；(3)解出待定系数 k 的值.(4)把 k 值代入函数关系式中 、函数224yx中，自变量 x 的取值范围为 .2、若函数 y=-2xm+2是正比例函数，则 m的值是 .3、已知一次函数 y=kx+5 的图象经过点（

17、-1，2），则 k=。有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 4、已知点 A（3，m）与点 B（n，-2）关于 y 轴对称，则 m=，n=.5、点 P（3，4）关于 X轴对称的点是_。6、一次函数 y=-2x+4 的图象与 x 轴交点坐标是 ，与 y 轴交点坐标是 ,图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .7、将直线 y 3x+4 向下平移 6 个单位，得到直线_。8、点 P（a，a2）在第三象限，则 a 的取值范围是_ _.9、已知

18、y-2 与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的函数关系式为 ；10、设有反比例函数ykx 1，(,)x y11、(,)xy22为其图象上的两点，若xx120 时，yy12，则k的取值范围是_ 11、已知点P在第二、四象限夹角的平分线上，且到y轴的距离为24，则点P的坐标为_。12.函数1yx中，自变量x的取值范围是 ()A.x 1 D.x 1 13.若点在第二象限，且到轴的距离分别为 4，3，则点的坐标为（）A、（4，3）B、（3，4）C、（3，4）D、（4，3）14点 M（1，2）关于 x 轴对称点的坐标为（）A、（1，2）B、（1，2）C、（1，2）D、（2，1）15.一次函数 y

19、=2x+3 的图像不经过的象限是（）.A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 16一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为 300 米小军先走了一段路程，爸爸才开始出发图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程 S(米)与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）根据图象，下列说法错误的是（）A爸爸登山时，小军已走了 50 米 B爸爸走了 5 分钟，小军仍在爸爸的前面 C小军比爸爸晚到山顶 D爸爸前 10 分钟登山的速度比小军慢，10 分钟后登山的速度比小军快 17、如果反比例函数xky 的图像经过点（3，4），那么函数的图像应在（）A、第一、三象限 B、

20、第一、二象限 C、第二、四象限 D、第三、四象限 18、若反比例函数22)12(mxmy的图像在第二、四象限，则m的值是（）A、1 或 1 B、小于21 的任意实数 C、1 、不能确定 19、正比例函数kxy-k例函数xky 在同一坐标系内的图象为（）A B C D y x y x y x y o o o x o 有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 第十八章：勾股定理 一、知识要点梳理 知识点一：勾股定理 直角三角形两直角边

21、a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题（3）求做长度为的线段 知识点二：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为直角的直角三角形 （若 c2a2+

22、b2，则ABC 是以C 为钝角的钝角三角形；若 c2a2+b2，则ABC 为锐角三角形）。知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。知识点四：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、规律方法指导 1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

23、3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁是直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错 误。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c 有下列关系：a2+b2c2，那么这个三角形是 直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法 5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加 深对“数形结合”的理解 第十九章：四边形 一、知识要点梳理 知识点一：平行四边形 1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2性质：1）对边平行且相等；2）对角相等；邻角互补；3）对角线互相平分；4）中心对称图形 3面积：4平行线的性质 1

24、）平行线间的距离都相等 2）等底等高的平行四边形面积相等 5判定：边：1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 角：4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形 一边一角：6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 对角线：7）对角线互相平分的四边形是平行四边形

25、 6取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 如：已知平行四边形ABCD 两对角线的长分别为6和8，则较短边长x 的取值范围为1x7.(在 中，AO4，BO3)7平行四边形的作图 1）已知两邻边和夹角；2）已知一边、一条对角线及其夹角；3）已知一边和两条对角线；4）已知两邻边和一条对角线；5）已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线.知识点二：矩形 1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四个角都是直角；3）对角线相等；4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：4由矩形得直角三角形的性质：1）直角三角形斜边上的中线等于斜

26、边的一半.如：在中，且 AOCO BO=AO=CO=2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半.如：在中，且 AB=AO=CO=5判定：1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.2）对角线相等的平行四边形是矩形.3）有三个角是直角的四边形是矩形.（三）菱形 1 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：1）具有平行四边形的一切性质；2）四条边相等；3）两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高

27、次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 4判定：1）一组邻边相等的平行四边形是菱形.2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3）四边相等的四边形是菱形.知识点四：正方形 1 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2性质：1）对边平行；2）四个角都是直角；3）四条边都相等；4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.6）中心对称图形，轴对称图形.3面积：4判定：1）有一个角是直角的菱形是正方形；2）一组邻边相等的矩形是正方形；3）对角线相等的菱形是正方形；4）对角线互相垂直的矩形是正方形；5）对角

28、线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形 知识点五：梯形 1定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.2等腰梯形性质：1）两底平行，两腰相等；2）同一底边上的两个角相等；3）两条对角线相等；4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）3面积：4等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形是等腰梯形；2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3）对角线相等的梯形是等腰梯形 5解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：“作高”：使两腰在两个直角三角形中 “移对角线”：使两条对角线在同一个三角形

