2023年大学微积分l知识点归纳总结全面汇总归纳.pdf

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1、大学微积分 l 知识点总结 大学微积分 l 知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式:ab2ba ab2ba22 3abc3cba nn21n21.aaana.aa abc3cba333 2ba2baabb1a1222 babab-a nn21n21n21nx.xxyppx.xxx.xxy的最大值为：则为常数，且扩展：若有 柯西不等式:设 a1、a2、an,b1、b2、bn均就是实数,则有:22221222212nn2211.aaba.babannbbba 时取等号为常数，当且仅当，n.3,2,1ibaii 2、函数周期性与对称性的常用结论 1、若 f(x+a)=f(x+b),则 f

2、(x)具有周期性;若 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)具有对称性。引 申双向不等式:两侧均在ab0 或ab0 时取等号 大学微积分 l 知识点总结 口诀:“内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性(1)若 f(x+a)=f(b+x),则 T=|b-a|(2)若 f(x+a)=-f(b+x),则 T=2|b-a|(3)若 f(x+a)=1/f(x),则 T=2a(4)若 f(x+a)=【1-f(x)】/【1+f(x)】,则 T=2a(5)若 f(x+a)=【1+f(x)】/【1-f(x)】,则 T=4a 3、对称性(1)若 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)的对称轴为 x=(a+

3、b)/2(2)若 f(a+x)=-f(b-x)+c,则 f(x)的图像关于(a+b)/2,c/2)对称 4、函数图象同时具备两种对称性,即两条对称轴,两个对称中心,一条对称轴与一个对称中心,则函数必定为周期函数,反之亦然。(1)若 f(x)的图像有两条对称轴 x=a 与 x=b,则 f(x)必定为周期函数,其中一个周期为 2|b-a|。(2)若 f(x)的图像有两个对称中心(a,0)与(b,0),(ab),则 f(x)必定为周期函数,其中一个周期为 2|b-a|。(3)若 f(x)的图像有一个对称轴 x=a 与一个对称中心(b,0),(ab),则 f(x)必定为周期函数,其中一个周期为 4|b

4、-a|。3、三角函数 lnsin 正弦 lmcos 余弦 mntan 正切 nmcot 余切 mlsec 正割 nlcsc 余割 倒数关系:L m n 大学微积分 l 知识点总结 cot1tan csc1sin sec1cos 商的关系:cscsectancossin seccsccotsincos 平方关系:1cot11tan11cossin2222 平常针对不同条件的两个常用公式:1cottan1cossin22 一个特殊公式:-sinsinsin-sinsinsin 二倍角公式:AAAAAAAAAA2222tan-1tan22tansin2-1sin-cos2coscossin22sin

5、 半角公式:sinacosa1cosa-1sina2acotsinacosa-1cosa1sina2atancosa1212acoscosa-1212asin22 三倍角公式:大学微积分 l 知识点总结 a-3tana3tantanaa3tana-3cosa3coscosa4a3cosa-3sina3sinsina4a3sin 万能公式:2atan-12atan2tana2atan12atan-1cosa2atan12atan2sina2222 两角与公式:tantan1tan-tan-tantantan-1tantantansinsincoscos-cossinsin-coscoscossi

6、ncos-cossin-sinsincoscossinsin 与差化积公式:21-cos21sin2sinsin 21-sin21cos2sin-sin 大学微积分 l 知识点总结 21-cos21cos2coscos 21-sin21sin2-cos-cos BABABABABAtantan1tancoscossintantan tanBtanA1B-AtancoscosA-sintan-tanBBABA 积化与差公式:21-sinsincossin21-coscoscoscos21-cos-cos-sinsin 口诀:奇变偶不变,符号瞧象限 原式得证，由题，证：设，其中证明：222222b

