2023年奥数数的整除讲义、练习含超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf

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1、 1 数的整除（1）性质、特征、奇偶性 【知识要点】：整除性质：（1）如果数 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和（a+b）或差（ab）也能被 c 整除。（2）如果数 a 能被自然数 b 整除，自然数 b 能被自然数 c 整除，则数a 必能被数 c 整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被 4（或 25）整除，则这个数能被 4（或 25）整除。（

2、2）若一个数的末三位数能被 8（或 125）整除，则这个数能被 8（或125）整除。（3）若一个数的各位数字之和能被 3（或 9）整除，则这个数能被 3（或 9）整除。（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被 11 整除。（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被 7（或 13）整除，则这个数能被 7（或 13）整除。2 奇偶性：（1）奇数奇数=偶数（2）偶数偶数=偶数（3）奇数偶数=奇数（4）奇数奇数=奇数（5）偶数偶数=偶数（6）奇数偶数=偶数（7）奇数奇数=奇数（8）【典型例题】例 1：一个三位数能被

3、 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？例 2：1200 这 200 个自然数中，能被 6 或 8 整除的数共有多少个？这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 3 例 3：任意取出 1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例 4：有“1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取

4、出三张组成三位数，其中偶数有多少个？这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 4【精英班】【竞赛班】例 6：某市举办小学生数学竞赛，共 20 道题，评分标准是：答对一题给 5 分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，如果 1999 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这

5、个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 5 【课后分层练习】A组：入门级 1、判断 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？2、abcabc能否被 7、11 和 13 整除?这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整

6、除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 6 3、六位数 7E36F5 是 1375 的倍数，求这个六位数。4、已知108971能被 13 整除，求 中的数。这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 7 5、有 8 个学生都面向南站成一排，每次只有 7 个学生向后转，最

7、少要做多少次才能使 8 个学生都面向北？B组：进阶级 1、有一个四位数 3AA1，它能被 9 整除，那么数 A 代表多少？这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 8 2、一个一百位数由 1 个 1，2 个 2，3 个 3，4 个 4，5 个 5，6 个 6，7个 7，及 72 个 0 组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？3

8、、某市举办小学生数学竞赛，共 30 道题，评分标准是：基础分 15 分，答对一题给 5 分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，如果 199 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 9 4、已知 108971 能被 13 整除，求中的数。C组：挑战级 1、能不能将从 1 到 10 的各

9、数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 1 0 2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？3、左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始

10、，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 1 1 【典型例题】例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是 17 的倍数的数中最大的为 175=85（176=102）.于是所求数的前两位数字为 85.因为

11、8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8 时，该数能被 3 整除，为使该数最大，其个位数字应为 8.最大三位数是 858.例 2：1200 这 200 个自然数中，能被 6 或 8 整除的数共有多少个？解：1200 中，能被 6 整除的数共有 33 个（2006=33），能被 8整除的数共有 25 个（2008=25）.但6，8=24，20024=88，即 1200 中，有 8 个数既被 6 整除，又被 8 整除。故总共有：33+258=50。例 3：任意取出 1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？解：任意取出的 1998 个连续自然数，其中奇数、偶数各占一半，即999 个奇数

12、和 999 个偶数。999 个奇数的和是奇数，999 个偶数的和是偶数，奇数加上偶数和为奇数，所以它们的和是奇数。例 4：有“1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？解：组成的三位数个位数字只能是 2 或 4 两种情况，若个位数字是 2，百位、十位数字可从余下的数字中取，这样可组成 32=6（个）三位偶数；若个位数字是 4，同样也可以组成 6 个三位偶数。这样总共 12这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则

13、这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 1 2 个。【精英班】解：根据能被 7 整除的数的特征，555555 与 999999 都能被 7 因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被 7 整除，所以等号右边第二个数也能被 7 整除，推知 5599 能被 7 整除。根据能被 7 整除的数的特征，99-55=44 也应能被 7 整除。由44 能被 7 整除，易知内应是 6。【竞赛班】例 6：某市举办小学生数学竞赛，共 20 道题，评分标准是：答对一题给 5 分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，如果 199

