2023年《概率论与数理统计》第二补充题超详细解析答案.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 概率论与数理统计第二章补充题答案 1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X的分布律.【解】353524353,4,51(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXP XP XP X 故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；(3)13,1,1222P XPXPX.【解】313315122

2、133151133150,1,2.C22(0).C35C C12(1).C35C1(2).C35XP XP XP X 故 X 的分布律为 X 0 1 2 P 2235 1235 135 （2）当 x0 时，F（x）=P（Xx）=0 当 0 x1 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)=2235 优秀学习资料 欢迎下载 当 1x2 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=3435 当 x2 时，F（x）=P（Xx）=1 故 X的分布函数 0,022,0135()34,12351,2xxF xxx (3)1122()(),2235333434(1)()(1)0223535341(12

3、)(2)(1)(2)10.3535P XFPXFFPXFFP X 3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为 0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率.【解】设 X表示击中目标的次数.则 X=0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C(0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P XP XP XP X 故 X 的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数 0,00.008,01()0.104,120.488,23

4、1,3xxF xxxx (2)(2)(3)0.896P XP XP X 4.（1）设随机变量 X的分布律为 PX=k=!kak，只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载 其中 k=0，1，2，0 为常数，试确定常数 a.（2）设随机变量 X的分布律为 PX=k=a/N，k=1，2，N，试确定常数 a.【解】（1）由分布律的性质知 001()e!kkkP Xkaak 故 ea (2)由分布律的性质知 111()NNkkaP Xka

5、N 即 1a.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投 3 次，求：（1）两人投中次数相等的概率;（2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令 X、Y表示甲、乙投中次数，则 Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7)(1)()(0,0)(1,1)(2,2)P XYP XYP XYP XY (3,3)P XY 33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)+22223333C(0.6)0.4C(0.7)0.3(0.6)(0.7)0.32076(2)()(1,0)(2,0)(3,0)P XYP XYP XYP XY (2,1)(3,1)(3,2)P XY

6、P XYP XY 12322333C 0.6(0.4)(0.3)C(0.6)0.4(0.3)33221233(0.6)(0.3)C(0.6)0.4C 0.7(0.3)31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C(0.7)0.3=0.243 6.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 Xb(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道，只作

7、不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载 则有()0.01P XN 即 2002002001C(0.02)(0.98)0.01kkkk N 利用泊松近似 2000.024.np 41e 4()0.01!kk NP XNk 查表得 N9.故机场至少应配备 9 条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多

8、少（利用泊松定理）？【解】设 X表示出事故的次数，则 Xb（1000，0.0001）(2)1(0)(1)P XP XP X 0.10.11 e0.1 e 8.设事件 A在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，（1）进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设 X表示 5 次独立试验中 A发生的次数，则 X6（5，0.3）5553(3)C(0.3)(0.7)0.16308kkkkP X (2)令 Y表示 7 次独立试验中 A发生的次数，则 Yb（7，0.3）7773(3)C(0.3

9、)(0.7)0.35293kkkkP Y 9.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率.【解】（1）32(0)eP X (2)52(1)1(0)1 eP XP X 10.设 PX=k=kkkpp22)1(C,k=0,1,2 PY=m=mmmpp44)1(C,m=0,1,2,3,4 分别为随机变量 X，Y的概率分布，如果已知 PX1=59，试求 PY1.只作不放回抽样以表示取出

10、的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载【解】因为5(1)9P X ，故4(1)9P X .而 2(1)(0)(1)P XP Xp 故得 24(1),9p 即 1.3p 从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P YP Yp 11.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这 2000 册书中恰有 5 册错误的概率.【解】令 X为 2000 册书中错误的册数，则 Xb(2000,0.001).利用泊松近似

11、计算,20000.0012np 得 25e 2(5)0.00185!P X 12.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以 X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出 X的分布律，并计算 X取偶数的概率.【解】1,2,Xk 113()()44kP Xk(2)(4)(2)P XP XP Xk 3211 31313()()4 44444k 213141451()4 13.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：（

12、1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在 1 月 1 日，保险公司总收入为 250012=30000 元.设 1 年中死亡人数为 X，则 Xb(2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)PXP XP X 由于 n 很大，p 很小，=np=5，故用泊松近似，有 只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载 5140

13、e 5(15)10.000069!kkP Xk (2)P(保险公司获利不少于 10000)(30000200010000)(10)PXP X 5100e 50.986305!kkk 即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%P（保险公司获利不少于 20000）(30000200020000)(5)PXP X 550e 50.615961!kkk 即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%14.已知随机变量 X的密度函数为 f(x)=Ae|x|,x+,求：（1）A值；（2）P0X1;(3)F(x).【解】（1）由()d1f xx得|01ed2e d2xxAxAxA 故 12

