2023年奥本海姆版复习参考要点全面汇总归纳第五-八章.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第五章：The discete-time Fourier transform(离散傅立叶变换)本章与上一章类似，是对离散信号进行傅立叶变换从而实现时域和频域的转换。本章只要求 51 节。掌握傅立叶变换与傅立叶反变换的公式。本章估计不会出考试题，但却是第九章的基础。5-1：Representation of aperiodic signals：The discrete-time Fourier transform（非周期信号表示：离散傅立叶变换）用类似连续的推导法，对非周期离散信号 xn可以看作周期信号的周期 N 趋向无穷大时的极端，这时累加成为积分。但由于离散周期信号的傅立

2、叶级数只有 N 项，因此非周期信号的积分区域也只有一个周期。由此可得 P361 58，59 公式 其中，综合公式 58 是用已知频域表达式 X(exp(j)来求时域表达式 xn，称为离散傅立叶反变换式（discrete-time inverse Fourier trabsform）；分析公式 59 是用已知时域表达式 xn 求频域表达式 X(exp(j)，称为离散傅立叶变换式（discrete-time Fourier trabsform）。这一对公式建立的一个离散信号的时域表达式与频域表达式之间的转换联系称为一个离散傅立叶变换对 xn X(exp(j)。注意：离散傅立叶变换得到的频域表达式

3、X(exp(j)是一个以 2为周期的频域周期函数。离散傅立叶变换的周期判断（Covergence issues associated with the discrete-time Fourier transform）：离散傅立叶变换的收敛判断很简单，只要时域表达式 xn 绝对可和或者能量有限就行了（P366,5-13,5-14）5259：不要求 第六章：Time and frequency characterization of signals and systems（信号与系统的时域学习必备 欢迎下载 和频域特性）本章其实是第四章和第五章的分析运用。介绍一些基本的分析方法。6-1：The M

4、agnitude-Phase representation of the Fourier transform（傅立叶变换的模和相位表示）连续信号和离散信号的傅立叶变换（频域表达）一般是复数值的，可以用它的模和相位来表示：X(j)=|x(j)|.exp(jX(j)离散类似：X(exp(j)=|x(exp(j)|.exp(jX(exp(j)因为傅立叶变换可以理解为把信号分解为不同频率的指数信号的“叠加”，则对于每一频率0，模|x(j)|是信号 x(t)在该0 频率分量的“大小”而相位角X(exp(j)则是表示这些不同频率分量的相对相位关系。对于一个信号而言，不同频率分量的大小和彼此相位关系都是非常

5、重要的信息。6-2：The Aagnitude-Phase representation of the frequency response of LTI systems（LTI 系统频率响应的模和相位表示）一个 LTI 系统的输入、输出和频率响应的关系为：X(j).H(j)Y(j)；X(exp(j).H(exp(j)Y(exp(j)再考虑各分量均可表示为模相位的形式，可知（以连续为例，离散类似）：|Y(j)|=|X(j)|.|H(j)|Y(j)=X(j)+H(j)即输出 Y(j)的幅度等于输入幅度乘以频率响应的幅度；相位角等于输入信号的相位角加上频率响应的相位角。因此，|H(j)|一般称为系

6、统的增益（gain）；H(j)一般称为系统的相移(phase shift)。相移可以改变信号各频率分量之间相对的相位关系。如果我们不希望系统对输入信号的幅度和相位的改变，则这样的改变称为幅度和相位的失真（distortions）线性相位与非线性相位（Linear and nonlinear phase）当系统相移H(j)是的线性函数时，则系统频域的相移对应时域的时移。例如 H(j)=exp(-jt0),显然有|H(j)|=1，H(j)t0 显然这个系统产生的是信号的时移：y(t)=x(t-t0)而如果系统的相移H(j)是关于的非线性函数，则输出信号相对应的原函数中各频率分量的相对相位将发生变化

