2023年初二数学上学期知识点总结归纳和典型例题全面汇总归纳.pdf

《2023年初二数学上学期知识点总结归纳和典型例题全面汇总归纳.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年初二数学上学期知识点总结归纳和典型例题全面汇总归纳.pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 全等三角形 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，ABDACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，A是公共角，A和A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，A和A是对应角，B和C，AEC 和ADB是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式 1】如图，ABCDBE.问线段AE和C

2、D相等吗？为什么？【答案】证明：由ABCDBE，得 AB=DB,BC=BE，则 AB-BE=DB-BC，即 AE=CD。【变式 2】如右图，。求证：AE CF 【答案】学习必备 欢迎下载 AE CF 2、如图，已知ABC DEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE的度数与 EC的长。思路点拨:由全等三角形性质可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB的度数与 BF的长即可。解析：在ABC中，ACB=180-A-B，又A=30，B=50，所以ACB=100.又因为ABC DEF，所以ACB=DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以DFE=100 EC=

3、EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式 1】如图所示，ACD ECD，CEF BEF，ACB=90.求证：（1）CD AB；（2）EFAC.【答案】(1）因为ACD ECD，所以ADC=EDC（全等三角形的对应角相等）.因为ADC+EDC=180，所以ADC=EDC=90.所以 CD AB.(2）因为CEF BEF,所以CFE=BFE（全等三角形的对应角相等）.因为CFE+BFE=180，所以CFE=BFE=90.因为ACB=90,所以ACB=BFE.所以 EFAC.对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段

4、和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 类型二：全等三角形的证明 3、如图，AC BD，DF CE，ECB FDA，求证：ADF BCE 思路点拨:欲证ADF BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC BD而得 解析：AC BD(已知)AB-BD AB-AC(等式性质)即 ADBC 在ADF与BCE中 ADF BCE(SAS)总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角

5、形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等 举一反三：【变式 1】如图，已知 AB DC，AB DC，求证：AD BC 【答案】AB CD 34 在ABD和CDB中 ABD CDB(SAS)12(全等三角形对应角相等)AD BC(内错角相等两直线平行)【变式 2】如图，已知 EB AD于 B，FCAD于 C，且 EB FC，AB CD 求证 AFDE 【答案】EB AD(已知)EBD 90(垂直定义)同理可证FCA 90 EBD FCA AB CD，BC BC AC AB+BC 对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即

6、变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 BC+CD BD 在ACF和DBE中 ACF DBE(SAS)AF DE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用 4、如图，AD为ABC的中线。求证：AB+AC2AD.思路点拨:要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由 2AD想到构造一条线段等于 2AD，即倍长中线。解析：延长 AD至 E，使 DE=AD，连接 BE 因为 AD为ABC的中线，所以 BD=CD.在ACD和EBD中，所以ACD EBD(SAS).所以

7、BE=CA.在ABE中，AB+BEAE，所以 AB+AC2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式 1】已知：如图，在 RtABC中，AB=AC,BAC=90,1=2，CEBD的延长线于 E，求证：BD=2CE.【答案】分别延长 CE、BA交于 F.因为 BE CF,所以BEF=BEC=90.在BEF和BEC中，对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 所以BEF BEC(ASA).所以

8、CE=FE=CF.又因为BAC=90,BECF.所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90.所以BDA=BFC.在ABD和ACF中，所以ABD ACF(AAS)所以 BD=CF.所以 BD=2CE.5、如图，AB CD，BE DF，BD，求证：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFE CEF 思路点拨:(1)直接通过ABE CDF而得，(2)先证明AEB CFD，(3)由(1)(2)可证明AEF CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等 解析：(1)在ABE与CDF中 ABE CDF(SAS)AE CF(全等三角形对应边相等)(

9、2)AEB CFD(全等三角形对应角相等)AE CF(内错角相等，两直线平行)(3)在AEF与CFE中 对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 AEF CFE(SAS)AFE CEF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件 举一反三：【变式 1】如图，在ABC中，延长 AC边上的中线 BD到 F，使 DF BD，延长 AB边上的中线 CE到 G，使 EG CE，

