2023年北京高考模块复习—导数 ..pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 导数综合复习 一、高考要求 二、知识点梳理 1.导数的有关概念（1）导数：如果当 0 x时，xy有极限，就说函数)(xfy 在0 xx 处可导，并把这个极限叫做)(xf 在0 xx 处的导数.记作)(0 xf，即xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000.（2）导函数：如果函数)(xf在开区间),(ba内每一点都可导，其导数值在),(ba内构成一个新的函数，叫做)(xf在区间),(ba内的导函数，记作)(xf或y.2.导数的几何意义 几何意义：函数)(xf在0 x处的导数值就是曲线)(xfy 在点)(,(00 xfx 处的切线的斜率.考试内容 要求层次

2、A B C 导数概念及其几何意义 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 根据导数定义求函数)的导数 导数的四则运算 简单的复合函数（仅限于形如 f(ax+b)）的导数 导数公式表 导数在研究函数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）利用导数解决某些实际问题 定积分与微积分基本定理 定积分的概念 微积分基本定理 优秀学习资料 欢迎下载 3.常见函数的导数 10C 21)(nnnxx 3xxcos)(sin 4xxsin)(cos 5xxee)(61(ln)xx 7aaaxxln)(8axexxaaln1log1)(log 4.

3、导数的四则运算 （1）和差：()u vuv （2）积：vuvuuv)(（3）商：2)(vvuvuvu )0(v 5.复合函数的导数运算法则:)(xufy 的导数为xuuyy.6.利用导数的符号判断函数的单调性（1）导数的单调性 )(xf在区间),(ba内可导，若)(xf在),(ba的任意子区间内都不恒等于 0，则 )(0)(xfxf在),(ba上单调递增.)(0)(xfxf在),(ba上单调递减.7.函数的极值（1）设函数)(xf在点0 x附近有定义，如果对0 x附近的所有点都有)()(0 xfxf，则)(0 xf是函数)(xf 的一个极大值，记作)(f)(0 xxf极大值；如果对0 x附近的

4、所有点都有)()(0 xfxf，则)(0 xf是函数)(xf的一个极小值，记作)(f)(0 xxf极小值.（2）判断)(0 xf是极值的方法 一般地，当函数)(xf在0 xx 处连续时，如果在0 x附近左侧0)(xf，右侧0)(xf，那么)(0 xf是极小值.如果在0 x附近左侧0)(xf，右侧0)(xf，那么)(0 xf是极大值.8.函数的最值（1）在闭区间 ba,上的连续函数)(xf在 ba,上必有最大值与最小值.（2）设函数)(xf在区间 ba,上连续，在),(ba内可导，先求)(xf在),(ba内的极值；再将各极值与)(af，)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.研

5、究函数的单调性其中多项式函数不超过三次函数的极值最值其中多项如果当时有极限就说函数在处可导并把这个极限叫做在处的导数记作即点处的切线的斜率优秀学习资料欢迎下载常见函数的导数导数的四则运优秀学习资料 欢迎下载 9.定积分概念：如果函数)(xf在区间 ba,上连续，用分点bxxxxxann 1210将区间 ba,等分成n 个小区间，在每个小区间iixx,1上任取一点),3,2,1(nii作和式)()(11ininiifnabxf，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数)(xf在区间 ba,上的定积分.10.微积分基本定理：一般地，如果)(xf在区间 ba,上连续，并且)()(xfxF，

6、那么baaFbFdxxf)()()(，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼茨公式.11.常见求定积分公式：1.babaCCxCdx是常数）(|2.)1|111nxndxxbanban（3.babaxxdx|cossin 4.babaxxdx|sincos 5.babaxdxx|ln1 6.babaxxedxe|三、导数小题练习 导数的概念及几何意义 1.设曲线)1ln(xaxy在点)0,0(处的切线方程为xy2，则a_.2.曲线1xxey在)1,1(处的切线斜率等于_.3.设曲线axye在点(0 1)，处的切线与直线210 xy 垂直，则a 4.经过原点O作函数233)(xxxf的图像

