2023年《集合及其运算》知识全面汇总归纳(最详细)与练习1.pdf

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1、集合及其运算知识总结与练习 集合论是德国著名数学家康托尔于 19 世纪末创立的.1874 年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于 1873 年 12 月 7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元

2、素组成的总体叫做集合.集合元素的特征：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果 a 是集合 A的元素，就说 a 属于(belong to)集合 A，记作：aA；如果 a 不是集合 A的元素，就说 a 不属于(not belong to)集合 A，记作：aA.常见数

3、集的表示 非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作 N；正整数集：所有正整数的集合，记作 N*或 N+；整数集：全体整数的集合，记作 Z；有理数集：全体有理数的集合，记作 Q；实数集：全体实数的集合，记作 R.把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与a不同.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为|xA P，其中 x代表元素，P 是确定条件.小结：描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2(,)|1x yyx与2|1y yx不同.只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如|1x

4、x，|3,x xk kZ.集合的 已包含“所有”的意思，例如：整数，即代表整数集 Z，所以不必写全体整数.下列写法实数集，R也是错误的.列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.知识拓展 1.描述法表示时代表元素十分重要.例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：|x x是直角三角形，也可以写成：直角三角形；（2）集合2(,)|1x yyx与集合2|1y yx是同一个集合吗？2.我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称 Venn图.子集、相等、真子集、空集的概念：如果集合 A的任意一个元素都

5、是集合 B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合 B 的子集（subset），记作：()ABBA或，读作：A 包含于（is contained in）B，或 B 包含(contains)A.当集合 A不包含于集合 B时，记作AB.在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn图.用 Venn图表示两个集合间的“包含”关系为：()ABBA或.集合相等：若ABBA且，则AB中的元素是一样的，因此AB.真子集：若集合AB，存在元素xBxA且，则称集合 A是集合 B 的真子集（proper subset），记作：A B（或 B A），读作：A真包含于 B（或 B真

6、包含 A）.空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：.并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.集合 A的元素个数 A的子集个数 A的真子集个数 A的非空真子集个数 0 1 0 0 1 2 1 0 2 4 3 2 n 2n 2n-1 2n-2 列举法与字典排列法：A中有 10 个元素，问：A的子集中，含有 2 个元素的子集有多少？交集、并集：一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫作 A、B 的交集（intersection set），记作 AB，读“A交 B”，即：|,.ABx xAxB且 Venn图如右表示.交的性质：（1）AA

7、=A；(2)A=；（3）AB=BA；（4）ABA，ABB；（5）若AB，则 AB=A。类比说出并集的定义.由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的并集（union set），记作：AB，读作：A并 B，用描述法表示是：|,ABx xAxB或.Venn图如右表示.B A A B B A 把康托尔于年月日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集比皆是学习它可为参阅一般科技读物以后学习数学知识准备必要的条件特征确定性某一个具体对象它或者是一个给定的集合的元素或者不是该并的性质：（1）AA=A；(2)A=A；（3）AB=BA；（4）AAB，B AB；（5）若A

8、B，则 AB=B。如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的 ，记作 .若集合AB，存在元素xBxA且，则称集合A是集合B的 ，记作 .若ABBA且，则 .两个集合的 部分、部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：AB ；AB .全集、补集：全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作 U.补集：已知集合 U,集合 AU，由 U 中所有不属于 A的元素组成的集合，叫作 A相对于 U 的补集（complementary set），记作：UC A，读作：“A 在 U 中补集”，即|,UC Ax xUxA且.补

9、集的 Venn图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.补的性质：（设 U 为全集）（1）CU(CUA)=A；(2)CUU=;(3)CU=U；（4）（CUA）A=；（5）（CUA）A=U;(6)若AB，则 CUA CUB;(7)反演律：CU(AB)=(CUA)(CUB)；CU(AB)=(CUA)(CUB)。1.集合有哪几种表示方法？2.定义|,ABx xAxB 但。若 A=1，2，3，4，5,B=2,4,6,8，求 AB；BA；A(AB)。3.设 A=0,1，Bx xA，试用列举法表示 B，并指出 A与 B的关系。4.由集合 A的所有子集构成的集

10、合叫做 A的幂集，记作 2A。若 A=0,1,2，则 2A=。把康托尔于年月日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集比皆是学习它可为参阅一般科技读物以后学习数学知识准备必要的条件特征确定性某一个具体对象它或者是一个给定的集合的元素或者不是该5.指出与之间的关系，讨论 A与A 之间的关系。6.用列举法表示下列集合：15 以内质数的集合；方程2(1)0 x x 的所有实数根组成的集合；一次函数yx与21yx的图象的交点组成的集合.用列举法表示“一次函数yx的图象与二次函数2yx的图象的交点”组成的集合.7.下列说法正确的是（）.A某个村子里的高个子组成一个集合 B所有小正数组成一个集合 C