7、axxbcosxasin1xbxasinxbcosxaxbsinacossinxbsinacosbatansinbabsinacoaMMAAAAMAAAMMAAA 4、数学归纳法 数学上证明与自然数 N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立与数列通项公式成立。例如:前 n 个奇数的总与就是 n2,那么前 n 个偶数的总与就是:n2+n 最简单与最常见的数学归纳法证明方法就是证明当 n 属于所有正整数时一大学微积分 l 知识点总结 个表达式成立,这种方法由下面两步组成:递推的基础:证明当 n=1 时表达式成立 递推的依据:证明如果当 n=m

8、时成立,那么当 n=m+1时同样成立(1)第一数学归纳法 证明当 n 取第一个值 n0时命题成立,n0对于一般数列取值为 0 或 1,但也有特殊情况 假设 n=k(kn0,k 为自然数)时命题成立,证明当 n=k+1时命题也成立（2）第二数学归纳法 对于某个与自然数有关的命题P(n)验证 n=n0时 P(n)成立 假设 n0nk 时 P(n)成立,并在此基础上,推出 P(k+1)成立(3)倒推归纳法 验证对于无穷多个自然数n 命题 P(n)成立 假设 P(k+1)成立,并在此基础上,推出 P(n)成立(4)螺旋式归纳法 对两个与自然数有关的命题 验证 n=n0时 P(n)成立 假设 P(k)(

9、k n0)成立,能推出 Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k)成立。5、初等函数的含义 概念:初等函数就是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。【有理运算:加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【基本初等函数:对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】6、二项式定理:即二项展开式,即(a+b)n的展开式 大学微积分 l 知识点总结 nnnkk-nkn1-n1nn0nnb.ba.baaCbaCCC 称为二次项系数其中knC 表示项，用项，它是第叫做二次项展开式的通1kkk-n

10、kn1kbaTC k1k-nk1-k1-k-n.1-nn1-knknCC！其中，7、高等数学中代换法运用技巧 倒代换 把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替,此种方法被称为“倒代换”法 增量代换 若题目中已知 xm,则引入辅助元 x=m+a(a0),再将辅助元代入题中解题。此种代换方法称为“增量代换法”三角代换 222222axxaax、双代换 nnnyxlim 8、其她一些知识点(1)0 不就是正数,不就是负数。就是自然数。0 就是偶数,偶数分为:正偶数、负偶数与 0（2）正偶数称为“双数”（3）正常数:常数中的正数（4）质数:又称“素数”。一个大于 1 的自然数,如果除

11、了 1 与它自身以外,不能:引入两个辅助元进行代换 大学微积分 l 知识点总结 被其她自然数整除的数,否则称为“合数”。最小的质(素)数就是 2。1 既不就是素数,也不就是合数。（5）exp:高等数学中,以自然对数 e 为底的指数函数（6）在数学符号中,sup 表示上界;inf表示下界（7）:表示恒等于（8）0 的阶乘就是 1、阶乘就是一个递推定义,递推公式为:n！=n(n-1)！因为 1的阶乘为 1,即 1！=10！,故 0！=1【第二部分】函数与极限 常用结论(等价无穷小很重要)nx1x1n xn11x1n1 x1ex 时成立1xx1ex-11x xlnx1xx1 en11n e1n1-1

12、n 其中,en11n,e 为初等函数,又称“幂指函数”,e 即根据此公式得到,e 2、718 1n1-1n2 61n21nnn.21222 大学微积分 l 知识点总结 233321nnn.21 1-aa-asa.aas1nn2 1-n2-n1-nnnb.baab-ab-a 1-m2-m1-mm1m1b.baab-ab-a bxvxxxxxxaxulimbabxvlim0axulim000，则为常数、，若 exf1xf1 一些重要数列的极限:xlnx1 x1-ex xlna1-ax x1-x1 xarcsinx xarctanx 另一些重要的数列极限:0k0n1limkn 为常数1q0qlimn

13、n 1a1alimnn 为常数！a0nalimnn 1nlimnn xsinx0 x 时，xtanx 2x21cosx-1 列举一些趋向于 0 的函数:大学微积分 l 知识点总结 0lnn10na1a0c-nb0b0a0q1qbnan，柯西极限存在准则:柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。给出了极限收敛的充分必要条件就是:对于任意给定的正数,存在这样的正整数 N,使得当 m N,nN时就有|xn-xm|。这个准则的几何意义表示,数列Xn收敛的充分必要条件就是:该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。夹逼定理的两个条件:左右极限存在;左右极限相等【极限计算的技巧总结(不包含教材介绍的方法以及公式):

