2023年北师大版九年级上《相似图形》精品讲义.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 第三章 相似图形 1成比例线段 一、目标导航 1了解两条线段的比的概念；1.如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB，CD 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比 AB:CD=m:n，或写成nmBA.2若线段dcba:，则线段dcba,叫做成比例线段(或比例线段)；3dcba与bcad 在指定条件下可以互相转化，即比例式与等积式可以互相转化 二、基础过关 1若 2x5y=0，则yx=_，xyx=_ 2如果53bba，那么ba=_ 3若a=2，b=3，c=33，则a、b、c的第四比例项d为_ 4若753zyx，则zyxzyx=_ 5在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是

2、 3 cm，而两地的实际距离为 1500 m，那么这张地图的比例尺为_ 三、能力提升 6若AEACADAB，且AB=12，AC=3，AD=5，则 AE=_ 7已知 O 点是正方形 ABCD 的两条对角线的交点，则 AOABAC=_ 8已知yx23，那么下列式子成立的是()A3x=2y Bxy=6 C32yx D32xy 9把ab=21cd写成比例式，不正确的写法是()Abdca2 Bbdca2 Cbdca2 Ddabc2 10已知线段x，y满足(x+y)(xy)=31，那么xy等于()学习好资料 欢迎下载 A31 B23 C21 D32 11已知直角三角形的两条直角边长的比为ab=12，其斜边

3、长为 45cm，那么这个三角形的面积是()cm2 A32 B16 C8 D4 12等腰梯形 ABCD 的周长是 104 cm，ADBC，且 ADABBC=235，则这个梯形的中位线的长是()cm A728 B51 C364 D28 13已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例?(1)a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm (2)a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm 四、聚沙成塔 在ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB=15 cm，AC=10 cm，且 BDDC=AB AC，BDDC=2 cm，求 BC 的长 41线段的比(2)一、目标

4、导航 1合比性质：如果dcba，那么ddcbba；2等比性质：如果nmdcba(0ndb)，那么bandbmca 二、基础过关 1若dcba=3(b+d0)，则dbca=_ 指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 2已知,32fedcba(b+f 0)，则fbea=_ 3已知342xyx，yx=三、能力提升 4已知dcba，则下列式子中正确的是()Aab=c2d 2 Bad=cb Cab=(a+c)(b+d)Dab=(ad)(b

5、d)5若ac=bd(0ac)，则下列各式一定成立的是()Adcba Bccbdda Ccdba22 Ddacdab 6已知0432cba，则cba 的值为()A54 B45 C2 D21 7若875cba，且 3a2b+c=3，则 2a+4b3c的值是()A14 B42 C7 D314 8 若572zyx，设 A=zyxy，B=yzx，C=xzyx，则 A，B，C 的大小顺序为()AABC BABC CCAB DACB 9若点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线段 AB 的延长线上，AB=10，32APAQBPBQ求线段 PQ 的长 10已知：3a=5b=7c求：bcba的值；cacba32的

6、值 指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 11已知：xyz=234求：yyx2；zyxx5323；zyxzyx2332 12若65432cba，且 2ab+3c=21试求abc 四、聚沙成塔 13已知实数a，b，c满足cbabacacb，求acb的值 指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中

7、是上一点学习好资料 欢迎下载 2平行线分线段成比例 (1)如图，任意画两条直线 l1、l2，再画三条与 l1、l2相交的平行线 l3、l4、l5，分别量度 l3、l4、l5在 l1上截得的两条线段 AB、BC 和在 l2上截得的两条线段DE、EF 的长度，ABBC 与 DEEF 相等吗?任意平移 l5，再量度 AB、BC、DE、EF 的长度，ABBC 与 DEEF 相等吗?(2)问题，ABAC=DE()，BCAC=()DF(3)归纳总结：平行线分线段成比例定理 三条_截两条直线，所得的_线段的比_。例 1 如图，若 AB=3cm，BC=5cm，EK=4cm，写出EKKF=_=_、ABAC_=_

8、。求 FK 的长?平行线分线段成比例定理推论 思考：1、如果把图中 l1、l2两条直线相交，交点 A 刚好落到 l3上，如图(1)，所得的对应线段的比会相等吗?2、如果把图中 l1、l2两条直线相交，交点 A 刚好落到 l4上，如图(2)，所得的对应线段的比会相等吗?3、归纳总结：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的_线段的比_。3相似多边形 图形的相似 例 1 如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是()指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比

9、例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 例 2 一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少?(1)如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少?(2)如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少?小结：上面分别采用 m、cm、mm 三种不同的长度单位，求得的ab的值是_的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位_，但求比时两条线段的长度单位必须_ 例 3 已知：一张地图的比例尺是 1：32000000，量得北京到上海的图上距离大约为 3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少 km?分析：根据比例尺=图上距离实际距离，可求出北京到上海的实

10、际距离【巩固练习】1、如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?2如图，图形af 中，哪些是与图形(1)或(2)相似的?3、下列说法正确的是()A小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B商店新买来的一副三角板是相似的.C所有的课本都是相似的.D国旗的五角星都是相似的.【能力提升】1、如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载(1)(小)长是_cm，宽是_cm；(大)长是_c