14、A.(2)11011(01)e d(1e)22xpXx (3)当 x0 时，11()e de22xxxF xx 当 x0 时，0|0111()ede de d222xxxxxF xxxx 11e2x 故 1e,02()11e02xxxF xx 15.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 X的密度函数为 f(x)=.100,0,100,1002xxx 求：（1）在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮

15、投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载（3）F（x）.【解】（1）15021001001(150)d.3P Xxx 33128(150)()327pP X(2)12231 24C()3 39p (3)当 x100 时 F（x）=0 当 x100 时()()dxF xf tt 100100()d()dxf ttf tt 2100100100d1xttx 故 1001,100()0,0 xF xxx 16.在区间0，a上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X的分布函数.【解】由题意知 X0,a

16、，密度函数为 1,0()0,xaf xa 其他 故当 xa 时，F（x）=1 即分布函数 0,0(),01,xxF xxaaxa 17.设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率.【解】XU2,5，即 1,25()30,xf x 其他 只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载 5312(3)d33P Xx 故所求概率为 22333321220C()C()33327p

17、18.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布1()5E.某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y的分布律，并求 PY1.【解】依题意知1()5XE，即其密度函数为 51e,0()50,xxf xx0 该顾客未等到服务而离开的概率为 25101(10)ede5xP Xx 2(5,e)Yb,即其分布律为 22 552 5()C(e)(1e),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e)0.5167kkkP YkkP YP Y 19.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路

18、程较短但交通拥挤，所需时间 X服从 N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X服从 N（50，42）.（1）若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，XN（40，102），则 406040(60)(2)0.977271010 xP XP 若走第二条路，XN（50，42），则 506050(60)(2.5)0.993844XP XP+故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若 XN（40，102），则 404540(45)(0.5)0.69151010XP X

19、P 若 XN（50，42），则 504550(45)(1.25)44XP XP 只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载 1(1.25)0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些.20.设 XN（3，22），（1）求 P2X 5，P 4X 10，PX2，PX3;（2）确定 c 使 PXc=PXc.【解】（1）23353(25)222XPXP 11(1)(1)1220.8413 10.69150.5328 433103(410)

20、222XPXP 770.999622 (|2)(2)(2)PXP XP X 323323222215151122220.69151 0.99380.6977XXPP 33 3(3)()1(0)0.522XP XP -(2)c=3 21.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在 10.050.12 内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06XPXP 1(2)(2)21(2)0.0456 22.一工厂生产的电子管寿命 X（小时）服从正态分布 N（160，2），若要求 P120X2000.8，允许最大不超过

21、多少？【解】120160160200160(120200)XPXP 只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载 404040210.8 故 4031.251.29 23.设随机变量 X分布函数为 F（x）=e,0,(0),00.xtABx,x （1）求常数 A，B；（2）求 PX2，PX3；（3）求分布密度 f（x）.【解】（1）由00lim()1lim()lim()xxxF xF xF x 得11AB （2）2(2)(2)1eP

22、 XF 33(3)1(3)1(1e)eP XF (3)e,0()()0,0 xxf xF xx 24.设随机变量 X的概率密度为 f（x）=.,0,21,2,10,其他xxxx 求 X的分布函数 F（x），并画出 f（x）及 F（x）.【解】当 x0 时 F（x）=0 当 0 x1 时00()()d()d()dxxF xf ttf ttf tt 20d2xxt t 当 1x0;(2)f(x)=.,0,21,1,10,2其他xxxbx 试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）.【解】（1）由()d1f xx知|021ed2edxxaaxax 故 2a 即密度函数为 e,02()e02xxxf

23、 xx 当 x0 时1()()de de22xxxxF xf xxx 当 x0 时00()()de ded22xxxxF xf xxxx 11e2x 故其分布函数 11e,02()1e,02xxxF xx(2)由12201111()ddd22bf xxbx xxx 得 b=1 即 X的密度函数为 只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载 2,011(),120,xxf xxx 其他 当 x0 时 F（x）=0 当 0 x1 时0

24、0()()d()d()dxxF xf xxf xxf xx 20d2xxx x 当 1x0 时，()()(e)(ln)xYFyP YyPyP Xy ln()dyXfxx 故 2/2lnd()111()(ln)e,0d2yYYxFyfyfyyyyy(2)2(211)1P YX 当 y1 时()()0YFyP Yy 当 y1 时2()()(21)YFyP YyPXy 2111222yyyP XPX (1)/2(1)/2()dyXyfxx 故 d1211()()d4122YYXXyyfyFyffyy (1)/4121e,1212yyy 只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函