14、】(1)洛比达法则 设函数 f(x)与 F(x)满足下列条件:xa 时,lim f(x)=0,limF(x)=0;在点 a 的某去心邻域内 f(x)与 F(x)都可导,且 F(x)的导数不等于 0;xa 时,lim(f(x)/F(x)存在或为无穷大 则 x a 时,lim(f(x)/F(x)=lim(f(x)/F(x)(2)等价无穷小 一般要将变量的取值变为趋向于 0 的代数式,如 x,令 t=1/x 无穷小的概念:高阶无穷小:当Alim=0 时,如果lim(B/A)=0,就说 B就是比 A高阶的无穷小 低阶无穷小:当Alim=0 时,如果lim(B/A)=,就说 B就是比 A低阶的无穷小 如

15、果lim(B/A)=K(K0,1),就说 B就是 A的同阶非等价无穷小 等价无穷小:lim(B/A)=1,就说 B为 A的等价无穷小 大学微积分 l 知识点总结(3)斯托尔茨定理 设数列ny单调增加到无穷大,则 11limlimnnnnnnnnyyxxyx axgfxgfxfxxxx00limlim)().4(是连续函数：（5）求两个数列之商的极限,在两数列都具有高次项的情况下,可以直接比较最高次项而忽略较低次项,该原理仅仅限于无穷数列,对于有穷数列不能直取。（6）分母趋近于 0,而分子不为 0,其极限不存在或无穷 2c411limlim,lim(limlim,2411lim,.7111AAC

16、AxcxAxxxxcxcxcccxnnnnnnnnnnnnnnn，所以，知对（）两侧求极限可设）所以证明：）（8）在计算极限题目中,若题目中同时出现xsin、xarcsin、或者xcos、arcsosx时,令 t=xsin或xcos（9）在求极限的过程中如果遇到n 次项等高次项而无法解题时,一般可以通过借助xe进行消去高次项的运算,有的也可以使用泰勒公式。（10）计算极限时出现出现)tan(tan x或者)sin(sin x的形式,应用泰勒公式计算。（11）三个重要的结果 aaaaanaaaaaaaaanaaaaannnnnnnnnnnnnnnnnlim,lim,.,3,2,10.lim),0

17、(lim.lim,lim12121则，若则若则若(12)有的题目涉及递推公式、数列问题 大学微积分 l 知识点总结 如:nnnSSnS2232.252321132n解题思路：函数的连续性与间断点问题(1)如何讨论并确定函数的连续性？若该函数就是初等函数,则该函数在其定义域区间均连续 若就是一元函数,则可对其求导,其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续(可导必连续)求助极限,函数在该点极限等于函数在该点函数值,计算时注意左右极限(2)间断点问题 间断点的分类:段连续上按在区间断点，则函数上仅有有限个第一类间在区间如果函数断点的第二类间称为函数不存在时，的左右极限至少有一个在若存在左右极限均第一

18、类间断点的特点是点统称第一类间断点。可去间断点和跳跃间断称为跳跃度的跳跃间断点，为函数则称。但若已经不是原函数。处连续，此时在的函数值，使在充定义或改变的可去间断点，只需补为函数可去间断点。若的，则称为但处没有定义或者有定义在而若baxfbaxfxfxxxxxfxfxfxfxxxfxfxfxfxfxfxfxxxfxxxfxfxxxfAxfxxxfAxfxxxxxx,)(,)()()()()()(),()()()(lim),()(lim)()()()()()()(,)(lim0000000000000000(3)一致连续与不一致连续 00)()(00 x)(xx)()()(0.0 x)(xfxf

