2023年圆的方程复习精品讲义.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 圆的方程复习教案 知识梳理 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.3、点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r：(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 dr；(3)点在圆内 dr 2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.M在圆C内22020)()(rbyax M在圆C上22020)()rbyax（M在圆C外22020)()(rbyax 3.涉

2、及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 minPBBNBCr maxPBBMBCr （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 minPAANrAC maxPAAMrAC MMM学习必备 欢迎下载 4、圆的一般方程：022FEyDxyx.当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0 CA且0422AFED.圆的直径或方程：已知0)()(),(),(21212211yyyyxxxxy

3、xByxA 5、直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种（1）相离没有公共点0dr （2）相切只有一个公共点0dr （3）相交有两个公共点0dr 相离 相切 相交（其中：22BACBbAad）还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组0022FEyDxyxCByAx求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有 2 个公共解时（直线与圆有 2 个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有 1 个公共解时（直线与圆只有 1 个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别

4、式为，圆心 C 到直线l的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：(1)相切d=r0（2）相交d0；（3）相离dr0。圆的位置关系设点到圆心的距离为圆半径为点在圆上点在圆外点在圆内其中圆心半径当时方程表示一个点当时方程无图形称虚圆注方程表示圆中还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解通过解的个数来判断学习必备 欢迎下载 6、两圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21。（1）条公切线外离421rrd；（2）条公切线外切321rrd；（3）条公切线相交22121rrdrr；（4）条公切线内切121rrd；（5）无公切线内含 210rrd；外离 外切 相

5、交 内切 内含 7、圆切线：切线条数：点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无 求切线方程的方法及注意点（点在圆外）如定点00,P xy，圆：222xaybr，22200 xaybr 第一步：设切线l方程00yyk xx 第二步：通过drk，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上千万不要漏了！如：过点 1,1P作圆2246120 xyxy的切线，求切线方程.答案：3410 xy 和1x 求切线方程的方法及注意点（点在圆上）1）若点00 xy，在圆222xyr上，则切线方程为200 x xy yr 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2）若点00 xy

6、，在圆 222xaybr上，则切线方程为 200 xaxaybybr 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.圆的位置关系设点到圆心的距离为圆半径为点在圆上点在圆外点在圆内其中圆心半径当时方程表示一个点当时方程无图形称虚圆注方程表示圆中还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解通过解的个数来判断学习必备 欢迎下载 求切线长：利用基本图形，22222APCPrAPCPr 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1ACAPACrkk 8、直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径

7、定理及勾股定理常用 弦长公式：222121212114lkxxkxxx x（暂作了解，无需掌握）（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题 例：若圆 22235xyr上有且仅有两个点到直线4320 xy 的距离为 1，则半径r的取值范围是_.答案：4,6 （*）9、圆的参数方程 222cos0sinxrxyrryr，为参数 222cos0sinxarxaybrrybr ，为参数 例题精讲 基本圆方程：【题型一、圆方程判断】【例 1】2220 xyaxaya 表示圆，则a的取值范围 变式训练：方程022FEyDxCyBxyAx表示一个圆

8、的充要条件是（）(A)0,BCA (B)0,0BCA (C)04,0,022FEDBCA(D)04,0,022AFEDBCA 圆的位置关系设点到圆心的距离为圆半径为点在圆上点在圆外点在圆内其中圆心半径当时方程表示一个点当时方程无图形称虚圆注方程表示圆中还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解通过解的个数来判断学习必备 欢迎下载【题型二、几种基本求圆方程的方法】1、简单圆方程求法：【例 2】方程 x2+y2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C（2，2），半径为 2 的圆，则 a、b、c 的值依次为()（A）2、4、4；（B）-2、4、4；（C）2、-4、4；（D）2、-4、-4 2、圆心在某

9、直线上：【例 3】过点 A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线 x+y-2=0上的圆的方程是()A、(x-3)2+(y+1)2=4 B、(x+3)2+(y-1)2=4 C、(x-1)2+(y-1)2=4 D、(x+1)2+(y+1)2=4（答案：）3、过三点：【例 4】求下列各圆的 方程：（1）圆心为点(5,3)M，且过点(8,1)A （2）过三点(2,4),(1,3),(2,6)ABC 【题型三、点圆关系】【例 5】点4)()()1,1(22ayax在圆的内部，则a的取值范围是（）(A)11a (B)10a (C)11aa或 (D)1a 【题型四、线圆关系】类型一：【例 6】若圆222)

10、5()3(ryx上有且只有两点到直线234 yx的距离为 1，则半径r的取值范围是（）A 6,4 B 6,4 C 6,4 D 6,4 【例 7】能够使得圆 x2+y2-2x+4y+1=0 上恰有两个点到直线 2x+y+c=0 的距离等于 1 的 c 的一个值为（）A.2 B.5 C.3 D.35 【例 8】圆9)3()3(22yx上到直线01143 yx的距离等于 1 的点的个数有（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 类型二：【例 9】直线0534 yx与圆02422myxyx无公共点的充要条件是（）A.50m B.51m C.1m D.0m 变式训练 1.若圆)0(022222kykx

