2023年大学计算方法历年期末考试试卷(最新版)大全含完整版超详细解析答案及重点内容集锦.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 武汉大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦 武汉大学 2008-2009学年第二学期考试试卷 计算方法（A 卷）（36 学时用）学院：学号：姓名：得分：一、（10 分）已知的三个值 （1）求二次拉格朗日插值 L2(x)；（2）写出余项 R2(x)。二、（10 分）给定求积公式 求出其代数精度，并问是否是 Gauss 型公式。三、（10 分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的（范数用）。四、（12 分）已知方程在0,0.4内有唯一根。迭代格式 A：；迭代格式 B：试分析这两个迭代格式的收敛性。五、（12 分）设方程组，其中，分别写出 Jacob

2、 及 Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。六、（12 分）已知的一组值 2.2 1.0 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 七、（12 分）20XX 年 5 月左右，北美爆发甲型 H1N1 流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。为使计算简单，分别用 x=-1，0，1，2 代表 20XX 年 5 月 2，3，4，5 日。学习必备 欢迎下载 根据上面数据，求一条形如的最小二乘拟合曲线。八、（12 分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：（取步长）1。九、（10 分）对于给定的常数 c，为进行开方运算，需要求方程的根。（1）写出解此

3、方程的牛顿迭代格式；（2）证明对任意初值牛顿迭代序列xn 单调减且收敛于 c.武汉大学 2008-2009学年第二学期考试试卷 1、解：（1）二次拉格朗日插值为 （2）余项为 2、解：当时，左边=2,右边=2；当时，左边=0,右边=0；当时，左边=22 3,右边=3；当时，左边=0,右边=0；当时，左边=2 5,右边=2 9,左边右边；于是，其代数精度为 3，是高斯型求积公式。3、解：而，于是，所以题干中结论成立。4、解：（1）对于迭代格式 A：，其迭代函数为 ，在0,，所以发散。出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复

4、化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载（2）对于迭代格式 B：x1，其迭代函数为 10e，在，所以收敛。22 0.4内 5、解：（1）Jocobi 迭代法：0b/2 因为 a21/a22 a21a12a11a22 （2）Gauss-Seidel迭代法：a12/a11a21a12/a11a22 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 a12/a11 01/a22 a21a12a11

5、a22|01/a22 (k)因为 a21a12a11a22 a21a12a11a22 综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。6、解：（1）复化梯形公式（）2.21.0 h2 0.22 （2）复化辛普森公式（）2.21.0 h66 0.4 7、解：依题意，可知 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 、解：45 9、解：（1）牛顿迭代格式 （2）因为时，所以取任意c 作为初始值，迭代序列必收敛到 c，故迭代公式是收敛的。武汉大学

6、2009-2010学年第二学期考试试卷 计算方法（A 卷）（36 学时用）学院：学号：姓名：得分：0 一、（10 分）设 ，求范数、谱半径、条件数 二、（10 分）已知 的一组值：分别求二次拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式。三、（10 分）已知数据 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 求形如 的最小二乘拟合曲线。四、（15 分）已知的三个根分别位于区间，3.5,4内。（1）分别讨论迭代格式求这三个根时的收敛性。（2）写出求3

7、.5,4内根的牛顿迭代格式，并说明如何选取初值 x0，使牛顿 迭代收敛于3.5,4内的根。五、（10 分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程组 A，其中 六、（15 分）设方程组 a1a （1）分别写出雅可比迭代格式及高斯-赛德尔迭代格式；（2）问常数 a 取何值时，雅可比迭代格式收敛。七、（10 分）已知的一组值 2.21.0 f(x)dx 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式

8、计算 八、（10 分）用改进欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）：1 （取 5 位有效数字计算）九、（10 分）在 ab n i f(xi)为插值型求积公式。（1）导出系数 Ai 的公式；（2）证明此求积公式的代数精度大于等于 n,且不超过 计算方法 2010 春 A 卷参考答案(2010-5-29)一、，二、三、，x 四、（1 ）。在区间0，1 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 上，所以求0,14上，迭代发散。而在

9、-1,0 上，对任意x0，迭代得到的 xn 均为正值,所以迭代发散。（2）设 五、4,，在3.5，4内，取，直接取，解得，解得 六、，G-S 迭 代 类 似(略)。Jacobi 迭代阵为 ，特征值为 ，谱半径 ，所以 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 七、复化梯形复化辛卜生 八、h3h2 2 2 九、系数 ba。li(x)dx（见教材 P157）代数精度见 P159,P184 武汉大学 2010-2011学年第二学期考试试卷

10、 计算方法（A 卷）（36 学时用）学院：学号：姓名：得分：1、（12 分）已知方程有一个正根及一个负根。（1）估计出含根的区间；（2）分别讨论用迭代格式求这两个根时的收敛性；n（3）如果上述格式不迭代，请写出一个你认为收敛的迭代格式（不证明）。2、（12 分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程组，其中 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 ，3、（14 分）设常数，方程组 （1）分别写出 Jacobi 迭代格式以