7、的切线，则切线方程为 _.5.如果函数 yf x的图象如图，那么导函数()yfx的图象可能是（）xyy=f(x)yyyxxxyxDCBA 积分的运算 研究函数的单调性其中多项式函数不超过三次函数的极值最值其中多项如果当时有极限就说函数在处可导并把这个极限叫做在处的导数记作即点处的切线的斜率优秀学习资料欢迎下载常见函数的导数导数的四则运优秀学习资料 欢迎下载 1.定积分10)2(xex_.2.直线xy4与曲线3xy 在第一象限内围成的封闭图形的面积为_.3.若dxxS2121，dxxS2121，dxeSx213，则1S，2S，3S的大小关系是_.4.若函数)(),(xgxf满足110)()(dx

8、xgxf，则称)(xf与)(xg为区间 1,1上的一组正交函数.下列三组函数中在区间 1,1为正交函数的序号是_.2sin)(xxf,2cos)(xxg 1)(xxf，1)(xxg xxf)(，2)(xxg 5.定积分由直线xyyxxsin20,32,0与所围成的图形的面积等于_.函数的极值、最值 1.函数()f x的导函数图象如下图所示，则函数()f x在图示区间上（）Oyx A无极大值点，有四个极小值点 B有三个极大值点，两个极小值点 C有两个极大值点，两个极小值点 D有四个极大值点，无极小值点 2.如果函数()yf x的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：函数()yf x在区间1(3,

9、)2 内单调递增；函数()yf x在区间1(,3)2内单调递减；函数()yf x在区间(4,5)内单调递增；当2x 时，函数()yf x有极小值；当12x 时，函数()yf x有极大值.则上述判断中正确的是_ 3.函数()f x的定义域为开区间()ab，导函数()fx在()ab，内的图象如图所示，则函数()f x在开区间()ab，内有极小值点（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 研究函数的单调性其中多项式函数不超过三次函数的极值最值其中多项如果当时有极限就说函数在处可导并把这个极限叫做在处的导数记作即点处的切线的斜率优秀学习资料欢迎下载常见函数的导数导数的四则运优秀学习资料 欢迎下载 b

10、aOyx 4函数1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A21a B 63a C3a或6a D1a或2a 5.下列四个函数，在0 x处取得极值的函数是（）3xy 12xy|xy xy2 A.B.C.D.6 函数 y=2x3-3x2-12x+5在0,3 上的最大值与最小值分别是（）A.5,-15 B.5,4 C.-4,-15 D.5,-16 7.函数)1()(2xxxf在0，1 上的最大值为（）A.932 B.922 C.923D.83 8.下列说法正确的是（）A.当)(0 xf=0 时，则)(0 xf为)(xf的极大值 B.当)(0 xf=0 时，则)(0 xf为)

11、(xf的极小值 C.当)(0 xf=0 时，则)(0 xf为)(xf的极值 D.当)(0 xf为函数)(xf的极值且)(0 xf存在时，则有)(0 xf=0 单调性 1设有时则当且上可导在函数,),()(,)(),(bxaxgxf，baxgxf（）)()()()(.)()()()(.)()(.)()(.bfxgbgxfDafxgagxfCxgxfBxgxfA 2.知函数2()cosf xxx，对于2 2，上的任意12xx，有如下条件：12xx；2212xx；12xx其中能使12()()f xf x恒成立的条件序号是 3.若)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，且),(bax时，)(0 x

12、f0,又)(af0 B.)(xf在,ba上单调递增，且)(bf 0 C.)(xf在,ba上单调递减，且)(bf 0D.)(xf在,ba上单调递增，但)(bf的符号无法判断 4.函数 y=(x+1)(x21)的单调递减区间为_.研究函数的单调性其中多项式函数不超过三次函数的极值最值其中多项如果当时有极限就说函数在处可导并把这个极限叫做在处的导数记作即点处的切线的斜率优秀学习资料欢迎下载常见函数的导数导数的四则运优秀学习资料 欢迎下载 四、含参数单调区间的求解步骤（导数问题的核心）：确定定义域（易错点）求导函数)(xf 对)(xf进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理.)(

