2023年圆锥曲线的解题技巧和方法.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 圆锥曲线的解题技巧 一、考查目标：1、熟练掌握三大曲线的定义和性质；2、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题；3、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。二、相关知识考查：1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离等，也要注意斜率的存在与否）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

2、 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 三、常规七大题型：（1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）)0(12222babyax与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则有02020kbyax。（2）)0,0(12222b

3、abyax与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有02020kbyax（3）y2=2px（p0）与直线 l 相交于 A、B设弦 AB中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.学习必备 欢迎下载 典型例题 给定双曲线xy2221。过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，求线段P1P2的中点 P 的轨迹方程。（2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题 设 P(x,y)为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(,)，F c20(,)为焦点，PF F12，PF F21

4、。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求|PFPF1323的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题 抛物线方程，直线与 轴的交点在抛物线准线的右边。yp xpxytx210()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为 A、B，且 OAOB，求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。斜率的存在与否熟练掌握基本公式如两点间距

5、离公式点到直线的距离公线与圆的位置关系问题中要善于运用圆的几何性质以减少运算了解线性直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法能用直线与圆锥曲线的位置学习必备 欢迎下载（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。（1），可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出 a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围；对于（

6、2）首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求 x、y 的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题 已知抛物线 y2=2px(p0)，过 M（a,0）且斜率为 1 的直线 L与抛物线交于不同的两点 A、B，|AB|2p（1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB面积的最大值。（5）求曲线的方

7、程问题 1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题 已知直线 L过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点 B（0，8）关于 L的对称点都在 C上，求直线 L和抛物线 C的方程。斜率的存在与否熟练掌握基本公式如两点间距离公式点到直线的距离公线与圆的位置关系问题中要善于运用圆的几何性质以减少运算了解线性直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法能用直线与圆锥曲线的位置学习必备 欢迎下载 2曲线的形状未知-求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C：x2+y2=1,动点 M 到圆 C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动

8、点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。（6）存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题 已知椭圆 C 的方程xy22431，试确定 m 的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆 C上有不同两点关于直线对称 M N Q O 斜率的存在与否熟练掌握基本公式如两点间距离公式点到直线的距离公线与圆的位置关系问题中要善于运用圆的几何性质以减少运算了解线性直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法能用直线与圆锥曲线的位置学习必备 欢迎下载（7）两线段垂直问题

9、 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题 已知直线l的斜率为k，且过点P(,)2 0，抛物线C yx:()241，直线l与抛物线 C有两个不同的交点（如图）。（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线 C的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代

10、数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题 设直线340 xym 与圆xyxy2220 相交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ，求m的值。斜率的存在与否熟练掌握基本公式如两点间距离公式点到直线的距离公线与圆的位置关系问题中要善于运用圆的几何性质以减少运算了解线性直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法能用直线与圆锥曲线的位置学习必备 欢迎下载（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题 已知中心在原点 O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx 1相交于

11、P、Q 两点，且OP OQ，|PQ 102，求此椭圆方程。（3）充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题 求经过两已知圆Cxyxy122420：和Cxyy22224：0 的交点，且圆心在直线l：2410 xy 上的圆的方程。（4）充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题 这也是我们常说的三角代换法。典型例题 P 为椭圆22221xyab上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形 OAPB面积的最大值及此时点 P的坐标。斜率的存在与否熟练掌握基本公式如两点间距离公式点到直线的距离

12、公线与圆的位置关系问题中要善于运用圆的几何性质以减少运算了解线性直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法能用直线与圆锥曲线的位置学习必备 欢迎下载（5）线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如axbxc20 的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为，则|ABkxxAB12|12ak，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例 求直线xy 10被椭圆xy22416所截得的线段 AB的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例 F1、F2是椭圆xy222591的两个焦点，AB是经过F1的弦，若|AB 8，求值|22BFAF 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A（3，2）为定点，点 F是抛物线yx24的焦点，点 P 在抛物线y24x上移动，若|PAPF取得最小值，求点 P 的坐标。斜率的存在与否熟练掌握基本公式如两点间距离公式点到直线的距离公线与圆的位置关系问题中要善于运用圆的几何性质以减少运算了解线性直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法能用直线与圆锥曲线的位置