2023年复合函数单调性、奇偶性6.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 复合函数的定义域和解析式以及单调性和奇偶性 1、复合函数的定义 函数为由外函数()yf x和内函数()ug x复合而成的函数称为复合函数。说明：复合函数的定义域，就是复合函数()yf g x中x的取值范围。x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为()g x的值域。)(xgf与)(xfg表示不同的复合函数。已知)(xf的定义域为(a,b)，求)(xgf的定义域的方法：已知)(xf的定义域为)(ba，求)(xgf的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即)(bau，)()(baxg，。通过解不等式bxga)(求得x的范围，即为)(xgf的定义域。已知)(xgf的定

2、义域为(a,b)，求)(xf的定义域的方法：若已知)(xgf的定义域为)(ba，求)(xf的定义域。实际上是已知直接变量x的取值范围，即)(bax，。先利用bxa求得)(xg的范围，则)(xg的范围即是)(xf的定义域。2求有关复合函数的解析式 已知)(xf求复合函数)(xgf的解析式，直接把)(xf中的x换成)(xg即可。已知)(xgf求)(xf的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法：就是在)(xgf中把关于变量x的表达式先凑成)(xg整体的表达式，再直接把)(xg换成x而得)(xf。换元法：就是先设txg)(，从中解出x（即用t表示x），再把x（关于t的式子）直接代入)(xgf中消去x得到)

3、(tf，最后把)(tf中的t直接换成x即得)(xf。精品资料 欢迎下载 3.求复合函数的单调性 “同增异减”法则 4.复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇 5典型例题讲解 例 1设函数53)(,32)(xxgxxf，求)(),(xfgxgf 例 2若函数)(xf的定义域是0，1，求)21(xf的定义域；若)12(xf的定义域是-1，1，求函数)(xf的定义域；已知)3(xf定义域是5,4，求)32(xf定义域 例 3已知xxxf2)12(2，求)122(f 例 4已知,1)(2xxf求)1(xf；已知 1)1()1(2xxf，求)(xf 例 5已知xxxf1)1(，求)(xf；已知221)1(

4、xxxxf，求)1(xf 例 6已知)(xf是一次函数，满足172)1(2)1(3xxfxf，求)(xf；已知xxfxf4)1(2)(3，求)(xf 即为的值域与表示不同的复合函数已知的定义域为求的定义域的方法已取值范围即求的定义域实际上是已知直接变量先利用求得的范围则的范而得从中解出即用表示再把关于的式中消去得到中的直接换成即得配凑精品资料 欢迎下载 例 7、已知函数1()(1)1xxaf xaa,(1)判断函数的奇偶性；(2)证明()f x是R上的增函数。例 8、已知函数22513xxy ，求其单调区间及值域。例 9、已知 f(x)是定义在-1,1上的增函数，且 f(x-1)f(x2-1)

5、,求 x 的取值范围。212f x=x-a-1 x+5,12f 2例、如果二次函数在区间上是增函数，求的取值范围。+3f xR1f xy=f x+f yf=1.1)f 1;2)3f x+f 2-x 2,x 例、已知函数是定义在上的减函数，并且满足且求的值如果求 的取值范围。即为的值域与表示不同的复合函数已知的定义域为求的定义域的方法已取值范围即求的定义域实际上是已知直接变量先利用求得的范围则的范而得从中解出即用表示再把关于的式中消去得到中的直接换成即得配凑精品资料 欢迎下载 课后练习：已知20()2000 xxf xxx，则(4)_(3)_ff f，已知()f x与()g x分别由下表给出，那

6、 么(1)_ _ _(2)_ _ _,(fffggfgg，已知函数2()1f xx，求()(1)(1)f af af x，；若函数()1g xx，求()f g x（4）设函数53)(,32)(xxgxxf，求)(),(xfgxgf（5）已知xxxf2)12(2，求)122(f（6）已知221)1(xxxxf，求)1(xf（7）讨论函数y=loga(ax1)的单调性其中 a0，且 a1 解 由对数函数性质，知 ax10，即 ax1，于是，当 0a1时，函数的定义域为(，0)，当 a1 时，定义域为(0，)当0a1时，uax1在(，0)上是减函数，而y=logau也是减函数，y=loga(ax1)在(，0)上是增函数 当 a1 时，uax1 在(0，)上是增函数，而 y=logau也是增函数，yloga(ax1)在(0，)上是增函数 综上所述，函数 y=loga(ax1)在其定义域上是增函数 x 1 2 3 4 x 1 2 3 4()f x 2 3 4 1)(xg 2 1 4 3 即为的值域与表示不同的复合函数已知的定义域为求的定义域的方法已取值范围即求的定义域实际上是已知直接变量先利用求得的范围则的范而得从中解出即用表示再把关于的式中消去得到中的直接换成即得配凑