14、9 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？解：对于每个学生来说，20 道题都答对，共得 520=100 分（偶数）。若该学生答错一题，应从 100 分中扣（5+1=6）分，无论他答错多少道题，扣分的总数应是 6 的倍数，即扣分的总数也是偶数，100 分中扣除偶数分仍得偶数分；同样若他不答一题，应从 100 分中扣除（51=4）分，无论他不答多少道题，扣分的总数应是 4 的倍数，即扣分的总数也是偶数，所以 100分中减去偶数仍得偶数，每个学生得分数是偶数，那么无论有多少人参加数学竞赛，学生得分的总数和一定是偶数。这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整

15、除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 1 3 【课后分层练习】A组：入门级 1、判断 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？解：因为 371-306=65，65 是 13 的倍数，不是 7 的倍数，所以 306371 能被13 整除，不能被 7 整除。2、abcabc 能否被 7、11 和 13 整除?3、六位数 7E36F5 是 1375 的倍数，求这个六位数。解：因为 1375=55511=

16、12511，根据能被 125 整除数的特征，这个数的末三位能被 125 整除，可知道 F=2，又因为这个数是 11 的倍数，所以 7+3+2（E+6+5）1E 是 11 的倍数，那么 E=1.所以这个六位数是 713625.4、已知 108971能被 13 整除，求 中的数。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的个位数是 7，若是 13 的倍数，则必是 13 的 9 倍，由 13 9-37=80，推知 中的数是 8。5、有 8 个学生都面向南站成一排，每次只有 7 个学生向后转，最少要做多少次才能使 8 个学生都面向北？解：对于每个人只要向后转奇数次，就能面向北。由于每一轮

17、恰有 7这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 1 4 个学生向后转，8 个学生向后转的次数总和为 78=56（次）。因此最少要做 567=8（次）才能使 8 个学生都面向北。B组：进阶级 1、有一个四位数 3AA1，它能被 9 整除，那么数 A 代表多少？解：3+A+A+1=4+2A，根据能被 9 整除数的特征，4+2A 是 9

18、 的倍数。因为 4+2A 是偶数，所以 4+2A=18，A=7.2、一个一百位数由 1 个 1，2 个 2，3 个 3，4 个 4，5 个 5，6 个 6，7个 7，及 72 个 0 组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？解：任何一个自然数的平方除以 3 都余 1 或 0.而这个一百位数的数字和是 140，140 除以 3 余 2，所以这个一百位数不可能是完全平方数。3、某市举办小学生数学竞赛，共 30 道题，评分标准是：基础分 15 分，答对一题给 5 分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，如果 199 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？解：仿照例 6：这 199 位同学

19、的得分总分是奇数。4、已知 108971 能被 13 整除，求中的数。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的个位数是 7，若是 13 的倍数，则必是 13 的 9 倍，由 13 9-37=80，推知 中的数是 8。C组：挑战级 1、能不能将从 1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被 3 整除？这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个

20、数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数 1 5 解：10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有 5 组，每组的两数之和都能被 3 整除，推知 110 的和也应能被3 整除。实际上，110 的和等于 55，不能被 3 整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？解：因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的 2

21、倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为 1+2+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是 4 矛盾。所以不可能变成右上表。3、左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？解：如右上图所示，将相邻的房间黑、白相间染色。无论从哪个房间开始走，因为总是黑白相间地走过各房间，所以走过的黑、白房间数最多相差 1。而右上图有 7 黑 5 白，所以不可能不重复地走遍每一个房间。这个数整除如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除那么这个数能被这两个互质数的积整除反之若一个数能被两或整除若一个数的末三位数能被或整除则这个数能被或整除若一个数的各位数字之和能被或整除则这个数能被或整除数与末三位以前的数字所表示的数之差大数减小数能被或整除则这个数能被或整除奇偶性奇数奇数偶数偶数偶数偶数