11、yx与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围是（）A20k B21k C 10k D2k 2.直线0234 yx与圆01242222ayaxyx总有两个交点，则a应满足（）(A)73a (B)46a (C)37a (D)1921a 圆的位置关系设点到圆心的距离为圆半径为点在圆上点在圆外点在圆内其中圆心半径当时方程表示一个点当时方程无图形称虚圆注方程表示圆中还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解通过解的个数来判断学习必备 欢迎下载 类型三：【例 10】圆012222yxyx上的动点Q到直线0843 yx距离的最小值为 .（配方：11122yx 【题型五、与圆有关的交线问题】知直线求弦长：【例

12、 11】直线xy+3=0被圆（x+2）2+（y2）2=2截得的弦长等于（）A.26 B.3 C.23 D.6 知弦中点求直线：【例 12】若P(2,-1)为25y1)-(x22圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A.03 yx B.032yx C.01yx D.052yx 知弦长求直线：【例 13】求过点 P（6，4）且被圆2220 xy截得长为6 2的弦所在的直线方程 涉圆交线综合分析：1、经过两点(2,4),(3,1)PQ，且在 x 轴上截得的弦长为6 的圆的方程。已知圆心在x轴上，半径是 5，且以点A(5,4)为中点的弦长为2 5,则这个圆的方程是_ 2、已知圆 C 与y轴相切，圆心

13、在直线30 xy上，且被直线yx截得的弦长为2 7，求圆的方程。3、已知直线03:kykxl与圆M：092822yxyx.4、求证：直线l与圆 M 必相交；当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值.（配方：81-y4)-(x22；【题型六、与圆有关的切线问题】判断圆切线：【例 14】圆)0()()(222rrbyax与两坐标轴都相切的条件是（）A、222rba B、rba C、222rba Drbra|或 求切线方程：【例 15】自点 1)3()2()4,1(22yxA作圆的切线，则切线长为（），切线方程为：。圆的位置关系设点到圆心的距离为圆半径为点在圆上点在圆外点在圆内其中圆心半径当时方程表示

14、一个点当时方程无图形称虚圆注方程表示圆中还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解通过解的个数来判断学习必备 欢迎下载 涉圆切线综合分析：1、一个圆经过点 P(2，1)和直线 xy=1 相切且圆心在直线 y=2x 上，求它的方程。2、求过点 1,2A和 1,10B且与直线012 yx相切的圆的方程。3、由直线2xy，4 xy及x轴围成的三角形的内切圆的圆心是（）(A)323 ,1 (B)323,1 (C)232 ,1 (D)232,1 4、若过点（1，2）总可以作两条直线和圆0152222kykxyx相切，则实数k的取值范围 是_ 5、已知圆 C 的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线0443

15、 yx与圆 C 相切，则圆 C 的方程为（）A.03222xyx B.0422xyx C.03222xyx D.0422xyx 【题型七、圆圆关系】【例 16】圆x2y22x6y90 与圆 x2y26x2y10 的位置关系是（）A相交 B相外切 C相离 D相内切 变式训练 1、圆0222xyx和0422yyx的位置关系是 （）A 相离 B 外切 C 相交 D 内切 2、若圆C1的方程是074422yxyx，圆C2的方程为01310422yxyx，则两圆的公切线有（）A、2 条 B、3 条 C、4 条 D、1 条 对称：1、圆0222yxyx关于直线l：01yx对称的圆方程是_ 2、圆1)1()

16、2(22yx关于A(1,2)对称的圆的方程为 3、圆 C 与圆1)1(22yx关于直线xy对称，则圆 C 的方程为()A.1)1(22yx B.122yx C.1)1(22yx D.1)1(22 yx【题型八、数形结合就范围】类型一：1.已知点(,)M a b在直线1543 yx上，则22ba 的最小值为 2212ba的最小值为 圆的位置关系设点到圆心的距离为圆半径为点在圆上点在圆外点在圆内其中圆心半径当时方程表示一个点当时方程无图形称虚圆注方程表示圆中还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解通过解的个数来判断学习必备 欢迎下载 2.点(,)P x y在直线40 xy 上，则22xy的最小值

17、是_ 3.若实数x、y满足方程0166822yxyx，则22yx 的最大值是_ 类型二：4.实数yx,满足0126622yxyx，则xy的最大值为()；xy的最大值为()。已知实数yx,满足122yx，求12xy的取值范围。5.若),(yxP在圆6)3()3(22yx上运动，则xy的最大值是_ 类型三：6.若直线)2(xky与曲线21xy有交点，则（）Ak有最大值33，最小值33 Bk有最大值21，最小值21 Ck有最大值 0，最小值 33 Dk有最大值 0，最小值21 7.若曲线21xy与直线bxy始终有交点，则b的取值范围是_；若有一个交点，则b的取值范围是_；若有两个交点，则b的取值范围是_；8.直线kxy与曲线21yx恰有一个公共点，则k的取值范围是（）A.2 k B.,2 2,C.2,2 D.2k或1 ,1k 圆的位置关系设点到圆心的距离为圆半径为点在圆上点在圆外点在圆内其中圆心半径当时方程表示一个点当时方程无图形称虚圆注方程表示圆中还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解通过解的个数来判断