19、xxxxxfxxxfxfxfxxxxxxf，但是，尽管、存在，总，无论对多么小的上，存在定义在集合不一致连续：设函数小。的绝对值就可以任意地分靠近，相应函数值差位置怎样，只要二者充和中的两点定义表明，无论上一致连续。在，则称时，就有且满足、当）（上，若定义在集合：设函数一致连续（均匀连续）大学微积分 l 知识点总结 AxfAxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000充要条件【第三部分】导数与微分 法线斜率与切线斜率相乘等于-1(切线与法线垂直)u.uuu.uun21n21 u.uu.u.uuu.u uu.uun21n21n21n21 反函数求导:反函数导数原函数导数=1 或写成

20、:00yyxxdydx1dxdy 常见的函数的导数(基础函数求导):为常数c0c 1-xx lnaaaxx xxee lnax1logxa x1lnx x1lnx cosxsinx -sinxcosx xsecxtan1tan22x x-csccotx2 tanxsecxsecx cotx-cscxcscx 2x-11arcsinex 2x-11-arccosx 2x11arctanx 2x11-arccotx 的求导方法特殊复合函数：）（xvxuy:大学微积分 l 知识点总结 uvulnvu yeyuvlnvxux转化 y=f(x)亦称为“零阶导数”(函数的零阶导数就就是其本身)隐函数:F(

21、x,y)=0,y=f(x)带入即可得到 F【x,f(x)】=0,满足该恒等式即为隐函数 国际数学通用标记:内二次可导、在、的区间上连续、的二阶导数在、上可导、在、上的连续函数、是、baxfxfbabaxfxfbabaxfxfbabaxfxfba22DCDC 易错点:求导时,不能将 y 与 f(x)等同。二者导数未必一致【带有绝对值的函数该如何求导？】带有绝对值的函数脱掉绝对值符号后就是一个分段函数,应当分段求导。特别应注意的就是,分段点的导数严格来讲,应当按定义来求。【经典题型总结】（1）设函数 f(x)在 x0 时可导,且对任何非零数 x,y 均有 f(xy)=f(x)+f(y),又 f(1

22、)存在。证明当 x0 时,f(x)可导。证:令 x=1,由 f(xy)=f(x)+f(y)得:f(y)=f(1)+f(y),所以:f(1)=0 对任何 x0,由题设及导数定义知,x)(-)1()(limx)(1limx)()(lim0 x0 x0 xxfxxfxfxfxxfxfxxf 的时候处处可导不等于所以函数在）0)()1(1xx)1(-x1(x1lim0 xxffxff 大学微积分 l 知识点总结 0)1(,(022122121211222yadtdyadtydexaayadxdyxadxdyxadxydxt方程化成如下的形式：证明可将为常数）中令）在方程（ttteedtdydtdxdt

23、dydxdtdtdydxydedtdydxdtdtdydxdy1;22证：tttttedtdyedtydeedtdyedtyd222222)(0)1(0)(21222122222yadtdyadtydyaedxdyeaedxdyedxydettttt所以：原式 13dydxdxd）化简：（dxdydydxdyddydxdxd11解：原式 2231222dyxddydxdydxdyxddydx 高阶导数:(1)高阶导数的运算法则 kk-nn0kknn0nn11-n1n0n0nnnnnnnvuvu.vuvuuvcucucvuvuCCCC为常数其中（2）【浅谈高阶导数的求法】高阶导数求法一般包括 6

24、 种方法,即根据高阶导数定义求之;利用高阶导数公式求之;利用莱布尼茨公式求之;用复合函数的求导法则求之;用泰勒公式大学微积分 l 知识点总结 求之;交叉法,等等。定义法:运用求导公式,求导法则求导,n 阶导数一般比较其规律性 高阶求导公式:把高阶求导公式化为代函数之与,分别求之 莱布尼茨公式求导:当所求导数的函数就是两个函数的乘积时,宜用莱布尼茨公式求之。特别地,当其中一个函数的高阶导数为 0,可以用此公式求之;两个因子中,其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时,可以用此公式。复合函数求导法:复合函数求导法则还可以推广到多次复合的情形。在求导时,能从外层向内层逐层求导,一直求到对自变量求导数

