2023年圆的基本性质-知识点总结归纳整理.pdf

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1、学习必备 精品知识点 3.1 圆（1）在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O旋转一周，所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做 ，线段OP 叫做 。如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：dr 点P在圆 ；d r 点P在圆上；dr 点P在圆 ；如图，在ABC中，BACRt，AO是BC边上的中线，BC为O的直径.（1）点A是否在圆上？请说明理由.（2）写出圆中所有的劣弧和优弧.如图，在A岛附近，半径约250km 的范围内是一暗礁区，往北300km 有一灯塔B，往西400km 有一灯塔C.现有一渔船沿CB航行，问：渔船会进入暗礁区吗？=3.1 圆（2）（1）经过

2、一个已知点能作 个圆；（2）经过两个已知点A,B 能作 个圆；过点A,B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？（3）不在同一条直线上的三个点 一个圆 经过三角形各个顶点的圆叫做 ，这个外接圆的圆心叫做三角形的 ，三角形叫做圆的 ；三角形的外心是 的交点。锐角三角形的外心在 ；直角三角形的外心在 ；钝角三角形的外心在 。学习必备 精品知识点 作图：已知ABC，用直尺和圆规作出ABC 的外接圆 3.2 图形的旋转 图形旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形 ；对应点到 的距离相等，任何一对对应点与 连线所成的角度等于 。1、如图，射线 OP 经过怎样的旋转，得到射线 OQ？3、如图，以点O

3、为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转 60,作出经旋转所得的线段BA，并求直线BA与直线AB所成的锐角的度数。2、如图,以点O为旋转中心,将ABC按顺时针方向旋转 60,作出经旋转所得的图形。线为的直径点是否在圆上请说明理由写出圆中所有的劣弧和优弧如图在点任意作一个圆圆心应该在怎样的一条直线上不在同一条直线上的三个形的外心在学习必备精品知识点作图已知用直尺和圆规作出的外接圆图学习必备 精品知识点 3.3 垂径定理（1）圆是 图形，它的对称轴是 。如图，直径 CD 垂直于弦 AB，根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：CD 是直径，CDAB （文字描述）垂径定理：。如 图，圆 心 O到 圆

4、的 一 条 弦 AB的 距 离 OC叫做 。记半径为 r，弦长为 a，弦心距为 d，这三者之间的关系式为 。运用“半径、半弦、弦心距”之间的关系求解下列题目 1、O的弦AB的长为 8cm,弦AB的弦心距为 3cm,则O的半径为()(A)4cm.(B)5cm.(C)8cm.(D)10cm.2、已知O的半径为 13cm,一条弦的弦心距为 5cm.求这条弦的长 3、如图所示，为一条排水管的截面图，已知排水管的半径 OB=10，水面宽 AB为16，求截面圆圆心 O到水面的距离 OC 线为的直径点是否在圆上请说明理由写出圆中所有的劣弧和优弧如图在点任意作一个圆圆心应该在怎样的一条直线上不在同一条直线上的

5、三个形的外心在学习必备精品知识点作图已知用直尺和圆规作出的外接圆图学习必备 精品知识点 3.3 垂径定理（2）（文字描述）垂径定理的逆定理1：。（符号描述）CD是直径，AP=BP （文字描述）垂径定理的逆定理2：。（符号描述）CD是直径，ACBC 如图所示，圆弧AB的中点C到弦 AB的距离PC叫做 。弓高 h、半径r 和弦心距d 之间的关系是 。垂径定理综合运用 1、如图,一圆弧形钢梁的拱高为 8m,跨径为40m.求这钢梁圆弧的半径长.2、已知:如图,O的直径PQ分别交弦AB,CD于点M,N,AMBM,ABCD.求证:DNCN.3、如图,O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE3cm,DE7cm.

6、求AB的长.4、已知O的半径为5cm,弦ABCD,AB6cm,CD8cm.求AB与CD之间的距离.线为的直径点是否在圆上请说明理由写出圆中所有的劣弧和优弧如图在点任意作一个圆圆心应该在怎样的一条直线上不在同一条直线上的三个形的外心在学习必备精品知识点作图已知用直尺和圆规作出的外接圆图学习必备 精品知识点 3.4 圆心角（1）顶点在圆心的角叫做 。圆心角定理：在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。在 中，相等的圆心角所对两条弦的 相等 符号语言 在O中：AOB=COD (弦相等)(弧相等)(弦心距相等)我们把 n的圆心角所对的弧叫做 的弧 练一练：1、下列命题中，不正确的是（）A、圆

7、是轴对称图形 B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C、圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 D、圆是中心对称图形 2、如图，AB，CD是O的直径，若AOC=70，则AC的度数是 ，BD的度数是 ，AD的度数是 。3、已知：如图，12.求证：ACBD.4、如图，O的直径AB垂直于弦CD于点E，COD100.求BC，AD的度数.线为的直径点是否在圆上请说明理由写出圆中所有的劣弧和优弧如图在点任意作一个圆圆心应该在怎样的一条直线上不在同一条直线上的三个形的外心在学习必备精品知识点作图已知用直尺和圆规作出的外接圆图学习必备 精品知识点 3.4 圆心角（2）圆心角定理的逆定理：在 中，如果两个 、中有

8、一对量相等，那么它们所对应的其余各对量 。1、如图，等边三角形 ABC内接于O，连结 OA，OB，OC，延长 AO，分别交 BC于点 P，交BC于点 D，连结BD，CD，判断四边形 BDCO 是哪一种特殊四边形，并给出证明。四边形 BDCO 是 ，证明如下：AB=BC=CA AOB=120 BOD=又 BOD是 三角形 同理，COD是 记四边形 BDCO 是 若O的半径为 r，求等边三角形 ABC的边长 2、已知，如图，ABC为等边三角形，以 AB为直径的O分别交 AC，BC于点 D，E，求证：AD=DE=EB.3、下列说法正确的是 圆心角相等，所对的弦相等；等弧所对的弦相等 弦相等，所对的圆

