2023年北师大版八年级下册数学第一章《证明二》知识点总结归纳及习题.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 1 等腰三角形 知识点 1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)用符号语言表示为：如图 11 所示，在ABC 中，ABAC，BC 定理的证明：取 BC 的中点 D，连接 AD (),()()ABACBDCDADAD已知中点定义，公共边，ABDACD(SSS)BC(全等三角形的对应角相等)定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等 拓展 等腰三角形还具有其他性质(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于 45(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角(3)等腰三角形的三边关系：设腰长

2、为 a，底边长为 b，则2ba(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为A，底角为B，C，则A180BC1802B1802C 知识点 2 等腰三角形的性质定理的推论 推论 1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)(1)用符号语言表示为：如图 13 所示，在ABC 中，ABAC，12，ADBCBDDC；在ABC 中，ABAC，ADBC，12，BDDC；在ABC 中，ABAC，BDDC，12，ADBC(2)推论 1 的证明 在ABC 中，ABAC，12，ADAD，ABDACD(SAS)BDDC，ADBADC90ADBC 在ABC 中，ADBC，ADBADC90 名

3、师总结 优秀知识点 ABAC，BC又 ADAD，RtADBRtADC(AAS)12，BDCD 在ABC 中，ABAC，ADAD，BDCD，ABDACD(SSS)12，ADBADC90，ADBC.(3)推论 1 的作用：证明角相等、线段相等或垂直.推论 2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60(1)用符号语言表示为：如图 14 所示，在ABC 中，ABBCAC，ABC60(2)推论 2 的证明：ABAC，BC ABBC，AC ABC 又A+B+C180，即 3A180，ABC60 知识点 3 等腰三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等

4、边)用符号语言表示为：如图 16 所示，在ABC 中，BC，ABAC 判定定理的证明：如图 16 所示 过 A作 ADBC 于 D，则ADBADC90 BC，ADAD，ABDACD(AAS)，ABAC 判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等 拓展 如图 16 所示，在ABC 中，角相等定理的作用证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为底角为则知识点等腰中在中名师总结优秀知识点又在中推论的作用证明角相等线段相等或垂名师总结 优秀知识点(1)如果 ADBC，12，那么 ABAC；(2)如果 ADBC，BDDC，那么 ABAC；(3)如果12，B

5、DDC，那么 ABAC 知识点 4 等腰三角形的判定定理的推论 推论 1(1)推论 1 的内容：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形(2)用符号语言表示为：如图 18 所示，在ABC 中，ABAC，A60(或B60或C60)，ABACBC(3)推论 1 的证明：在ABC 中，ABAC，BC 又A60，BC01802A 60 ABACBC(或B60，A1802B60ABACBC或C60，A1802C60ABACBC)推论 2(1)推论 2 的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形(2)用符号语言表示为：如图 18 所示，在ABC 中，ABC，ABACBC(3)推论 2 的证明：在ABC 中

6、，AB，BCAC(等角对等边)又BC，ABAC(等角对等边)ABACBC(4)推论 1 和推论 2 的作用：证明一个三角形是等边三角形 拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2)根据推论 1，证明两条边相等，有一个角是 60；(3)根据推论 2，证明三个角都相等 推论 3(1)推论 3 的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半 角相等定理的作用证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为底角为则知识点等腰中在中名师总结优秀知识点又在中推论的作用证明

7、角相等线段相等或垂名师总结 优秀知识点(2)用符号语言表示为：如图 19 所示，在 RtABC 中，C90，A30，BC21AB (3)推论 3 的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或 2 倍 知识点 5 反证法 先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法 拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：(1)假设命题不成立；(2)从假设出发推导出矛盾；(3)否定假设，从而肯定命题的结论 规律方法小结 1转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造

8、全等三角形，转化为全等得以证明的 2类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习 3用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况 探究交流 想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？解析 有，作等腰三角形 ABC 的顶角平分线 AD，如图 12 所示.,)(),(21,)(公共边角平分线定义已知ADADACAB ABDACD(SAS).BC(全等三角形的对应角相等)课堂检测 1、如图 110 所示，在ABC 中，ABAC，AD32AC，AE32AB求证 BDCE 角相等定理的作用证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形腰长为底边长为则

9、等腰三角形的三角关系设顶角为底角为则知识点等腰中在中名师总结优秀知识点又在中推论的作用证明角相等线段相等或垂名师总结 优秀知识点 2、如图 112 所示，已知点 D，E 在ABC 的边 BC 上，ABAC，ADAE求证 BDCE 3、如图 113 所示，已知CAE 是ABC 的一个外角，12，ADBC，求证ABC 是等腰三角形 4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题 学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形 ABC 的A等于 30，求其余两角 同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是 30和 120”王华同学说：“其余两角是