7、，这会使信号 y(t)相对于 x(t)发生很大变化。示离散傅立叶变换用类似连续的推导法对非周期离散信号可以看作周期公式是用已知频域表达式来求时域表达式称为离散傅立叶反变换式分析变换对注意离散傅立叶变换得到的频域表达式是一个以为周期的频域周学习必备 欢迎下载 具有单位增益（即|H(j)|=1）的系统称为全通系统（all pass system）。全通系统的特性完全是由它的相位特性决定的。群时延(Group delay)对于线性相移H(j)-(j t0)-，从时域上可以看作系统对输入信号 x(t)有一个时延 t0 再乘上一个常系数 exp(-j)，换言之，y(t)=x(t-t0).exp(-j)。

8、显然这个时候，时移 t0=-d(H(j)/d 对于一般的系统而言，相移H(j)并非是的线性函数，对于不同的值，有不同的H(j)，自然我们可以把这个系统理解为对不同的有不同的时移。物理意义在于，如果输入信号在频域上是一个窄带（即只在很小的一段频域1 前后存在有效值），那么可以近似地把系统在该段频域的相移看作线性的。认为有H(j)-换言之，对于一个存在于频率1 前后的窄带信号，可以近似认为系统对于它有一个时延。这个时延称为系统在1 时的群时延。显然，对于位于不同的频率上的窄带信号，其近似的时延也不相同。这个群时延的公式显然应当是系统的相移函数在的处的斜率：()=-d(H(j)/d 关于群时延的概念

9、和定义，可以直接用上述公式表达。一般情况下不同，则该处的群时延()也不同。可以理解为系统对于输入信号的不同频率分量进行不同的时移。作为特殊情况，对于具有线性相移的系统H(j)-(j t0)-，()=-d(H(j)/d t0 是个常数，因此线性相移的系统的群时延是个恒定值，换言之线性相移系统是对整个输入信号进行相同的时移。6-3:Time-domain properties of ideal frequency-selective fliters（理想频率选择滤波器的时域特性）第三章介绍了频率选择滤波器。一个理想的连续时间低通滤波器的频率响应是：H(j)=1，|c；H(j)=0，|c。而离散低通

10、滤波器的理想模型的频率响应是：H(exp(j)=1，|c；H(exp(j)=0，|c。该频域函数显然是以为周期的周期函数。用傅立叶反变换可以很容易求到，对理想低通滤波器的时域函数为：h(t)=Sin(ct)/t；hn=Sin(c.n)/n 这是一个无始无终的信号。显然，这样的非因果的单位冲激响应（即在 t=0 以前就有了非 0 的响应）在现实的 LTI 系统中是很难实现的。6-4：Time-doman and frequency-domain aspects of nonideal filters（非理想滤波器的时域和频域特性讨论）示离散傅立叶变换用类似连续的推导法对非周期离散信号可以看作周期

11、公式是用已知频域表达式来求时域表达式称为离散傅立叶反变换式分析变换对注意离散傅立叶变换得到的频域表达式是一个以为周期的频域周学习必备 欢迎下载 由于理想滤波器的难以实现，以及在现实中，对其有些性质是不必要的，因此我们往往采用一些非理想滤波器来完成这一任务的近似。本节需要了解关于非理想滤波器的通带起伏（passband ripple）、阻带起伏（atopband ripple），通带边缘（passband edge）、阻带边缘（stopband edge）和过渡带（transition）的概念。通带起伏1：滤波器频域图上，现实的通带相对于理想的通带值（1）能够允许的波动范围。换言之，若|H(j)

12、|在（1-1）到（1）范围内，可以认为此时为通带。阻带起伏2：类似通带起伏，当|H(j)|在 0 到2 的范围内，可以认为此时为阻带。通带边缘：通带的边界频率。阻带边缘：阻带的边界频率。过渡带：通带与阻带之间的部分。本章其余部分不要求 第七章：Sampling（采样）本章的基本内容是对于一个连续时间信号，如果它的傅立叶变换的函数是一个带限函数，则可以通过在等时间间隔上采样的值，即样本（samples）来表示，并通过样本把信号完全恢复。7-1：Representation of a continuous-time signal by its samples：the sampling theore