25、数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载(3)(0)1P Y 当 y0 时()()0YFyP Yy 当 y0 时()(|)()YFyPXyPyXy ()dyXyfxx 故d()()()()dYYXXfyFyfyfyy 2/22e,02yy 29.设随机变量 XU（0,1），试求：（1）Y=eX的分布函数及密度函数；（2）Z=2lnX的分布函数及密度函数.【解】（1）(01)1PX 故 (1ee)1XPY 当1y 时()()0YFyP Yy 当 1ye 时()(e)(ln)XYFyPyP Xy

26、 ln0dlnyxy 当 ye 时()(e)1XYFyPy 即分布函数 0,1()ln,1e1,eYyFyyyy 故 Y的密度函数为 11e,()0,Yyyfy 其他（2）由 P（0X0 时，()()(2ln)ZFzP ZzPXz /2(ln)(e)2zzPXP X /21/2ed1 ezzx 即分布函数-/20,0()1-e,ZzzFzz0 故 Z 的密度函数为/21e,0()20,zZzfzz0 30.设随机变量 X的密度函数为 f(x)=22,0,0,.xx 其他 试求 Y=sinX的密度函数.【解】(01)1PY 当 y0 时，()()0YFyP Yy 当 0y1 时，()()(sin

27、)YFyP YyPXy (0arcsin)(arcsin)PXyPyX arcsin220arcsin22ddyyxxxx 222211arcsin1 arcsinyy-（）（）2arcsiny 当 y1 时，()1YFy 故 Y的密度函数为 221,01()10,Yyfyy 其他 31.设随机变量 X 的分布函数如下：只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载.)3(,)2(,)1(,11)(2xxxxF 试填上(1),(2),

28、(3)项.【解】由lim()1xF x知填 1。由右连续性+00lim()()1xxF xF x知00 x，故为 0。从而亦为 0。即 21,0()11,0 xF xxx 32.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现 6 点为止，求抛掷次数 X的分布律.【解】设 Ai=第 i 枚骰子出现 6 点。（i=1,2）,P(Ai)=16.且 A1与 A2相互独立。再设 C=每次抛掷出现 6 点。则 121212()()()()()()P CP AAP AP AP A P A 111111666636 故抛掷次数 X服从参数为1136的几何分布。33.随机数字序列要多长才能使数字 0 至少出现一次的概率不小于

29、 0.9?【解】令 X为 0 出现的次数，设数字序列中要包含 n 个数字，则 Xb(n,0.1)00(1)1(0)1C(0.1)(0.9)0.9nnP XP X 即 (0.9)0.1n 得 n22 即随机数字序列至少要有 22 个数字。34.已知 F（x）=.21,1,210,21,0,0 xxxx 则 F（x）是（）随机变量的分布函数.（A）连续型；（B）离散型；（C）非连续亦非离散型.只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载

30、【解】因为 F（x）在（,+）上单调不减右连续，且lim()0 xF x lim()1xF x,所以 F（x）是一个分布函数。但是 F（x）在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故 F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）35.设在区间a,b上，随机变量 X的密度函数为 f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，则区间 a,b等于（）(A)0,/2;(B)0,;(C)/2,0;(D)0,23.【解】在0,2上 sinx0，且/20sin d1x x.故 f(x)是密度函数。在0,上0sin d21x x .故 f(x)不是密度函数。在,02上sin0 x，故 f(x)不是

31、密度函数。在30,2上，当32x 时，sinx0）=1，故 01 e 2X1，即 P（0Y1）=1 当 y0 时，FY（y）=0 当 y1 时，FY（y）=1 当 0y1 时，2()()(e1)xYFyP YyPy 1ln(1)2201(ln(1)22edyxP Xyxy 即 Y的密度函数为 1,01()0,Yyfy 其他 即 YU（0，1）38.设随机变量 X的密度函数为 f(x)=.,0,63,92,10,31其他xx 若 k使得 PXk=2/3，求 k的取值范围.(2000 研考)【解】由 P（Xk）=23知 P（Xk）=13 若 k0,P(Xk)=0 若 0k1,P(Xk)=011d3

32、33kkx 当 k=1 时 P（Xk）=13 若 1k3 时 P（Xk）=10111d0d33kxx 若 3k6，则 P（X6,则 P（Xk）=1 故只有当 1k3 时满足 P（Xk）=23.39.设随机变量 X的分布函数为 只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载 F(x)=.3,1,31,8.0,11,4.0,1,0 xxxx 求 X的概率分布.（1991 研考）【解】由离散型随机变量 X 分布律与分布函数之间的关系，可知