10、75和 75”还有一些同学也提出了不同的看法 假如你也在课堂上，你的意见如何?为什么?5、已知等边三角形 ABC 和点 P，设点 P 到ABC 三边 AB，AC，BC 的距离分别是 h1，h2，h3，ABC的高为 h，若点 P 在边 BC 上，如图 117(1)所示，此时 h30，可得结论：h1+h2+h3h 请直接应用上述信息解决下列问题：点 P 在ABC 内，如图 117(2)所示点 P 在ABC 外，如图 117(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与 h 之间又有怎样的关系?请写出你的猜想，不需证明 角相等定理的作用证明同一个三角形

11、中的两个内角相等拓展等腰三角形腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为底角为则知识点等腰中在中名师总结优秀知识点又在中推论的作用证明角相等线段相等或垂名师总结 优秀知识点 体验中考 1、已知等腰三角形 ABC 的周长为 10若设腰长为 x，则 x 的取值范围是 2、如图 120 所示，在ABC 和DEF 中，ABDE，BECF，B1求证 ACDF(要求：写出证明过程中的重要依据)2 直角三角形 知识概览图 知识点 1 勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c2a2+b2(c 为斜边长)勾股定理的作用(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形

12、的一条边，求另外两条边的数量关系(3)用于证明平方关系的问题(4)利用勾股定理作出长为n的线段 勾股定理的各种表达形式 勾股定理：a2+b2c2（a，b 为直角边长，c 为斜边长）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 互逆命题与互逆定理 直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（）直角三角形 角相等定理的作用证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为底角为则知识点等腰中在中名师总结优秀知识点又在中推论的作用证明角相等线段相等或垂名师总结 优秀知识点 在 RtABC 中，C90，A，B，C 的对边长分别

13、为 a，b，c，则 a2c2b2，b2c2a2，c2a2+b2，c22ba，a22bc，b22ac 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理 直角三角形的判定(1)首先确定最大边(如 c)(2)验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系 若 c2a2+b2，则ABC 是直角三角形；若 c2a2+b2，则ABC 不是直角三角形 勾股数(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数或勾股弦数(2)勾股数必须是正整数如 3，

14、4，5；5，12，13 等 拓展 应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角 知识点 2 互逆命题与互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 拓展 每个命题都有逆命题原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真 角相等定理的作用证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为底角为则知识点等

15、腰中在中名师总结优秀知识点又在中推论的作用证明角相等线段相等或垂名师总结 优秀知识点 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理 拓展 每个命题都有逆命题但不是所有的定理都有逆定理.知识点 3 直角三角形全等的判定定理 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示 定理的作用：判定两个直角三角形全等 定理的证明：如图 130 所示，已知 RtABC，RtABC，CC90，ABAB，ACAC，求证 RtABCRtABC 证明：在ABC 和ABC中

16、，CC90，BC22ACAB，BC22CABA.ABAB，ACAC，BCBC RtABCRtABC(SSS)知识拓展 “HL”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等 与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等 课堂检测 1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假 角相等定理的作用证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为底角为则知识点等腰中在中名师总结优秀知识点又在中推论

17、的作用证明角相等线段相等或垂名师总结 优秀知识点 2、如图 131 所示，在 RtABC 中，ACB90，AB50，BC30，CDAB于点 D，求 CD 的长 3、在正方形 ABCD 中，如图 132 所示，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC41BC，求证EFA90 4、试判断三边长分别为 2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n0)的三角形是否是直角三角形 5、如图 1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得MAD30，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得MBD=45，该货轮到达灯塔 M 的正东方向的 D 处时，货轮与灯塔 M 的

18、距离是多少?(精确到 01 海里，31732)体验中考 角相等定理的作用证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为底角为则知识点等腰中在中名师总结优秀知识点又在中推论的作用证明角相等线段相等或垂名师总结 优秀知识点 1、如图 1-41所示，在ABC 中，AB=AC，AD 是底边上的高，若 AB=5 cm，BC=6 cm，求 AD 的长度 2、如图 145 所示，在直角梯形 ABCD 中ADBC，ABC90，DEAC 于点 F，交 BC 于点 G，交 AB的延长线于点 E，且 AEAC （1）求证 BGFG；（2）若 ADDC2，求 AB的长 角相等定理的作用证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形腰长为底边长为则等腰三角形的三角关系设顶角为底角为则知识点等腰中在中名师总结优秀知识点又在中推论的作用证明角相等线段相等或垂