25、为止。若存在单值反函数,常用复合函数求导法则,求其反函数的高阶导数。【名词释义】单值反函数:若对定义域每一个自变量 x,其对应的函数值 f(x)就是唯一的,则称 f(x)就是单值函数。反过来,对于任何一个函数值 y,都有唯一的一个自变量 x 与之相对应,则此时称 y=f(x)为单值反函数。泰勒公式求导法 120-0f31-60f.7x-5x3x-xxf0fsinxxxf661086463，！解：，利用泰勒公式求 证明题:证明一函数(隐函数)处处可导:则应先根据题意找出几个关键的点,然后根据导数的基本公式:xxf-xxflim0 x）（）（进行判定 证明 f(x)=a,即证 F(x)=f(x)-

26、a=0 (3)部分初等函数的高阶导数 大学微积分 l 知识点总结 2nxcoscosx2nxsinsinxx1-n1-lnxx11-n1-lneelnaaa1-n-.1-xxnnn-1-nnn-1-nnx1xnxnxnxn-n！baxfabaxfnnn线性复合公式：一阶导数:切线斜率 二阶导数:曲线曲率 关于曲线凹凸性的两个定理及应用 )()()()(,)()2()()()()(,)(1bxa21212121212121xfxxxfxfxfbaxfxfxxxfxfxfbaxfx上是凹的，则的图形在若上是凸的，则的图形在）若（设【经典题型总结】(1)设 f(t)存在且 f(t)0,求33dxyd

27、 322332222t ft t ft f1dtdxdxyddtddxydt f1t ftdtdxdxyddtddxydtt ft ftt ft f-t ftt fdxdyf解答：X=f(t)Y=tf(t)-f(t)大学微积分 l 知识点总结(2)函数的二阶导数等于原函数,求该函数表达式 x-xx-xx-xx-xx-xx-x21x-2x121xx-x-2x-xx2x22222222e-eeecthxeee-ethx2eechx2e-eshxchxcshxcyececy,b2a-c2bcb2ea-2ebyebayyb2ea-2ebyebayyebayyblnbtxayylndxtaydydxay

28、dyaydxdyaypa2ay21p21dyydppy ydydpp,dydppdxdydydpdxdpyyyp y双曲余切，双曲正切双曲余弦，双曲正弦其中，亦可写为：得通解：，令，可得，可得通解为：是任意常数）（其中，即，即则是任意常数展开：，解：设 （3）f(x)、g(x)都可导,且满足:f(x)=g(x)、f(x)=g(x)f(0)=0;g(0)=1。证明:g2(x)-f2(x)=1 证:由上可知,f(x)=f(x)1xf-xge21e21xge21-e21xf10 fec-ecxf0cc00fccececxf22x-xx-xx-1x12121-x2x1同理，又，为任意常数）、（其中）（

29、设【微分:】自变量的改变量等于自变量的微分 大学微积分 l 知识点总结 导数又称“微商”。dxxfdydxx fdxxdyxdxAA 微分四则运算:设 u=u(x)、v=v(x)在点 x 处均可微,则 uv、uv、u/v(v 0)在 x 处都可微,且:0vvdv-v1d0vvdvu-duvud3cducucddvuduvduv2dvduvud122特别地，是常数特别地，）（）（v 截距的性质:截距不就是距离,所以截距就是有正负的 x fdxyddxdydxddxdy y yxfy22：证明 拐点:在数学上,拐点就是指改变曲线向上或者向下方向的点。直观地说,拐点就是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹

30、凸分界点)。若该曲线的图形函数在拐点有二阶导数,则二阶导数必为零或者不存在 驻点:函数的导数为 0 的点称为函数的驻点 可导、可微、连续、极限之间的关系？可导 可微 可导(可微)=连续=极限存在 左极限、右极限都存在且相等(箭头反方向的话不一定成立)可导=左导数、右导数都存在且相等 连续=左连续且右连续+极限值等于函数值 连续 极限存在且等于函数值 极限存在 左极限、右极限都存在且相等 在某点处(左、右)极限就是否存在与该点处函数就是否有定义无关【第四部分】微分中值定理及导数的应用 大学微积分 l 知识点总结(1)费马定理 设 f(x)在点 x0处取到极值,且 f(x0)存在,则 f(x0)=