11、集合1,2,3,4,5和5,4,3,2,1 表示同一个集合 D1 3 611,0.5,2 2 44这六个数能组成一个集合 8.给出下列关系：12R；2Q；3N；3.Q 其中正确的个数为（）.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9.直线21yx与y轴的交点所组成的集合为（）.A.0,1 B.(0,1)C.1,02 D.1(,0)2 10.集合1,2、(1,2)、(2,1)、2,1 的元素分别是什么？四个集合有何关系？11.探究：比较如下表示法 方程210 x 的根；1,1；2|10 xR x.12.用描述法表示下列集合.（1）方程340 xx的所有实数根组成的集合；（2）所有奇数组成的集合.

12、13.试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线21yx上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327xyxy解集.14.以下三个集合有什么区别.（1）2(,)|1x yyx；（2）2|1y yx；（3）2|1x yx.15.已知集合|33,AxxxZ ，集合2(,)|1,Bx yyxxA.试用列举法分别表示集合 A、B.16.若集合 1,3A，集合2|0Bx xaxb，且AB，求实数 a、b.把康托尔于年月日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集比皆是学习它可为参阅一般科技读物以后学习数学知识准备必要的条件特征确定性某一个具体对象它或者是一个给定的集合的元素或者不是该17.思

13、考下列问题.（1）符号“aA”与“aA”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.18.若集合|Ax xa，|250Bxx，且满足AB，求实数a的取值范围.19.已知集合|5Ax ax，|2Bx x，且满足AB，则实数a的取值范围为 .当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.下列结论正确的是（）.A.A B.0 C.1,2Z D.00,1 2.设 1,Ax xBx xa，且AB，则实数a的取值范围为（）.A.1a B.1a C.1a D.1a 3.若21,2|0 x xbxc，则（）.A.3,2bc B.3,2bc

14、 C.2,3bc D.2,3bc 4.满足,dcbaAba的集合A有 个.5.设集合,ABC四边形平行四边形矩形，D 正方形，则它们之间的关系是 ，并用Venn图表示.20.已知2|0Ax xpxq，2|32 0Bx xx 且AB，求实数 p、q 所满足的条件.21.设(,)|46Ax yxy，(,)|327Bx yxy，求 AB.变式：（1）若(,)|46Ax yxy，(,)|43Bx yxy，则AB ；（2）若(,)|46Ax yxy，(,)|8212Bx yxy，则AB .反思：上题及变式的结论说明了什么几何意义？22.设|Ax xa，|03Bxx，若AB ，求实数a的取值范围是 .23

15、.已知全集 I=小于 10 的正整数，其子集 A、B 满足()()1,9IIC AC B，()4,6,8IC AB，2AB.求集合 A、B.把康托尔于年月日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集比皆是学习它可为参阅一般科技读物以后学习数学知识准备必要的条件特征确定性某一个具体对象它或者是一个给定的集合的元素或者不是该24.分别用集合A、B、C表示下图的阴影部分.（1）；（2）；（3）；（4）.25.已知全集1,2,3,4,5U，若ABU，AB，()1,2UAC B，求集合 A、B.26.若 22430,1 0Ax xxBx xaxa ，210Cx xmx,ABA ACC且，求实数 a、

16、m 的值或取值范围 变式：设2|8150Ax xx ，|10Bx ax，若 BA，求实数 a 组成的集合。27.设 Axx2axa2190，Bxx25x60，Cxx22x80（1）若AB，求 a 的值；（2）若AB，AC，求a的值 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.如果集合A=x|ax22x1=0 中只有一个元素，则a的值是（）.A0 B 0 或 1 C1 D 不能确定 2.集合A=x|x=2n，nZ，B=y|y=4k，kZ，则A与B的关系为（）.AAB BAB CA=B DAB 3.设全集1,2,3,4,5,6,7U，集合1,3,5A，集合3,5B，则（）.AUAB B()

17、UUC AB C()UUAC B D()()UUUC AC B 4.满足条件1,2,3M 1,2,3,4,5,6的集合M的个数是 .5.设集合2|3My yx，2|21Ny yx，则MN .28.设全集|5,*Ux xxN且，集合2|50Ax xxq，2|120Bx xpx，且()1,2,3,4,5UC AB，求实数p、q的值.29.设集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2-ax+3a-5=0.若AB=B，求实数 a 的取值范围.把康托尔于年月日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集比皆是学习它可为参阅一般科技读物以后学习数学知识准备必要的条件特征确定性某一个具体对象它或者是一个给定的集合的元素或者不是该 把康托尔于年月日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集比皆是学习它可为参阅一般科技读物以后学习数学知识准备必要的条件特征确定性某一个具体对象它或者是一个给定的集合的元素或者不是该