13、m（用信号样本表示连续时间信号：采样定理）冲激串采样（impulse-train sampling）采样的一种方法是：用一个等间隔的冲激串去乘连续时间信号 x(t)。冲激串的大小为单位 1，冲激串的间隔时间 Ts 称为采样周期（sampling period），该冲激串信号的基波频率s=2/Ts 称为采样频率(sampling frequency)。该冲激串函数称为采样函数(smapling function)p(t)。该方法称为冲激串采样。易知 p(t)的傅立叶变换 P(j)为冲激串。冲激串大小为 2/Ts，间隔为s。由乘法性质，时域相乘对应频域卷积，则信号样本 xp(t)=x(t).p(t

14、)的傅立叶变换实际上是把 X(j)在频域上进行周期拓展（复制，位移，粘贴_）。拓展的周期就是s 显然，设 x(t)的频带宽度（即 X(j)有非 0 值的最大）为M，则当s2M时，X(j)进行周期拓展后的各部分会发生相互混叠；而在s2M的时候，这些部分不会混叠（因为它们的频带宽度从中心往左右各自只有M，而周期拓展的间隔s2M）。这时候，我们可以把 xp(t)通过一个低通滤波器，从而恢复原来的信号。该低通滤波器增益为 T，截止频率大于M而小于s-M。这就是采样定理。描述如下：示离散傅立叶变换用类似连续的推导法对非周期离散信号可以看作周期公式是用已知频域表达式来求时域表达式称为离散傅立叶反变换式分析

15、变换对注意离散傅立叶变换得到的频域表达式是一个以为周期的频域周学习必备 欢迎下载 设 x(t)为一带限信号，|M时有|X(j)|=0。现在以s 为采样频率对其采样，如果s2M则 x(t)可以唯一地由采样结果 xp(t)确定。我们可以采取如下方式恢复 x(t)：将 xp(t)输入一个增益为 Ts，截止频率大于M而小于s-M德低通滤波器，所得输出就是原信号 x(t)。因此，在采样中，采样频率s 应大于（而不是大于等于！）2M。该频率 2M称为耐奎斯特率（Nyquist rate）。而耐奎斯特率的一半M 则称为耐奎斯特频率（Nyquist frequency）。0 阶保持采样（Samping wit

16、h a Zero-order hold）这里介绍的是鉴于产生一个冲激串函数的难度较大，而采用另一系统，使得等效于原信号 x(t)进行冲激采样后通过系统 h0(t)的一种采样恢复模式，自己看书了解。7-2：不要求 7_3：The effect of undersampling：aliasing（欠采样的结果：混叠）了解：当采样频率s2M时，在频域上会发生混叠。要求作图了解混叠发生的原因和后果。从时域上，欠采样造成的混叠，实质上是对于样本选取之后，两个样本的差默认为最小值的结果。例如，如果在两个样本点之间（即一段 Ts 的时间），信号的最大频率分量经过了0.7 个周期（即相位角 1.4），则在恢复

17、时等效于把该分量在两个样本点的相位角默认为逆向 0.3 个周期（即相位角-0.6），由此造成信号恢复的失真。本章其他内容：不要求 第八章：Communication systems(通信系统)通信的基本步骤是：（1）一个载有信息的信号（称为调制信号 modulating signal）x(t)嵌入另一个信号 c(t)（称为载波信号 carrier signal）产生一个新信号 y(t)（称为已调信号 modulated signal）。这一步称为调制（modulation）（2）把已调信号 y(t)发送出去，通过传输媒介到接受端。（3）接受端对已调信号 y(t)进行处理，从中把载有信息的信号

18、x(t)提取出来。这一步称为解调（demodulation）示离散傅立叶变换用类似连续的推导法对非周期离散信号可以看作周期公式是用已知频域表达式来求时域表达式称为离散傅立叶反变换式分析变换对注意离散傅立叶变换得到的频域表达式是一个以为周期的频域周学习必备 欢迎下载 很重要的一类调制是用 x(t)对 c(t)的幅度进行调制，即 y(t)=x(t).c(t)。称为幅度调制（amplitude modulation），简称 AM。8-1：Complex exponential and sinusoidal amplitude modulation（复指数与正弦幅度调制）复指数载波的幅度调制（ampl