29、中 “延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形 “等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角 形并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等。综上，解决梯形问题的基本思路：梯形问题三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现 二、规律方法指导 1、转化思想（又叫化归思想）转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 熟悉的问题来处理的一

30、种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：（1）四边形问题转化为三角形问题来处理 （2）梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理 2、代数法（计算法）代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法 3、变换思想 即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题 4、应注意的几个问题 （1）不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形，不 要用性质代替了判别解题时不能想当然，更不要忽视重要步骤 （2）在判别一个四边形是正方形

31、时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必 须认真熟记正方形的定义、性质和判定方法，认真区别各个性质、判定方法的条件，不要忽略隐 含条件，避免错误的产生 （3）判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽略了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定认 识要清 （4）纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵 （5）复习时，依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形 的性质和判定方法，注意对问题的观察、分析与总结 1四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于 360；（2）四边形的外角和等于 360.几何表达式举例：(1)A+B+

32、C+D=360 (2)1+2+3+4=360 2多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n-2)180；（2）任意多边形的外角和等于 360.几何表达式举例：略 ABCD1234ABCD有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 3平行四边形的性质：因为 ABCD 是平行四边形.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（几何表达式举例：(1)ABCD 是

33、平行四边形 AB CD ADBC(2)ABCD 是平行四边形 AB=CD AD=BC(3)ABCD 是平行四边形 ABC=ADC DAB=BCD(4)ABCD 是平行四边形 OA=OC OB=OD(5)ABCD 是平行四边形 CDA+BAD=180 4.平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD54321.几何表达式举例：(1)AB CD ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形(2)AB=CD AD=BC 四边形 ABCD 是平行四边形(3)5.矩形的性质：因为 ABCD 是矩形.3;2;1）对角

34、线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（(2)(1)(3)几何表达式举例：(1)(2)ABCD 是矩形 A=B=C=D=90 (3)ABCD 是矩形 AC=BD 6.矩形的判定：边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321四边形 ABCD 是矩形.(1)(2)(3)几何表达式举例：(1)ABCD 是平行四边形 又A=90 四边形 ABCD 是矩形(2)A=B=C=D=90 四边形 ABCD 是矩形(3)7菱形的性质：因为 ABCD 是菱形.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（几何表达式举例：(1)(2)ABCD

35、 是菱形 AB=BC=CD=DA(3)ABCD 是菱形 AC BD ADB=CDB 8菱形的判定：几何表达式举例：ABDOCCDBAOABDOCADBCADBCADBCOADBCO有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD 是菱形.(1)ABCD 是平行四边形 DA=DC 四边形 ABCD 是菱形(2)AB=BC=CD=DA 四边形 ABCD

36、 是菱形(3)ABCD 是平行四边形 AC BD 四边形 ABCD 是菱形 9正方形的性质：因为 ABCD 是正方形.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（CDAB（1）ABCDO（2）（3）几何表达式举例：(1)(2)ABCD 是正方形 AB=BC=CD=DA A=B=C=D=90 (3)ABCD 是正方形 AC=BD ACBD 10正方形的判定：一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形 ABCD是正方形.(3)ABCD 是矩形 又AD=AB 四边形 ABCD 是正方形 几何表达式举例：(1)A

37、BCD 是平行四边形 又AD=AB ABC=90 四边形 ABCD 是正方形(2)ABCD 是菱形 又ABC=90 四边形 ABCD 是正方形 11等腰梯形的性质：因为 ABCD 是等腰梯形.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（几何表达式举例：(1)ABCD 是等腰梯形 AD BC AB=CD(2)ABCD 是等腰梯形 ABC=DCB BAD=CDA(3)ABCD 是等腰梯形 AC=BD 12等腰梯形的判定：几何表达式举例：(1)ABCD 是梯形且 AD BC 又AB=CD CDBAOABCDOCDAB有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简

38、分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321四边形 ABCD 是等腰梯形 (3)ABCD 是梯形且 AD BC AC=BD ABCD 四边形是等腰梯形 四边形 ABCD 是等腰梯形(2)ABCD 是梯形且 AD BC 又ABC=DCB 四边形 ABCD 是等腰梯形 13平行线等分线段定理与推论：（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等；（2）经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰；（如图）（3

39、）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（如图）(2)(3)(3)几何表达式举例：(1)(2)ABCD 是梯形且 AB CD 又DE=EA EF AB CF=FB(3)AD=DB 又DE BC AE=EC 14三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.几何表达式举例：AD=DB AE=EC DE BC且 DE=21BC 15梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.几何表达式举例：ABCD 是梯形且 AB CD 又DE=EA CF=FB EFAB CD 且 EF=21(AB+CD)1“平行出比例”定理及逆定理：（1）平行于三角形一边的直线截

40、其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；（2）如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（1）（3）（2）几何表达式举例：(1)DE BC ECAEDBAD(2)DE BC ABAEACAD(3)ECAEDBAD DE BC EFDABCEDCBAEFDABCEDCBAABCDOBACDEBACDE有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 2比例的性质：（1）比例的基