33、X 的概率分布为 X 1 1 3 P 0.4 0.4 0.2 40.设三次独立试验中，事件 A出现的概率相等.若已知 A至少出现一次的概率为 19/27，求 A在一次试验中出现的概率.【解】令 X为三次独立试验中 A出现的次数，若设 P（A）=p,则 Xb(3,p)由 P（X1）=1927知 P（X=0）=（1 p）3=827 故 p=13 41.若随机变量 X在（1，6）上服从均匀分布，则方程 y2+Xy+1=0 有实根的概率是多少？【解】1,16()50,xf x 其他 24(40)(2)(2)(2)5P XP XP XP X 42.若随机变量 XN（2，2），且 P2X4=0.3，则 P

34、X0=.【解】222420.3(24)()XPXP 22()(0)()0.5 故 2()0.8 因此 2022(0)()()XP XP 21()0.2 43.假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂；以概率 0.3 需进一步调试，经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率.只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则

35、故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载【解】设 A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则 A=能直接出厂，AB=经调试后能出厂 由题意知 B=AAB，且()0.3,(|)0.8()()(|)0.3 0.80.24()()()0.70.240.94P AP B AP ABP A P B AP BP AP AB 令 X为新生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则 X6（n，0.94）,故 222()(0.94)(2)C(0.94)(0.06)(2)1(1)()nnnP XnP XnP XnP XnP Xn 11(0.94)0.06(0.94)nnn 44

36、.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 72分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率.【解】设 X为考生的外语成绩，则 XN（72，2）729672240.023(96)1()XP XP 故 24()0.977 查表知 242,即=12 从而 XN（72，122）故 6072728472(6084)121212XPXP (1)(1)2(1)10.682 45.在电源电压不超过 200V、200V240V 和超过 240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2（假设电源

37、电压 X服从正态分布 N（220，252）.试求：（1）该电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时，电源电压在 200240V 的概率【解】设 A1=电压不超过 200V，A2=电压在 200240V，A3=电压超过 240V，B=元件损坏。由 XN（220，252）知 1()(200)P AP X 只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载 2202002202525(0.8)1(0.8)0.212XP 2()(200240)

38、P APX 200220220240220252525(0.8)(0.8)0.576XP 3()(240)10.2120.5760.212P AP X 由全概率公式有 31()()(|)0.0642iiiP BP A P B A 由贝叶斯公式有 222()(|)(|)0.009()P A P B AP ABP B 46.设随机变量 X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量 Y=e2X的概率密度 fY(y).【解】1,12()0,Xxfx 其他 因为 P（1X2）=1,故 P（e2Ye4）=1 当 ye2时 FY（y）=P(Yy)=0.当 e2y1 时，()()(e)(ln)XYFyP Y

39、yPyP Xy ln01e d1yxxy 即 11,1()0,1YyyFyy 故 21,1()0,1Yyyfyy 48.设随机变量 X的密度函数为 fX(x)=)1(12x,求 Y=13x的密度函数 fY(y).【解】33()()(1)(1)YFyP YyPXyP Xy 332(1)(1)311darctg(1)1 arctg(1)2yyxxxy 故 263(1)()1(1)Yyfyy 49.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N（t）服从参数为 t 的泊松分布.（1）求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8

40、 小时的概率 Q.（1993研考）【解】（1）当 tt与N(t)=0 等价，有 只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载()()1()1()0)1etTFtP TtP TtP N t 即 1 e,0()0,0tTtF tt 即间隔时间 T 服从参数为的指数分布。（2）1688e(16|8)(16)/(8)eeQP TTP TP T 50.设随机变量 X 的绝对值不大于 1，PX=1=1/8，PX=1=1/4.在事件 1X1出现的

41、条件下，X 在 1，1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求 X 的分布函数 F（x）=PXx.(1997 研考)【解】显然当 x 1 时 F（x）=0；而 x1 时 F（x）=1 由题知115(11)1848PX 当 1x1 时，1(|11)2xP XxX 此时()()F xP Xx (,11)(,1)(,1)(,11)(,1)(|11)(11)(1)1 5151(1)288168P XXP Xx XP Xx XP XxXP Xx xP XxXPXP Xxx 当 x=1 时，1()()(1)8F xP XxP X 故 X的分布函数 0,151()(1),-1 x11681,1

42、xF xxx 51.设随机变量 X服从正态分 N（1,12),Y 服从正态分布 N(2,22)，且 P|X-1|P|Y-2|1，试比较 1与 2的大小.(2006 研考)解：依题意 11(0,1)XN，22(0,1)YN，则 111111XP XP，222211YP YP.只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概优秀学习资料 欢迎下载 因为1211P XP Y，即 11112211XYPP，所以有 1211，即12.只作不放回抽样以表示取出的次品个数求的分布律的分布函数并作图解函数并求次射击中至少击中次的概率解设表示击中目标的次数则故的分知即甲乙两人投篮投中的概率分别为今各投次求两人投中次数相等的概