13、xf中x的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间.例 1：xxaxaxf23213)(，则)1)(1()(xaxxf要首先讨论0a情况 )(xf最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时，若0)(xf，则)(xf在定义域内单调递增；若0)(xf，则)(xf在定义域内单调递减.例 2：xxaxfln2)(2，则)(xf=)0(,12xxax，显然0a时0)(xf，此时)(xf的单调区间为),0(.)(xf最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现0)(xf或者0)(xf的情况 求出)(xf=0 的根，（一般为两个）21,xx，判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内，那么

14、单调区间只有两段.若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即212121,xxxxxx.例 3:若)0(,ln)1(2)(2axxaxaxf，则xxaxxf)1)(1()(，)0(x 解方程0)(xf得axx1,121 0a时，只有11x在定义域内.0a时,比较两根要分三种情况：1,10,1aaa 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论)(xf在每个子区间内的正负，求得)(xf 的单调区间。五、恒成立问题的几种问法：1对于 bax,，kxf)(恒成立，等价于函数)(xf在 ba,上的最小值kxfmin)(.诉讼 2对于 bax,，axf)(恒

15、成立，等价于函数)(xf在 ba,上的最大值kxfmax)(.研究函数的单调性其中多项式函数不超过三次函数的极值最值其中多项如果当时有极限就说函数在处可导并把这个极限叫做在处的导数记作即点处的切线的斜率优秀学习资料欢迎下载常见函数的导数导数的四则运优秀学习资料 欢迎下载 3.对于 baxx,21，)()(21xgxf，等价于)(xf在区间 ba,上的最小值min)(xf，大于等于)(xg 在区间 ba,上的最大值max)(xg，即maxmin)()(xgxf.4.对于 baxx,21，)()(21xgxf，等价于)(xf在区间 ba,上的最大值max)(xf，小于等于)(xg 在区间 ba,上

16、的最小值min)(xg，即minmax)()(xgxf.5.对于 bax,，)()(xgxf，等价于构造函数)()()(xgxfxh，)(xh在区间 ba,上的最小值 0)(minxh.6.对于 bax,，)()(xgxf，等价于构造函数)()()(xgxfxh，)(xh在区间 ba,上的最大值 0)(maxxh.7.)(xf在区间 ba,上单调递增，等价于 baxxf,0)(min.8.)(xf在区间ba,上单调递减，等价于 baxxf,0)(max.六、存在性问题的几种问法：1.bax,0,使得kxf)(成立，等价函数)(xf在 ba,上的最大值kxfmax)(.2.bax,0,使得kxf

17、)(成立，等价函数)(xf在 ba,上的最小值kxfmin)(.3.baxx,21，使得)()(21xgxf成立，等价于)(xf在区间 ba,上的最大值max)(xf，大于等于 )(xg在区间 ba,上的最小值min)(xg，即minmax)()(xgxf.4.baxx,21，使得)()(21xgxf，等价于)(xf在区间 ba,上的最小值min)(xf，小于等于)(xg 在区间 ba,上的最大值max)(xg，即maxmin)()(xgxf.5.bax,，使得)()(xgxf，等价于构造函数)()()(xgxfxh，)(xh在区间 ba,上的最大值 0)(maxxh.6.bax,，使得)()

18、(xgxf，等价于构造函数)()()(xgxfxh，)(xh在区间 ba,上的最小值 0)(minxh.7.)(xf在区间 ba,上存在单调递增区间，等价于)(xf的最大值0)(maxxf.8.)(xf在区间 ba,上存在单调递减区间，等价于)(xf的最小值0)(minxf.七、导数大题类型 研究函数的单调性其中多项式函数不超过三次函数的极值最值其中多项如果当时有极限就说函数在处可导并把这个极限叫做在处的导数记作即点处的切线的斜率优秀学习资料欢迎下载常见函数的导数导数的四则运优秀学习资料 欢迎下载 一、求函数的单调区间 1.（2010 北京高考理）已知函数22)1ln()(xkxxxf )0(

19、k（）当2k时，求曲线)(xfy 在点)1(,1(f处的切线方程.（）求)(xf得单调区间.2.已知函数2()4lnf xaxx，a R.（）当12a 时，求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（）讨论()f x的单调性.3.（2014 海淀模 2 模）已知函数()()sincos,(0,)f xxaxx x.（）当2a 时，求函数()f x值域；（）当2a 时，求函数()f x的单调区间.4（2014 西城 2 模）已知函数12e()44xf xaxx，其中aR.（）若0a，求函数()f x的极值；（）当1a 时，试确定函数()f x的单调区间.二、求函数在给定的区间的最值问题