10、求证 AFAG 【答案】在AGE与BCE中 AGE BCE(SAS)AG BC(全等三角形对应边相等)在AFD与CBD中 AFD CBD(SAS)AF CB(全等三角形对应边相等)AF AG(等量代换)6、如图 ABAC，BD AC于 D，CE AB于 E，BD、CE相交于 F 求证：AF平分BAC 思路点拨:若能证得得 AD=AE，由于ADB、AEC都是直角，可证得 RtADF RtAEF，而要证 AD=AE，就应先考虑 RtABD与 RtAEC，由题意已知AB=AC，BAC是公共角，可证得 RtABD RtACE 解析：在 RtABD 与 RtACE中 对应角和和是对应角总结升华已知两对对

11、应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 RtABD RtACE(AAS)AD=AE(全等三角形对应边相等)在 RtADF与 RtAEF中 RtADF RtAEF(HL)DAF=EAF(全等三角形对应角相等)AF平分BAC(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证 已知：如图，在ABC与ABC中AB=A

12、B，BC=B C，AD BC于 D，ADBC于 D且 AD=A D 求证：ABC ABC 证明：在 RtABD 与 RtABD中 RtABD Rt ABD(HL)B=B(全等三角形对应角相等)在ABC与ABC中 对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 ABC ABC(SAS)【变式 2】已知，如图，AC、BD 相交于 O，AC=BD，CD90 求证：OC=OD 【答案】C=D=90 ABD、ACB为直角三角形 在 RtABD和 R

13、tABC中 RtABD RtABC(HL)AD=BC 在AOD 和BOC中 AOD BOC(AAS)OD=OC 7、ABC中，AB=AC，D是底边 BC上任意一点，DE AB，DF AC，CG AB垂足分别是 E、F、G.试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径 解析：结论：DE+DF=CG 方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟）作 DM CG于 M DE AB，CG AB，DM CG 对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总

14、结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 四边形 EDMG 是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而 DM CG，DF AC DMC=CFD 在MDC 和FCD中 MDC FCD（AAS）MC=DF DE+DF=GM+MC=CG 总结升华：方法二（补短法）作 CM ED交 ED的延长线于 M（证明过程略）总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法 方法三（面积法）使用等积转化 引申：如果将条件“D是底边 BC上任意一点”改为“D是底边 BC的延长线对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以

15、这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 图（2）QCABEFP上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和 CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明 举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法 轴对称 考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 典例 1下列几何图形中，1线段 2角 3直角三角形 4半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A1 个 B2 个 C3

16、个 D4 个 2正 n 边形有_条对称轴，圆有_条对称轴 考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称 典例：1、如图，Rt ABC，C=90,B=30,BC=8，D为 AB中点，P为 BC上一动点，连接 AP、DP,则 AP+DP 的最小值是 2、已知等边 ABC，E在 BC的延长线上，CF平分 DCE，P为射线BC上一点，Q为 CF上一点，连接 AP、PQ.若 AP=PQ，求证 APQ是多少度 考点四、线段垂直平分线的性质 线段是轴对称图形，它的对称轴是_ 对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等

17、三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 EDCBA线段的垂直平分线上的点到_相等 归类回忆角平分线的性质 角是轴对称图形，其对称轴是_ 角平分线上的点到_相等 典例 1、如图，ABC中，A=90，BD为 ABC平分线，DE BC，E是 BC的中点，求 C的度数。2、如图，ABC中，AB=AC，PB=PC，连 AP并延长交 BC于 D，求证：AD垂直平分 BC 3、如图,DE 是ABC中 AC边的垂直平分线，若 BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC 的周长为（）A.16 厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米 4、如图，BAC=30，P是 BAC平分线上一点，P

18、M AC，PD AC，PD=28,则 AM=5、如图，在 RtABC中，ACB=90，BA C的平分线交 BC 于 D.过 C点作CGAB 于 G，交 AD于 E.过 D点作 DFAB 于 F.下列结论：CED=CDE；AD F=2ECD；CE=DF.其中正确结论的序号是()A B C D MDACPBAECSACSAEGAGDFBCEDSSBDCAPCEBDAF E D C B A G 对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 考