31、0。(2)罗尔定理 如果函数 f(x)满足:在闭区间a,b 上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等,即 f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点(a b),使得 f()=0、(3)拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)满足:(1)闭区间a,b 上连续(2)开区间(a,b)内可导。那么:在(a,b)内至少有一点(a b),使等式 f(b)-f(a)=f()(b-a)成立。(4)柯西中值定理 如果函数 f(x)及 F(x)满足:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)对任一 x(a,b),F(x)0。那么在(a,b)内至少有一点,使等式f(b)-

32、f(a)/F(b)-F(a)=f()/F()成立。(5)泰勒公式与麦克劳林公式 泰勒公式:若函数 f(x)在开区间(a,b)有直到 n+1 阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x、)多项式与一个余项的与:f(x)=f(x、)+f(x、)(x-x、)+f(x、)/2!(x-x、)2,+f(x、)/3!(x-x、)3+f(n)(x、)/n!(x-x、)n+Rn 其中 Rn=f(n+1)()/(n+1)!(x-x、)(n+1),这里在 x 与 x、之间,该余项称为拉格朗日型的余项。麦克劳林公式:若函数 f(x)在开区间(a,b)有直到 n+1 阶的导数,则当函数在此区间内时,可以

33、展开为一个关于 x 多项式与一个余项的与:f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!x2,+f(0)/3!x3+f(n)(0)/n!xn+Rn 其中 Rn=f(n+1)(x)/(n+1)!x(n+1),这里 01、两个重要且特殊的麦克劳林公式:nx.xx1x-1x-11nx1-.x-xx-1x1x11n21-nn321-RR 大学微积分 l 知识点总结(6)函数的单调区间与极值 单调区间:设 f(x)在区间 I(I可以就是开区间,可以就是闭区间,也可以就是半开半闭区间)上连续,在区间 I内部可导 若 xI内部,f(x)0,则 f(x)在区间 I上递增 若 xI内部,f(x)0,则 f(x)

34、在区间 I上递减 若 xI内部,f(x)0,则 f(x)在区间 I上就是一个常值函数 极限与极值:判定极限的方法:f(x)=0,f(x)0,则 f(x)一定就是极限 f(x)=0,f(x)0,则 f(x)取极大值 f(x)=0,f(x)0,则 f(x)取极小值【误点解析】:使用洛必达法则之后极限不存在,不能直接说原极限不存在 双阶乘:相隔的两个数相乘:如 5！=531 不动点:g(t)=t 的点叫做不动点 f(x)g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x)、f(n)(x)=g(n)(x)曲率:232 y1 yk1）曲率公式为：（满足此条件,即可证明 f(x)、g(x)在 x

35、0处 n 阶相切 大学微积分 l 知识点总结 y y1y y y1 y-x222）曲率的中心坐标为：（1k1)3(232yyR曲率半径(4)圆的各个位置的曲率就是相同的,都就是半径的倒数 反函数:如果函数的导数不为 0,那么该函数在定义域区间上有反函数 【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法一】辅助函数就是解决许多数学问题的有效工具,中值定理及推导过程中用到了演绎、分析分类等数理逻辑方法与一些具体的方法。如构造辅助函数等等,下面就介绍几种重要的构造辅助函数的方法。(1)凑导数法 例如:设函数 f(x)在【a、b】上连续,在(a、b)内可导,证明:存在(a、b),使得 2【f(b)-f(a)

36、】=(b2-a2)f()证明:令 F(x)=x2【f(b)-f(a)】-(b2-a2)f(x)即可(2)几何直观法 例如:如果 f(x)在【0、1】上可导,且 0f(x)1,对于任何 x(0,1)都有 f(x)1,试证在(0,1)有且仅有一点,使得 f()=证:令 g(x)=f(x)-x 再用反证法证明其唯一性(3)常数值法(K)在构造函数时,若表达式关于端点处的函数值具有对称性,通常用常数 K值法来构造辅助函数。这种方法一般选取所政等式中含的部分作为 K,即将常数部分分离出来令其得 K,恒等式变形,令一端为 a 与 f(a)的代数式,另一端为 b 与 f(b)的代数式,将所证等式中的端点值(

