2023年北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 B A O D C E 图 8 七年级下三角形综合题归类 一、双等边三角形模型 1.（1）如图 7，点 O 是线段 AD的中点，分别以 AO和 DO为边在线段 AD的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB的大小；（2）如图 8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点 O 旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.2.已知:点 C为线段 AB上一点，ACM,CBN 都是等边三角形，且 AN、BM 相交于 O.求证：AN=BM 求 AOB 的度数。若 AN、MC 相交于点 P，BM、NC交于点

2、 Q，求证：PQAB。（湘潭 中考题）同类变式：如图 a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF和 BE.(1)线段 AF和 BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图 a 中的CEF绕点 C旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图 a 中的ABC绕点 C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图 c 3.如图 9，若ABC和ADE为等边三角形，,M N分别为,EB CD的中点，易证：CDBE，AMN是等边三角形 C B O D 图 7 A E

3、A B C M N O P Q 学习必备 欢迎下载 （1）当把ADE绕A点旋转到图 10 的位置时，CDBE是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由 同类变式：已知，如图所示，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点BAD，在一条直线上，连接BECDMN，分别为BECD，的中点（1）求证：BECD；ANAM；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4.如图，四边形ABC

4、D和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H（1）证明：ABG ADE；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；图 9 图 10 图 11 C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 能重叠求的大小图图已知点为线段上一点都是等边三角形且相交于求证图中的绕点旋转一定的角度得到图中的结论还成立吗作出判断并说明理边三角形学习必备欢迎下载当把绕点旋转到图的位置时是否仍然成立若学习必备 欢迎下载（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0BAE 180），设ABE的面积 为1S，ADG的面积为2S，判断1S与2S的大小关系，并给予证明 5.已知：如图，ABC是等边三角形，过

5、AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD，（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论 C G A E D B F 二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等 1.如图，ABC 中，ACB90，ACBC，AE是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D 求证：（1）AECD；（2）若 AC12 cm，求 BD 的长 C F G E D B A H 能重叠求的大小图图已知点为

6、线段上一点都是等边三角形且相交于求证图中的绕点旋转一定的角度得到图中的结论还成立吗作出判断并说明理边三角形学习必备欢迎下载当把绕点旋转到图的位置时是否仍然成立若学习必备 欢迎下载 2.（西安中考）如图(1),已知ABC中,BAC=900,AB=AC,AE是过 A的一条直线,且 B、C在 A、E的异侧,BD AE于 D,CEAE于 E。图(1)图(2)图(3)(1)试说明:BD=DE+CE.(2)若直线 AE绕 A点旋转到图(2)位置时(BDCE),其余条件不变,问 BD与 DE、CE的关系如何?写出结论,可不说明理由。3.直 线 CD 经 过BCA的顶点 C，CA=CB E、F 分 别是 直线

7、 CD 上 两点，且BECCFA （1）若直线 CD经过BCA的内部，且 E、F在射线 CD上，请解决下面两个问题：如图 1，若90,90BCA，则EF BEAF（填“”，“”或“”号）；如图 2，若0180BCA，若使中的结论仍然成立，则 与BCA 应满足的关系是 ；（2）如图 3，若直线 CD经过BCA的外部，BCA ，请探究 EF、与 BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明 A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 能重叠求的大小图图已知点为线段上一点都是等边三角形且相交于求证图中的绕点旋转一定的角度得到图中的结论还成立吗作出判断并

8、说明理边三角形学习必备欢迎下载当把绕点旋转到图的位置时是否仍然成立若学习必备 欢迎下载 考点 2：利用角相等证明垂直 1.已知 BE，CF是ABC的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP与 AQ的数量关系和位置关系 2.如图，在等腰 RtABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD CF；(3)连接AF，试判断ACF的形状.拓展巩固：如图 9 所示，ABC是等腰直角三角形，ACB 90，AD是 BC边上的中线，过 C作 AD的垂线，交 AB于点 E，交 AD于点 F，求证：ADC BDE

9、 （提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）BACEFQPDA B C D E F 图 9 能重叠求的大小图图已知点为线段上一点都是等边三角形且相交于求证图中的绕点旋转一定的角度得到图中的结论还成立吗作出判断并说明理边三角形学习必备欢迎下载当把绕点旋转到图的位置时是否仍然成立若学习必备 欢迎下载 3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成

10、立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图 1，ABC的边BC在直线l上，,ACBC且,ACBCEFP的边FP也 在直线l 上，边EF与边AC重合，且EFFP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的 数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图 2 的位置时，EP交AC于点Q,连接,AP BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图 3 的位置时，EP的延长线交AC的延长 线于点 Q,连结,AP BQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证

11、明；若不成立，请说明理由.l(1)A B(F)(E)C P A B E C F P Q(2)l A B E C F P l(3)Q 能重叠求的大小图图已知点为线段上一点都是等边三角形且相交于求证图中的绕点旋转一定的角度得到图中的结论还成立吗作出判断并说明理边三角形学习必备欢迎下载当把绕点旋转到图的位置时是否仍然成立若学习必备 欢迎下载 三、等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用 1.如图，ABC中，ABAC，90BAC，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与AC 交于F求证：BEAF，AECF ABCDEF 2.两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC

12、，如图所示放置，,E A C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结,ME MC试判断EMC的形状，并说明理由 MEDCBA 压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知RtABC中，ACBC，90C ，D为AB边的中点，90EDF，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F 当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图 1），易证12DEFCEFABCSSS 当E D F绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，DEFS，CEFS，ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 FEDCBA

13、图1AECFBD图2AECFBD图3 提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。能重叠求的大小图图已知点为线段上一点都是等边三角形且相交于求证图中的绕点旋转一定的角度得到图中的结论还成立吗作出判断并说明理边三角形学习必备欢迎下载当把绕点旋转到图的位置时是否仍然成立若学习必备 欢迎下载 3.已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于 D，BE平分ABC，且 BEAC于 E，与 CD相交于点 F，H是 BC边的中点，连结 DH与 BE相交于点 G。(1)BF=AC(2)CE=12BF(3)CE与 BC的大小关系如何。考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1.如图 1，四边形 ABC

14、D是正方形，M 是 AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点 D，且直角顶点 E在 AB边上滑动（点 E不与点 A，B 重合），另一条直角边与CBM 的平分线 BF相交于点 F.如图 141，当点 E在 AB边的中点位置时：通过测量 DE，EF的长度，猜想 DE 与 EF满足的数量关系是 ；连接点 E与 AD边的中点 N，猜想 NE与 BF满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想.如图 142，当点 E在 AB边上的任意位置时，请你在 AD边上找到一点 N,使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF有怎样的数量关系并证明 能重叠求的大小图图已知点为线段上一点都是等边三角形且相交于求

15、证图中的绕点旋转一定的角度得到图中的结论还成立吗作出判断并说明理边三角形学习必备欢迎下载当把绕点旋转到图的位置时是否仍然成立若学习必备 欢迎下载 2.在 Rt ABC中，ACBC，ACB 90，D是 AC的中点，DGAC交 AB于点 G.（1）如图 1，E为线段 DC上任意一点，点 F在线段 DG上，且 DE=DF，连结 EF与 CF，过点 F作 FH FC，交直线 AB于点 H 求证：DG=DC 判断 FH与 FC的数量关系并加以证明（2）若 E为线段 DC的延长线上任意一点，点 F在射线 DG上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1

16、)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）同类变式：（期末考试原题哦）已知：ABC为等边三角形，M 是 BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60 角的顶点 E在 BC上滑动，（点 E不与点 B、C重合），斜边与ACM的平分线 CF交于点 F（1）如图（1）当点 E在 BC边得中点位置时 1 猜想 AE与 EF满足的数量关系是 .2 连结点 E与边得中点，猜想和满足的数量关系是 .3 请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？ADBCGE图 2 GHFEDCBA图 1 图（1）NFMCBAE图（2）FMCBA

17、能重叠求的大小图图已知点为线段上一点都是等边三角形且相交于求证图中的绕点旋转一定的角度得到图中的结论还成立吗作出判断并说明理边三角形学习必备欢迎下载当把绕点旋转到图的位置时是否仍然成立若学习必备 欢迎下载 四、角平分线问题 1.如图：E在线段 CD上，EA、EB分别平分DAB和CBA,AEB=90,设 AD x,BC y，且,x y满足2268250 xyxy（1）求 AD和 BC的长；（2）你认为 AD和 BC还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出 AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.2.如图，OP是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全

18、等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点 F。请你判断并写出 FE与 FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且1()2AEABAD，则ABCADC 等于多少？EDCBA 4.如图，ABC中，AD平分BAC，DG BC且平分 BC，DE AB于 E，DF AC

19、于 F.（1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE的长.A C B D E EDGFCBA(第 23 题图)O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 能重叠求的大小图图已知点为线段上一点都是等边三角形且相交于求证图中的绕点旋转一定的角度得到图中的结论还成立吗作出判断并说明理边三角形学习必备欢迎下载当把绕点旋转到图的位置时是否仍然成立若学习必备 欢迎下载 五、中点问题 1.在ABC中,D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线 BG于点G。DEGF,并交AB于点E.连结EG.（1）求证:BGCF；（2）请猜想BE

20、CF与EF的大小关系,并加以证明 2.如右下图，在ABC中，若2BC ，ADBC，E为BC边的中点求证：2ABDE EDCBA 3.已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线求证2CDCE（提示：倍长中线试试）EDCBA 附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE，90BADCAE .连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系 如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ；线段AM与DE的数量关系是 ；将图 中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图 所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 图NMEDCBA 图NMEDCBA 能重叠求的大小图图已知点为线段上一点都是等边三角形且相交于求证图中的绕点旋转一定的角度得到图中的结论还成立吗作出判断并说明理边三角形学习必备欢迎下载当把绕点旋转到图的位置时是否仍然成立若