11、m，宽是_cm；(2)(小)长宽 ；(大)长宽 (3)你由上述的计算，能得到什么结论吗?2、在比例尺是 1：8000000 的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离是 7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少?3、AB 两地的实际距离为 2500m，在一张平面图上的距离是 5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少?相似多边形 如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等【结论】：(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角_，对应边的比_ 反之，如果两个多边形的对应角_，对应边的比_，那

12、么这两个多边形_ 几何语言：在ABC 和A1B1C1中 若111;CCBBAA 111111CAACCBBCBAAB 则ABC 和A1B1C1相似(2)相似比：相似多边形_的比称为相似比 问题：相似比为 1 时，相似的两个图形有什么关系?结论：相似比为 1 时，相似的两个图形_ 指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 例 1 下列说法正确的是()A所有的平行四边形都相似 B所有的矩形都相似 C所有的菱形都相似 D所有的正方形都相

13、似 例 2、如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角和的大小和 EH 的长度x 【巩固练习】1在比例尺为 110 000 000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 30 cm，求两地的实际距离 2如图所示的两个直角三角形相似吗?为什么?3如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度 【能力提升】1 ABC 与DEF 相似，且相似比是32，则DEF 与ABC 与的相似比是()A32 B23 C52 D94 2 下列所给的条件中，能确定相似的有()(1)两个半径不相等的圆；(2)所有的正方形；(3)所有的等腰三角形；(4)所有的等边三角形；(5)所有的等腰梯形；(6)所有的正六边

14、形 A3个 B4个 C5个 D6个 3已知四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1相似，四边形 ABCD 的最长边和最短边的长分别是 10cm和 4cm，如果四边形 A1B1C1D1的最短边的长是 6cm，那么四边形 A1B1C1D1中最长的边长是多少?指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 4如图，ABEFCD，CD=4，AB=9，若梯形 CDEF 与梯形 EFAB 相似，求 EF 的长 4探索三角形相似的条件 四.相似三

15、角形 1.在相似多边形中，最为简简单的就是相似三角形.2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.3.全等三角形是相似三角的特例，这时相似比等于 1.注意:证两个相似三角形，与证两个全等三角形一样，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.5.相似三角形周长的比等于相似比.6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.五.探索三角形相似的条件 1.相似三角形的判定方法:一般三角形 直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形与原三角形相似.两

16、角对应相等；两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例.一个锐角对应相等；两条边对应成比例:a.两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 相似三角形 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形 在ABC 与ABC中，如果A=A，B=B，C=C，且ABBCCAkABB CC A 我们就说ABC 与ABC相似，记作ABCABC，k就是它们的相似比 反之如果ABCABC，则有A=_，B=_，

17、C=_，且ACCACBBCBAAB 问题：如果 k=1，这两个三角形有怎样的关系?【巩固练习】如图，在ABC 中，DEBC，AC=4，AB=3，EC=1.求 AD 和 BD.【能力提升】1如图，ABCAED，其中 DEBC，找出对应角并写出对应边的比例式 2如图，ABCAED，其中ADE=B，找出对应角并写出对应边的比例式 【反思归纳】“三角形相似的预备定理”这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似 相似比是带有顺序性和对应性的：如ABCABC的相似比kACCACBBCBAAB，那么ABCABC 的相似比就是kCAAC

18、BCCBABBA1，它们的关系是互为倒数 思考：如图，在ABC 中，DEBC，DE 分别交 AB，AC 于点 D，E。指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 问题：(1)由“DE BC”的条件可得到哪些线段的比相等?(2)根据以前学习的知识如何把 DE 移到 BC 上去?(作辅助线 EFAB)你能证明 AE：AC=DE：BC 吗?(3)写出ABCADE 的证明过程。归纳总结：判定三角形相似的(预备)定理：平行于三角形一边的直线和

19、其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。例 1 如图，在ABC 中，DEBC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求 DE 的长 分析：由 DEBC，可得ADEABC，再由相似三角形的性质，有ACAEABAD，又由 AD=EC 可求出 AD的长，再根据ABADBCDE求出 DE 的长【巩固练习】1下列各组三角形一定相似的是()A两个直角三角形 B两个钝角三角形 C两个等腰三角形 D两个等边三角形 2如图，DEBC，EFAB，则图中相似三角形一共有()A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 3、如图，ABEFCD，图中共有 对相似三角形，写出来并说明理由。指定条件下可以互相

20、转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 4如图，在 ABCD 中，EFAB，DE：EA=2：3，EF=4，求 CD 的长 【能力提升】1如图，DEBC，(1)如果 AD=2，DB=3，求 DE：BC 的值；(2)如果 AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求 AE 和 BC 的长 2、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 5 米的位置上，求球拍击球的高度 h(设网球是直线运动)相似三角形 一、选择题 1如图所示，在ABC 中

21、，DEBC，若 AD1，DB2，则BCDE的值为()指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 A32 B41 C31 D21 2如图所示，ABC 中 DEBC，若 ADDB12，则下列结论中正确的是()A21BCDE B21的周长的周长ABCADE C的面积的面积ABCADE31 D的周长的周长ABCADE31 3如图所示，在ABC 中BAC90，D 是 BC 中点，AEAD 交 CB 延长线于 E 点，则下列结论正确的是()AA