11、及高斯-赛德尔迭代格式；（2）试求 a 的取值范围，使得 Jacobi 迭代格式是收敛的。4（12 分）已知 3 次多项式的三个值：（1）求二次拉格朗日插值 L2(x)及余项；（2）能否计算出的准确值？并说明理由。如果能够，请计算出结 13 果。5、（12 分）已知数据 根据上面数据，求一条形如 6、（12 分）已知 的一组值：2.61.0 的最小二乘拟合曲线。分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 f(x)dx。7、（12 分）用改进的欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）：出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式

12、和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 1 8、（14 分）设 f(x)在a,b上二阶可导连续，将a,b2n 等分，分点为 ，步长为 （1）证明求积公式 h 3 的截断误差为 3 b 利用（1）中的求积公式及误差理论，导出求积分的复化求积公式及其 a 误差。武汉大学 2010-2011学年第二学期考试试卷 1、解：（1）【4 分】设，含正根的区间为(1,2)；，含负根的区间为；（2）【4 分】迭代函数为，则 在含正根区间(1,2)上，迭代格式发散；【2 分】在含负根区间上，迭代格式收敛。【2 分】（3）【4 分】在含正根区间(1,2)上，

13、收敛的迭代格式为。2、解：（1）【8 分】先对 A 进行 Dollittle 分解。所以 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 1。（2）【2分】（3）【2 分】110 3、解：（1）【4 分】Jacobi 迭代法：102 01/a0 02/a 2/a 【4 分】Gauss-Seidel迭代法：出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的

14、最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 1/a 3 2 1/a3/a 2 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 3/a2 3 （1）【6 分】考虑 Jacobi 迭代法的收敛性，即判断其谱半径是否小于 1.1/a 3/a 或 2/a a)a i 所以谱半径为 2。|a|该迭代法收敛的充分必要条件为 2|a|，亦即或。4、解：【4 分】52 192 【4 分】出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明

15、对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 （3）【4 分】3 31 3 31 3 1 R2(x)dx 因为，所以 1 1 31 3 1 3 1(52 2 192 13 5、解：依题意，可知 【4 分】1 2 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 【4 分】234 31 234 31 【4 分】拟合曲线为 2

16、6、解：(1)【6 分】复化梯形公式（）1.60 h2 （2）【6 分】复化辛普森公式（）1.60 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 h66 0.4 7、解：（1）【8分】先写出预估-校正格式：（2）【4 分】h2 0.52 h2 0.52 8、证明：（1）【7 分】该求积公式实际上是中矩形公式。在区间中，f(x)的 Taylor展开式为 2 两边同时在区间上积分，并利用积分第二中值定理，可得 出其代数精度并问是否是型公式三

17、分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 2 2 h （2）【7 分】复化求积公式为 ba n nn 误差为 ba nn n h 3 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 3 h 2 3 f(武汉大学计算方法历年期末考试重点 六、（15 分）分别写出求解下列方程组的雅可比、高斯-赛德尔以及超松弛迭

18、代 格式，并说明是否收敛。九、（10 分）设 f(x)在a,b上导数连续。将a,bn 等分，分点为 ，步长 12 2 （1）证明右矩形公式 ba 的误差为 （2）写出求的复化右矩形公式。（3）导出复化右矩形公式的误差。三、（10 分）已知数据 2 3 设，求常数 a,b,使得 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 四、（15 分）设方程(1)估计含根区间;(2)分析迭代格式 .的收敛性;(3)写出解此方程的牛顿迭代格式,并问 x

19、0 取何值时,迭代收敛.九、（10 分）设求积公式 b n a k f(xk)为高斯型求积公式，（1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？（2）证明:对任意次数小于等于的多项式 q(x)，必有；ab（3）证明：五、（10 分）设常数，分别写出求解方程组 的Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel迭代格式并给出用Gauss-Seidel迭代格式求解此方程组时，对任意初值都收敛的充分必要条件。十、（10 分）证明求积公式 b b n a k f(xk)的代数精度大于等于 n 的充分必要条 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化

20、梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 件是 a。其中，lk(x)是以 为插值节点的拉格朗日插值基多项式。七、（10 分）已知数据 设 6 2，求常数 a,b,使得 5、（12 分）已知数据 求形如 8、（12 分）设，求积公式 ab n 2 x 6 的拟合曲线。i f(xi)（*）为插值型求积公式,(1)推导出系数 Ai 的公式;(2)证明公式(*)的代数精度(3)证明公式(*)的代数精度不可能大于 六、出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求

21、一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载 高斯-赛德尔类似，略。松弛法：因为A 对角严格占优，所以 Jacob 及 G-S收敛。又因为 A 正定，所以松弛法收敛。九、（1）(3)余项 R=-21 三、，四、（1）含根区间0，1 （2），所以收敛（3）设，在0，1 bn （3）取，代入公式得 2 ，所以-S:aa 五、G-S迭代阵为 ，迭代收敛 十、必要性：因为代数精度，取代入公式，应精确成立，得到 充分性：如果 积分，故求积余项为 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求学习必备 欢迎下载，则 求 积 公 式 右 端 为f(x)的 拉 格 朗 日 插 值 的，n 当取时，f 所以代数精度 七、（10 分），故 、=0.36,b=-32/89 出其代数精度并问是否是型公式三分若矩阵说明对任意实数方程组都是时收敛或同时发散分已知的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公求一条形如的最小二乘拟合曲线八分用改进欧拉方法也称预估校正法求