19、点五、等腰三角形的特征和识别 典例 1、如图，ABC中，AB=AC=8，D在 BC上，过 D作 DE AB交 AC于 E，DFAC 交 AB于 F，则四边形 AFDE 的周长为_ 。2、如 图，ABC 中，BD、CD 分 别 平 分 ABC 与 ACB，EF过D 且 EF BC，若 AB=7，BC=8，AC=6，则 AEF周长为()A.15 B.14 C.13 D.18 3、如图,点 B、D、F在 AN上,C、E在 AM上，且 AB=BC=CD=ED=EF,A=20o,则FEB=_ 度 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40，则它的一个底角的度数是_ 5、ABC中，DF 是 AB的

20、垂直平分线，交 BC于 D，EG是 AC的垂直平分线，交 BC于 E，若 DAE=20，则 BAC等于 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 7、已知，在 ABC中，ACB=90，点 D、E在直线 AB上，且 AD=AC，BE=BC，则 DCE=度.N M F E C D B A FEDABC对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 FCDBEA8、如图：在 ABC中，A

21、B=AC，AD BC，DEAB于点 E,DFAC于点 F。试说明 DE=DF。9、如图,E 在 ABC的 AC边的延长线上，D点在 AB边上，DE交 BC于点 F，DF=EF，BD=CE.求证：ABC是等腰三角形.考点六、等边三角形的特征和识别 等边三角形的各_相等，各_相等并且每一个角都等于_ 三个角相等的三角形是_三角形 有一个角是 60的 _三角形是等边三角形 F E D C B A 对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载

22、乙ODCBA特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_ 典例 1、下列推理中，错误的是 ()AABC，ABC是等边三角形 B AB AC，且BC，ABC是等边三角形 CA60，B60，ABC是等边三角形 DAB AC，B60，ABC是等边三角形 2、如图，等边三角形 ABC中，D是 AC的中点，E为 BC延长线上一点，且 CE CD，DMBC，垂足为 M。求证：M是 BE的中点。考点七、30所对的直角边是斜边的一半 典例 1、如图，是屋架设计图的一部分，点 D是斜梁 AB的中点，立柱 BC、DE垂直 于横梁 AC，AB=8m，A=30，则 DE等于（）A1m B2m C3m D4m 2、如图：

23、ADC中，A=15，D=90，B在 AC的 垂直平分线上，AB=34，则 CD=()A.15 B.17 C.16 D.以上全不对 3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知 AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度 AOB刚好为 120，求桌面到地面的距离是多少？ABDCEDCBAA B C D E M FECBAD第 4 题图 对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 FECBA 4、如图

24、，AB=AC，DE AB于 E，DFAC 于 F，BAC=120o，BC=6，则 DE+DF=5、在ABC中，120ABACA，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E如果1DE，求BC的长 实数 例 1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 （-3）2 0 2 -0.01 2（2）下列说法对不对？为什么？4 有一个平方根 只有正数有平方根 任何数都有平方根 若 a0，a 有两个平方根，它们互为相反数 解：（1）（-3）2 和 0 2 有平方根，因为（-3）2 和 0 2 是非负数。-0.01 2 没有平方根，因为-0.01 2 是负数。（2）只有对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互

25、为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。例 2、求下列各数的平方根：(1)9 (2)(3)0.36 (4)例 3、设，则下列结论正确的是（）A.B.甲 14169对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图学习必备 欢迎下载 C.D.解析：（估算）因为，所以选 B 【变式 1】1）1.25 的算术平方根是_；平方根是_.2）-27立方根是_.3）_，_，_.【答案】1）；.2）-3.3），【变式 2】求下列各式中的 （1）（2）（3）【答案】（1）（2

26、）x=4 或 x=-2（3）x=-4 例 4、判断下列说法是否正确 （1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是 15.（3）当 x=0 或 2 时，解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示 225 的算术平方根，即=15.实际上，本题是求 15 的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0 时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x 0，所以当x=2 时，x=0.对应角和和是对应角总结升华已知两对对应顶点那么以这两对对应顶点图问线段和相等吗为什么答案证明由得则即变式如右图求证答案学习必等所以总结升华全等三角形的对应角相等对应边相等举一反三变式如图