37、a 或 b)改为变量 x,移项即为辅助函数 F(x)。再用中值定理,待定系数法等方法确定 K。一般来说,当问题涉及到高阶导数时,往往考虑多次运用中值定理,更多时要考虑运用泰勒公式。大学微积分 l 知识点总结 例如:设 f(x)在【a、b】上连续,在(a、b)上可导。0ab。试证明）（）（）（），使等式、（存在一点 flnaf-bfbaab 证:）。故得证（，所以）（，）（）（）（，得辅助函数：令）（）（）（令 f f0lnx-xfxxblna-aln)(,lnlnaf-bfKKFKFKfbKbfabK(4)倒推法 这种证明方法从要证的结论出发,借助与逻辑关系导出已知的条件与结论。例如:设 f(

38、x)在【a、b】(0 ab)上连续,在(a,b)内可导,且）（）（，使）内至少存在一点，。证明：在（）（，）（f-fbaabfbaf 证:构造函数:f()+f()=0 即可(5)乘积因子法 对于某些要证明的结论,往往出现函数的导数与函数之间关系的证明。直接构造函数往往比较困难,将所证的结论两端同时乘以或除以一个恒为正或负的函数,证明的结论往往不受影响。因子是常数）是一个很好的（xe 例如:若 f(x)在【a、b】上连续,在(a、b)内可导,且 f(a)=f(b)）（）（），使，（证明：f fba.0 ）（）（）（，然后令证：结论两侧同时乘以xfe-x fexex-x-x-F(6)介值法 证明中

39、,引入辅助函数 g(x)=f(x)-x。将原问题转化为【a、b】内可导函数 g(x)的最大值或最小值至少有 1 个必在内点达到,从而可通过 g(x)在【a,b】上的可导条件,直接运用费马定理完成证明。例如:证明若 f(x)在【a,b】上可导,则 f(x)可取到 f(a)与 f(b)之间的一切大学微积分 l 知识点总结 值 。得证）（）（，使得所以一定存在一点）也不是（）的最大值。同理，（）（）不是（即）（）（）时，（使得当由极限性质知，）（）（，即）（不妨设）（）（的性质，有由）（）（上可导，且、）在（）的性质，（由）（）（，令）（），（证明：000saxx f.0 x fxbgbaxxgag

40、agxgax.00a-xag-xglim0a g.0b穏a g-x fx gbaxgxfx-xfxgb fa f1US(7)分离变量法 拉格朗日与柯西中值定理常用来解决多个中值的问题。以两个中值的情况为例说明如下:若要证明存在、(a,b),使得 f(a,b,)=0、则通常应将函数 f(a,b,)=0 改写成“变量分离”的形式,即 h(a,b)=()()或者 h(a,b)=()+()的形式,然后观察()、()就是否分别拉格朗日公式的右侧。故得证又即使应用拉格朗日定理得：和对令）（变为：证明：将待证明结论转使得：），（），则存在。（，）（例如：设)()()(lnln)()()()(1lnln),(

41、)()(),()()(),()(1)(ln)(,)()()()()()(-bfln)()()()(gbabxa0)(g0 xg)()()()()()()(ggfababafbfggabfabafbfbaxgxfxgxgxGxgggfagbgmafgafbfxagbgagbgxgagbg 【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法二】(1)使用罗尔定理时用“积分法”或“解微分方程法”构造辅助函数。使用大学微积分 l 知识点总结“积分法”构造辅助函数的基本步骤:将结论等式中的换成 x;对第一步的结果进行变形,使两边求积分;两边求不定积分;把第三步的结果化成 C=F(x)的形式,其中C为任意常数,且