41、本性质：a:b=c:d dcba ad=bc；abcdcdabbadcdcba交叉换位：上下换位：左右换位：那么若（2）合比性质：如果dcba那么ddcbba；（3）等比性质：如果nmdcba那么bandbmca.3定理：“平行”出相似 平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.BACDE 几何表达式举例：DE BC ADE ABC 4定理：“AA”出相似 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：A=A 又AED=ACB ADE ABC 5定理：“SAS”出相似 如果一个三角形的两条边与另一个 三角

42、形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：ACABAEAD 又A=A ADE ABC 6“双垂”出相似及射影定理：（1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；（2）双垂图形中，两条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成两条线段的比例中项.几何表达式举例：(1)AC CB 又CD AB ACD CBD ABC(2)ACCB CDAB AC2=AD AB BC2=BD BA DC2=DA DB ACDEBACDEBACDBABCDE有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这

43、种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 7相似三角形性质：（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比；（3）相似三角形面积的比，等于相似比的平方.(1)ABC EFG EGACFGBCEFAB BAC=FEG (2)ABC EFG 又AD、EH是对应中线 EFABEHAD(3)ABC EFG 2EFGABCEFABSS 第二十章：数据的分析 一、知识要点梳理：知识点一：数据的代表 1.平均数 (1)平均数：一般地，对于 n 个数 x1，x2，

44、xn，我们把 叫做这 n 个数的简单算术平均数，简称平均数，记作(读作 x 拔)(2)加权平均数：一般地，如果在 n 个数中，出现次，出现次，出现次，（这里 ），那么这 n 个数的平均数：（或），其中，叫做权，利用这个公式求出来的平均数叫做加权平均数。说明：公式适用范围：当数据，中有不少值重复出现时，适宜运用加权平均数公式；加权平均数的权能够反映数据的相对“重要程度”，某数的权数越大，对平均数的影响越大。权的三种表现形式：直接以数据的形式给出的；以比例的形式给出的；以百分数的形式给出的.2.中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，处于最中间位置的那个数叫做中位数。当数据个数为奇

45、数时，中间的数据即为所求的中位数；当数据个数为偶数时，中间两个数据的平均数即为所求的中位数，所以中位数就是这组数据的分界线，它可能在这组数据中，也可能不在这组数据中。3.众数：EABFCDGH有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 众数是一组数据中出现次数最多的那个数，一组数据的众数可能为 1 个、2 个或多个，也可能没有众数。注意：（1）若一组数据中有两个或两个以上的数据出现的频数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数；（

46、2）若一组数据中所有数据出现的频数都相同，那么这组数据没有众数。4.三数（平均数、中位数和众数）的区别与联系 （1）联系：平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，是描述一组数据集中趋势的量，平均 数是应用较多的一种量。实际问题中求得的平均数，众数，中位数应带上相应的单位。（2）区别：平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，任何一个数据的变动 都会相应引起平均数的变动，并且它受极端值的影响较大；中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中，当 一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势；众数是当一

47、组数据中某一数据重 复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势。知识点二：数据的波动 1.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差的特征：（1）极差的公式为：极差=最大数据最小数据；（2）极差的单位与原数据的单位一致；（3）极差反映了一组数据的变化范围，变化范围大，说明数据的波动大，离散程度大；（4）极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量，计算简单，容易理解，但它受极端值的影响较大，不能反映出中间数据的分散情况，只能粗略分析数据的分散情况.2.方差、标准差：（1）方差：设有 n 个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平

48、均数，即来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。（2）方差的简化公式 （3）标准差：是方差的算术平方根，它也是衡量一组数据波动大小的特征数，标准差的单位与原数据 单位相同，即。注：方差记作；标准差记作；方差或标准差是反映一组数据波动的大小（也可称为数据的离散程度）的一个量，其值越大，数据的波动越大，也越不稳定或不整齐；其值越小，数据的波动越小，也越稳定或整齐；方差的单位是原数据单位的平方，标准差的单位与原数据单位相同。二、规律方法指导 1.对平均数、中位数和众数的概念容易发生混淆，需要注意以下几点：（1）平均数对于所有数据之和除以数据总个数,不能将重复数据当作一个数据计算；平均数只

49、有一个。（2）求中位数时，不要忘记将所有数据（包括重复数据）逐个按大小排序，然后找到最中间的一个数 （当数据个数为奇数时）或中间两个数的平均数（当数据个数为偶数时）；中位数只有一个。有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式要进行约分化简分的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分通分根据分式的基有相同因式的最高次的积不要把通分与去分母混淆本是通分却成了去分学习必备 欢迎下载 （3）众数是一组数据中出现次数最多的数，在找众数时，不要与出现的次数混淆，众数是原数据，众 数可以有一个或多个或没有众数。2.方差的性质：（1）方差是衡量数据波动大小的量，方差越大，波动越大，方差越小，波动越小；

50、反之，波动大，方 差大，波动小方差小，可通过计算两组数据的方差，比较它们的波动大小，即稳定性情况。（2）当一组数据是由一个数据重复出现得到的时候，如数据不波动，则它的方差为 0。（3）方差的运算性质：若数据，的方差为，则一组新数据，的方差仍是；一组新数据，的方差是，标准差是；一组新数据 ，的方差是，标准差是。初中数学公式定理大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如