20、5（2012 北京高考理）已知函数1)(2axxf)0(a，bxxxg3)(.（）若曲线)(xf与)(xg在它们的交点),1(c处具有公切线，求ba,的值.（）当ba42时，求函数)()(xgxf的单调区间，并求其在)1,(上的最大值.6（2014 朝阳一模理）已知函数21()ln2f xaxx，aR（）求函数()f x的单调区间；（）若函数()f x在区间1,e的最小值为1，求a的值 7.（2013 海淀一模理）已知函数bxaxxxf2ln)(（其中ba,为常数且0a）在1x处取得极值.（）当1a 时，求函数()f x的单调区间；（）若函数)(xf在区间0,e上的最大值为 1，求a的值.8（

21、2012 期末西城理）已知函数)1ln(21)(2xaxxxf，其中aR.（）若2x 是)(xf的极值点，求a的值；研究函数的单调性其中多项式函数不超过三次函数的极值最值其中多项如果当时有极限就说函数在处可导并把这个极限叫做在处的导数记作即点处的切线的斜率优秀学习资料欢迎下载常见函数的导数导数的四则运优秀学习资料 欢迎下载（）求)(xf的单调区间；（）若)(xf在0,)上的最大值是0，求a的取值范围.三、恒成立问题 9.（2011 北京高考理）已知函数kxekxxf2)()(.（）求)(xf的单调区间.（）若对于任意的),0(x，都有exf1)(，求k的取值范围.10.（2013 北京高考理）

22、北京设l为曲线 C:xxyln在点)0,1(处的切线.（）求l的方程.（）证明：除切点外，曲线 C在直线l下方.11.（2014 北京高考理）已知函数xxxxfsincos)(，2,0 x（）求证：0)(xf（）若bxxasin在2,0上恒成立，求a的最大值和b的最小值.12.（2014 东城二模理）已知0a，函数2()21axf xax，()lng xaxxa.（）求函数()f x的单调区间；（）求证：对于任意的12,(0,e)x x，都有12()()f xg x.13.（2014朝阳 2 模理）已知函数21()e1xf xax，aR（）若曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线与直线e1

23、0 xy 垂直，求a的值；（）求函数()f x的单调区间；（）设32ea，当0,1x时，都有()f x 1成立，求实数a的取值范围 14.已知函数Raxaxxf,ln)()(（）当0a时求)(xf的极小值.（）若函数)(xf在区间),0(上为增函数，求a得取值范围 15.已知3)(,ln)(2axxxgxxxf.研究函数的单调性其中多项式函数不超过三次函数的极值最值其中多项如果当时有极限就说函数在处可导并把这个极限叫做在处的导数记作即点处的切线的斜率优秀学习资料欢迎下载常见函数的导数导数的四则运优秀学习资料 欢迎下载（I）求函数)(xf在)0(2,ttt上的最小值；（II）对一切)()(2),

24、0(xgxfx恒成立，求实数a的取值范围.四、存在性问题 16.（2014 丰台一模理）已知曲线()xf xaxe(0)a.（）求曲线在点（0,(0)f）处的切线方程；（）若存在0 x使得0()0f x，求a的取值范围.17.（2013 朝阳期末）已知函数1()()2ln()f xa xx axR（）若2a，求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（）求函数()f x的单调区间；（）设函数()ag xx 若至少存在一个01,ex，使得00()()f xg x成立，求实数a的取值范围 18.已知函数1()ln(0,)f xax aax R（）若1a，求函数()f x的极值和单调区间；（）若在区间1,e上至少存在一点0 x，使得0()0f x成立，求实数a的取值范围.研究函数的单调性其中多项式函数不超过三次函数的极值最值其中多项如果当时有极限就说函数在处可导并把这个极限叫做在处的导数记作即点处的切线的斜率优秀学习资料欢迎下载常见函数的导数导数的四则运