19、itude modulation with a complex exponential carrier）当载波信号 c(t)=exp(j(ct+c),称为复指数幅度调制。c 称为载波频率（carrier frequency）。为方便令c0。此时有：y(t)=x(t).c(t)=x(t).exp(jct)从频域上，C(j)=2(-c)由调制性质，时域相乘对应频域卷积，因此 Y(j)=(1/2)X(j)*C(j)=X(j(-c)换言之，y(t)的傅立叶变换 Y(j)等于把 X(j)在频域上进行c 的频移。对 y(t)进行解调以恢复 x(t)的方法很简单，只要将 y(t)再乘以 exp(j ct)即

20、可：y(t)。exp(j ct)x（t）.exp(jct).exp(-jct)=x(t)显然从频域上，这等效于把 X(j)先正向移动c，再移动-c，最后还是得到了 X(j)。该调制解调方法对c 和 x(t)的带宽M关系没有什么要求。正弦载波的幅度调制(Amplitude modulation with a sinusoidal carrier)很多时候采用的是正弦波调制，c(t)=cosct。此时：y(t)=x(t).c(t)=x(t).cosct 而从频域上，由于 C(j)=(-c)+(+c)有：Y(j)=(1/2)X(j)*C(j)=(X(j(-c)+X(j(+c)/2 显然，这相当于把

21、X(j)的图象减半后分别向左和向右发生了|c|的频移。如果 X(j)的带宽M c，则频移后的两个分量不会发生混叠，可能从 y(t)中把 x(t)恢复出来。否则，如果M c，则频移后的两个分量会发生混叠，从而不可能恢复。因此正弦调幅对调制信号 x(t)的带宽和载波频率之间的关系提出了要求。8-2：Demodulation for sinusoidal AM（正弦调幅的解调）同步解调（Synchronous demodulatuon）示离散傅立叶变换用类似连续的推导法对非周期离散信号可以看作周期公式是用已知频域表达式来求时域表达式称为离散傅立叶反变换式分析变换对注意离散傅立叶变换得到的频域表达式是

22、一个以为周期的频域周学习必备 欢迎下载 正弦调幅的解调是：先把已调信号 y(t)再乘以一个同步正弦信号 cos ct，然后通过一个低通滤波器，该滤波器增益为 2，截止频率大于M而小于 2c-M。这样就可以恢复出信号。从时域上显然有：y(t).cosct=x(t).cosct.cos ct=(1/2).x(t)+（1/2）.x(t).cos2ct 将这样一个信号通过一个增益为2的低通滤波器，则高频分量x(t).cos2ct 被过滤掉，而低频分量 x(t)/2则得到了 2 的增益，从而恢复出 x(t)。从频域上讲，则解调相当于把已经减半后两边分开的信号图形再次重复，减办后分别向左右进行c 的频移。

23、造成结果是：W(j)=Y(j)*(-c)+(+c).(1/2)=(X(j(-c)+X(j(+c)(1/2)*(-c)+(+c).(1/2)=(1/2)X(j)+(1/4)X(j-j2c)+(1/4)X(j+j2c)即原先左移信号的右半部和右移信号的左半部在中央重合，其余两个半部更加分离。这时通过低通滤波器，可以把左右两边过滤掉而保留中间的 X(j)，从而得以恢复。该方法要求的是载波信号 c(t)和后来输入的解调正弦信号必须严格同步，否则会因为相差造成失真。另一种解调方法称为非同步解调(Asynchronous demodulation)，则是通过包络检测的方法来恢复信号 x(t)的。本章其他内容：不要求 示离散傅立叶变换用类似连续的推导法对非周期离散信号可以看作周期公式是用已知频域表达式来求时域表达式称为离散傅立叶反变换式分析变换对注意离散傅立叶变换得到的频域表达式是一个以为周期的频域周