22、EDACB BAEBACD CBAEACE DAECDAC 4如图所示，在ABC 中 D 为 AC 边上一点，若DBCA，6BC，AC3，则 CD 长为()A1 B23 C2 D25 5 若 P 是 RtABC 的斜边 BC 上异于 B，C 的一点，过点 P 作直线截ABC，截得的三角形与原ABC相似，满足这样条件的直线共有()A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 6如图所示，ABC 中若 DEBC，EFAB，则下列比例式正确的是()ABCDEDBAD BADEFBCBF CFCBFECAE DBCDEABEF 8如图所示，ABC 中，ADBC 于 D，对于下列中的每一个条件：BDAC90；

23、BDAC；CD：ADAC：AB；AB2BD BC 其中一定能判定ABC 是直角三角形的共有()A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 二、填空题 9如图 9 所示，身高 1.6m 的小华站在距路灯杆 5m 的 C 点处，测得她在灯 光下的影长 CD 为 2.5m，则路灯的高度 AB为_ 指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 10如图所示，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上一点，且61EBAE，射线CF

24、交 AB于 E 点，则FDAF等于_ 11如图所示，ABC 中，DEBC，AEEB23，若AED 的面积是 4m2，则四边形 DEBC 的面积为_ 12若两个相似多边形的对应边的比是 54，则这两个多边形的周长比是_ 三、解答题 13已知，如图，ABC 中，AB2，BC4，D 为 BC 边上一点，BD1 (1)求证：ABDCBA；(2)作 DEAB 交 AC 于点 E，请再写出另一个与ABD 相似的三角形，并直接写出 DE 的长 15如图所示，在由边长为 1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个ABC，试在这个网格上画一个与ABC 相似，且面积最大的A1B1C1(A1，B1，C1三点都

25、在格点上)，并求出这个三角形的面积 18已知：如图，ABC 中，BAC90，ABAC1，点 D 是 BC 边上的一个动点(不与 B，C 点重合)，ADE45 (1)求证：ABDDCE；(2)设 BDx，AEy，求 y 关于 x 的函数关系式；指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载(3)当ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长 19已知：如图，ABC 中，AB4，D 是 AB边上的一个动点，DEBC，连结 DC，设ABC 的面积为

26、 S，DCE 的面积为 S (1)当 D 为 AB边的中点时，求 S S 的值；(2)若设,ySSxAD试求 y 与 x 之间的函数关系式及 x 的取值范围 5相似三角形判定定理的证明 6黄金分割 42黄金分割 一、目标导航 1黄金分割定义:点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 AC:AB=BC:AC，那么称线段指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 AB 被点 C 黄金分割点 C 叫做线段 AB 的黄金分割

27、点，AC 与 AB 的比叫做黄金比 2618.0215ABAC 二、基础过关 1若点 P 是 AB 的黄金分割点，则线段 AP、PB、AB 满足关系式 2黄金矩形的宽与长的比大约为_(精确到 0001)3电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然 得体，若舞台 AB 长为 20m，试计算主持人应走到离 A 点至少 m处?如果他向 B 点再走 m，也处在比较得体的位置(结果精确到 01m)三、能力提升 4有以下命题：如果线段 d 是线段 a，b，c 的第四比例项，则有dcba；如果点 C 是线段AB 的中点，那么 AC 是 AB、BC 的比例中项；如果点 C 是线段 AB 的黄金分

28、割点，且ACBC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项；如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，ACBC，且 AB=2，则 AC=51其中正确的判断有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM BM)，则下列各式中不正确的是()AAMBM=AB AM BAM=215 AB CBM=215 AB DAM0 618AB 6已知 C 是线段 AB 的黄金分割点(ACBC)，则 ACBC=()A(51)2 B(5+1)2 C(35)2 D(3+5)2 7在长度为 1 的线段上找到两个黄金分割点 P，Q则 PQ()指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可

29、以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 A215 B53 C25 D253 8已知线段 MN=1，在 MN上有一点 A，如果 AN=253求证：点 A 是 MN的黄金分割点 四、聚沙成塔 9如图，以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连结 PD，在 BA 的延长线上取点 F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在 AD 上(1)求 AM、DM 的长(2)求证：AM2=AD DM(3)根据(2)的结论你能找出图中的

30、黄金分割点吗?7测量旗杆的高度 8相似三角形的性质 9图形的放大与缩小 七.图形的放大与缩小 指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点学习好资料 欢迎下载 1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形；这个点叫做位似中心；这时的相似比又称为位似比.2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3.位似变换:变换后的图形，不仅与原图相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.一个图形经过位似变换后得到另一个图形，这两个图形就叫做位似形.利用位似的方法，可以把一个图形放大或缩小.指定条件下可以互相转化即比例式与等积式可以互相转化若则如果那么交点则已知那么下列式子成立的是把写成比例式不正确的写法是已知线是已知四条线段的长度试判断它们是否成比例四聚沙成塔在中是上一点