9、心角相等 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 线为的直径点是否在圆上请说明理由写出圆中所有的劣弧和优弧如图在点任意作一个圆圆心应该在怎样的一条直线上不在同一条直线上的三个形的外心在学习必备精品知识点作图已知用直尺和圆规作出的外接圆图学习必备 精品知识点 3.5 圆周角（1）顶点在 ，角的两边都和圆 的角叫做圆周角 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的 度数的一半。已知一条弧所对的圆周角等于 70，则这条弧所对的圆心角是 。一条 50的弧所对的圆心角是 ，圆周角是 。一条弧所对的圆心角的度数为 95，则这条弧是 ，它所对的圆周角是 。一条弧的度数是 180，则它所对的圆心角是 ，圆周角是

10、 。推论：半圆（或 ）所对的圆周角是 。如图所示，C=90，则AOB=，AB是O的 。推论：90的圆周角所对的弦是 。练习：如图，等腰三角形 ABC的顶角BAC为 40，以腰 AB为直径作半圆，交 BC于点 D，交 AC于点 E，求 BD，DE和 AE的度数。变式 1：已知，如图，AB为圆 O的直径，AB=AC，BC交圆 O于点 D，AC交圆 O于点 E，求证：BD=CD 变式 2：如图，已知圆心角AOB的度数为 100,则圆周角ACB的度数是()A.80 B.100 C.120 D.130 100(2)COBA线为的直径点是否在圆上请说明理由写出圆中所有的劣弧和优弧如图在点任意作一个圆圆心应

11、该在怎样的一条直线上不在同一条直线上的三个形的外心在学习必备精品知识点作图已知用直尺和圆规作出的外接圆图学习必备 精品知识点 3.5 圆周角（2）推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等，的圆周角所对的弧也相等。基本图形：如图所示：BC=BC =练一练：1.如图,ABC内接于圆,ABAC,BC的度数为60.求 B,C的度数.2.已知：如图,AB是O的直径,弦AB与半径OD平行.求证：.CDBD 综合练习：已知半径为 5 的O中，弦5 2AB，弦5AC，则BAC的度数是（）A15 B210 C105或15 D210或30 如图，已知 AB 是O 的直径，BC 为弦，A BC=30 过圆心 O

12、 作 ODBC 交弧 BC 于点 D，连接 DC，则DCB=已知，如图：AB 为O 的直径，ABAC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E，BAC450。给出以下五个结论：EBC22.50，；BDDC；AE2EC；劣弧AE是劣弧DE的 2 倍；AEBC。其中正确结论的序号是 。O B D C A EDCBAO20 题图线为的直径点是否在圆上请说明理由写出圆中所有的劣弧和优弧如图在点任意作一个圆圆心应该在怎样的一条直线上不在同一条直线上的三个形的外心在学习必备精品知识点作图已知用直尺和圆规作出的外接圆图学习必备 精品知识点 3.6 圆内接四边形 如果一个四边形的各个顶点在 ，那么这个四边形

13、叫做 ，这个圆叫做 。性质：圆内接四边形的对角 。圆内接四边形的外角等于它的 。练一练：已知圆内接四边形有一个内角是 50,则它的对角的度数为 .如图,AB是半圆O的直径,BAC40,则D=.已知圆内接四边形ABCD中,A:B:C2:3:7.求D的大小.综合练习：已知，如图，AD是ABC的外角EAC的平分线，与ABC的外接圆交于点 D，求证：DB=DC 分析：要证明 DB=DC，只需证明 =证明：3.7 正多边形 我们把 、的多边形叫做正多边形；任何正多边形都有一个 。计算：已知一个正多边形的内角为 120，这个正多边形是 。已知一个正多边形的外角为 45，这个正多边形是 。正五边形的内角等于

14、 。选择：下列图形中，是中心对称图形的是 ，是轴对称图形的是 作图：用直尺和圆规做圆的内接正六边形 线为的直径点是否在圆上请说明理由写出圆中所有的劣弧和优弧如图在点任意作一个圆圆心应该在怎样的一条直线上不在同一条直线上的三个形的外心在学习必备精品知识点作图已知用直尺和圆规作出的外接圆图学习必备 精品知识点 3.8 弧长及扇形的面积（1）在半径为 R的圆中，n的圆心角所对的弧长l的计算公式为：公式变形：半径 R=圆心角的度数 n=公式运用：（1）半径为 3 的圆弧的度数为 100，则这条弧长为 ；（2）半径为 5 的圆弧长为 5，则这条弧所对的圆心角的度数为 ；（3）已知圆弧的度数为 60，弧长

15、为 6，则圆的半径为 。3.8 弧长及扇形的面积（2）如果扇形的半径为 R，圆心角为 n，扇形的弧长为l，那么扇形面积 S=公式运用 1、已知圆的半径为 6cm，求下列各扇形的面积（1）圆心角为 135的扇形 （2）弧长为 4的扇形 2、已知一个扇形的面积为 12cm2，圆心角为 216，求它的弧长。练一练 1.如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为 6cm.求截面中有水部分弓形的面积.2.如图为某水管截面中水面面积示意图，其中水管的直径为2.5 米，AOB=45，求截面中有水部分的面积.3.如图所示，折扇的骨柄长a=16cm，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为 120，求折扇扇面的面积.线为的直径点是否在圆上请说明理由写出圆中所有的劣弧和优弧如图在点任意作一个圆圆心应该在怎样的一条直线上不在同一条直线上的三个形的外心在学习必备精品知识点作图已知用直尺和圆规作出的外接圆图