42、f(x)中不含有C;最后的 F(x)就就是所要构造的辅助函数。)()(0)()()()()(0)(),(),(0)(),(,x),()()()()()(),()()(lnln)ln(a-,)()(a)()(x)()()()(),(0)(1a,xf1fabffbfbaFFbabFaFbabaFxfxbxFxfxbxFxfxbcxfcxbxfxfxbxfaxbxffabffabfbaafbabaaaaaa所以：所以：，使得在所以由罗尔定理知，存且内可导，上连续，在）在（因为证：设求得辅助函数为：两边积分得：再变形为，得到都换成的分析：将结论等式中，使内至少存在一点证明在，且内可导，其中上连续，在）

43、在（例如：设（2）使用拉格朗日定理用“单边积分法”构造辅助函数。所谓的单边积分法就就是:若所要证明的等式中只含有,就就是把有的函数式与常数项分离到两边,将换成 x 后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数。若所要证明的等式中含有与,就把含有的函数式与含有的函数式分离到等式两边,将换成 x 后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数;将换成 x 后进行单侧积分求出原函数即为另一辅助函数。2222)()()()()(,)()()()()()()(),)()(,)()()()(,)()()(x)()()()()(ba),(,)(0ffabababfbafffaafbbfabFaFbFbabaxxfxFxxfx

44、FxxfxFcxxfdxxxfxxfffabababfbafbabaxfab即：使（存在中值定理的条件，所以上满足拉格朗日在则证明：设所求辅助函数为：，进行单侧积分，得，将右端换成分析：等式左端为常数），使，（存在内可导，试证明上连续，在在，且已知例如：设 大学微积分 l 知识点总结 (3)使用柯西中值定理时用“上下积分法”构造辅助函数 有些问题把结论等式中的换成 x 后移到等式一边,若就是分式且不能进行单边积分求原函数,可以考虑对分式的分子与分母分别进行积分,求各自的原函数,称为“上下积分法”。例如:设 f(x)在【a,b】上连续,在(a,b)内可导。且 a0、存在、(a,b),使 f()=

45、)(2)(fbaf 分析:所给要证等式含有与的等式已经在等号两边。将换成 x 后进行单侧积分求出原函数f(x),即为一辅助函数;另将换成 x 后得到xxf2)(ba）（,分别对分子分母进行积分求出原函数(a+b)f(x)与 x2,作为可使用柯西定理的两个辅助函数。证明:因为 f(x)在 ba,上连续,在(a,b)内可导,且 a0,所以 f(x)在 ba,上满足拉格朗日定理的条件,存在与(a,b)使abafbff)()()(又对 f(x)与 x2使用柯西定理有:存在(a,b),使2)()()(22fabafbf 即:)(2)()(fbaabafbf 所以:)(2)(fbaf 【微分中值定理在不等

46、式证明中的运用】(1)拉格朗日中值定理 要证明的命题如果就是区间内至少有一点大于(小于)0,可以尝试使用拉格朗日中值定理。在应用时,可以先构造辅助函数 f(x),并确定使用拉格朗日中值定理的区间 ba,对 f(x)在 ba,区间上使用拉格朗日定理,再根据与 a、b 之间的关系加强大学微积分 l 知识点总结 不等式。(2)柯西中值定理 在研究两个函数的变量关系时,我们会想到柯西中值定理。在用柯西中值定理证明不等式命题时,关键就是要在对结果进行整理、变形的基础上,找出满足柯西中值定理的那两个函数。在应用柯西中值定理时,可以先构建两个辅助函数。能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定可以用柯西中值定理证明。(3)泰勒定理及其应用 如果想证明不等式中或者题设中含有一阶以上的导数时,一般利用泰勒定理比较方便。泰勒中值定理就是拉格朗日中值定理的推广,随着研究导数的深入,高阶导数也经常出现,然而也正就是泰勒定理体现的价值之处,去分析高阶导数的有关问题时,泰勒中值定理的应用非常广泛,它除了在高阶导数一些简单的应用以外,在证明不等式时应用也很方便。特别在已知某点的函数或高阶导数的符号时,用泰勒公式证明某些不等式较为方便。