2023年圆总复习精品讲义..pdf

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1、学习必备 欢迎下载 圆总复习及专项训练 一、圆的基本性质 1圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径 （2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 （3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角 （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧 （5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 2圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：

2、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （3）同弧或同弦所对应的圆心角是圆周角的两倍。同弦所对这两个圆周角互补。（4）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径 3三角形的内心和外心 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆 （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 （3）三角形的内心：和三角形

3、的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 练习题：1、“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱九章算术中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为O的直径，弦ABCD，垂足为E，CE1 寸，AB5 寸，求直径CD的长”依题意，CD长为（）2、如图，O为ABC的内切圆，C90，AO的延长线交BC于点D，AC4，DC1，则O的半径等于（）3、如图，已知AB是O的直径，弦CDAB于点P，CD10 厘米，APPB15，那么O的半径是（）（第一题）（第二题）（第三题）学习必备 欢

4、迎下载 4、如图，O的弦AB8 厘米，弦CD平分AB于点E若CE2 厘米ED长为（）5、如图，正方形ABCD内接于O，E为DC的中点，直线BE交O于点F 若O的半径为2，则BF的长为（）6、如图，AB是O的直径，ACD15，则BAD的度数为（）7、如图，在O中，弦 AC垂直 BD，OE垂直 AB，垂足为 E，求证：OE=12CD（点拨：直角三角形中线，构造平行四边形或者 找到和构造 EO两倍的线段，连接 AO延长）8、如图，AC，BD是O的两条弦，且 AC垂直 BD，O的半径为12，求 AB2CD2的值。（点拨：构造直角三角形利用勾股定理，连接 BO并延长）9、如图，O是 ABC的外接圆，60

5、BAC，AD，CE分别是 BC，AB上的高，且 AD，CE交于点 H，求证：AH=AO 点拨：转化 AH，等于半径，延长 CE，构造等腰三角形和等边三角形 10、如图，在O 的内接ABC 中，ABAC，D 是O 上一点，AD 的延长线交 BC 的延长线于点 P。（1）求证：APADAB2（2）若O 的直径为25，AB20，AD15，求 PC 和 DC 的长。点拨：利用相似证明（1），利用相交弦定理和勾股定理证明（2），延长 AO，构成相交弦 A B C D P O 第 4 题 第 5 题 第 6 题 另一个交点的角叫做圆周角弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称弧大的直线圆是中心对称图形对称中心为

6、圆心垂径定理垂直于弦的直径平分弦圆心角的关系在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组学习必备 欢迎下载 二、圆的切线 1、直线与圆的位置关系（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线 如上图，设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，从图中可以看出：若dr 直线 l 与O 相离；若dr 直线 l 与O 相切；若dr 直线 l 与O 相交；2

7、、切线（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（3）切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。（4）弦切交定理：角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半，也就是等于所夹的弧的圆周角 证明：连接 OC、OA 练习题：1如图（左 1），BC是O的直径，P是CB延长线上一点，PA切O于点A，如果PA3，PB1，那么APC等于（）2、如

8、图（左 2），AB、AC是O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的一点，已知BAC80，那么BDC_度 3、如图（左 3），P是O的直径AB延长线上一点，PC切O于点C，PC6，BCAC12，则AB的长为_ 另一个交点的角叫做圆周角弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称弧大的直线圆是中心对称图形对称中心为圆心垂径定理垂直于弦的直径平分弦圆心角的关系在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组学习必备 欢迎下载 CBDAPO4、如图，AB8，AC6，以AC和BC为直径作半圆，两圆的公切线MN与AB的延长线交于D，则BD的长为_ 5、如图，AB为O的直径，P点在AB的延长线上，PM切O于M点若

9、OAa，PM3a，那么PMB的周长的_ 6、.(江苏省淮安市 20XX 年)如图，AB 是O 的直径，点 C 在 BA 的延长线上，CA=AO，点 D 在O 上，ABD=30 求证：CD 是O 的切线；若点 P 在直线 AB 上，P 与O 外切于点 B，与直线 CD 相切于点 E，设O 与P 的半径分别为 r 与R，求Rr的值 7、已知：如图，ABC内接于O，过点B作O的切线，交CA的延长线于点E，EBC2C 求证：ABAC；若 tan ABE21，（）求BCAB的值；（）求当AC2 时，AE的长 8、已知，如图P与0 相交于点 A、B，并且P经过点 O，点 C是P 的优弧 AB上任意一点（不

10、与点 A、B重合），弦OC交公共弦 AB于点 D，连结 CA、CB。（1）求证：CD CO=C AC B（2）当点 C在P上什么位置时，直线 CA与O相切？并说明理由；（3）当ACB等于 60时，两圆的半径有什么关系？并说明理由。A B D C E O P 另一个交点的角叫做圆周角弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称弧大的直线圆是中心对称图形对称中心为圆心垂径定理垂直于弦的直径平分弦圆心角的关系在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组学习必备 欢迎下载 三、圆与函数 1、如图，已知半径为 1 的1O与x轴交于A B，两点，OM为1O的切线，切点为M，圆心1O的坐标为(2 0)，二次函数2

11、yxbxc 的图象经过A B，两点（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是否存在一点P，使得以POA，为顶点的三角形与1OO M相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 2、已知：抛物线2yaxbxc(a0)，顶点 C(1，3)，与 x 轴交于 A、B 两点，(10)A，（1）求这条抛物线的解析式（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P 为线段AB上一个动点(P 与A、B 两点不重合)，过点P 作PMAE于M，PNDB 于N，请判断PMPNBEAD是否为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由（3）在(2)的条件下，若点 S 是线段 EP 上一点，过点 S 作 FGEP，FG 分别与边AE、BE相交于点 F、G(F 与 A、E 不重合，G 与 E、B 不重合)，请判断PAEFPBEG是否成 立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 y x O A B M O1 C O x A D P M E B N y 另一个交点的角叫做圆周角弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称弧大的直线圆是中心对称图形对称中心为圆心垂径定理垂直于弦的直径平分弦圆心角的关系在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组