2023年定积分的概念精品教案.pdf

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1、 教学课题 选修 2-2 第一章 1.5.3 定积分的概念 课标要求 一、知识与技能：1通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分 3理解掌握定积分的几何意义；二、过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。三、情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。识记 理解 应用 综合 知识点 1 定积分的概念和表示 知识点 2 定积分的几何意义 知识点 3 定积分的求法和基本性质 目标设计 1.定积分的概念 2.定

2、积分法求简单的定积分 3.定积分的几何意义 情境一：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限 ininniixfnxfS1101limlim ininniitvntvS1101limlim 事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限。那能否用一个统一的概念将它们都涵盖呢？定积分的概念：一般地，设函数()f x在区间,a b上连续，用分点bxxxxxxanii.1210 将区间,a b等分成n个小区间，每个小区间长度为x（b axn），在每个小区间1,iixx上取一点1,2,iin，作和1

3、1()()nnniiiib aSfxfn如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()f x在区间,a b上的定积分。记为()baSf xdx（其中a，b分别叫做积分上限和积分下限，,a b为积分区间，()f x成为被积函数，x叫做积分变量，dxxf)(叫做被积式）。知识点 认知层次 问题 1：定积分主要取决于哪些因素？（被积函数与积分上、下限）问题 2：定积分的大小与积分变量所用字母有无关系？即dxxfba)(与badttf)(、baduuf)(是何关系？（三者相等）问题 3：定积分是不是等于xfini)(1？（不是，应该是当n时该式子的极限，是一个确

4、定常数）问题 4：“函数()f x在区间,a b上连续”是否可以去掉？为什么？（不可以。因为它是定积分存在的保证。实际上，函数连续是定积分存在的充分不必要条件）问题 5：被积式dxxf)(表示的是不是)(xf和dx的乘积，定积分的表示符号能否分割开？（不是。定积分的表示符号是一个不可分割的整体）情境二：定积分的几何意义：从几何上看，如果在区间a,b 上的函数()f x连续且恒有()0f x。那么定积分()baf x dx表示由直线,xa xb（ab），0y 和曲线()yf x所围成的曲边梯形的面积。仔细研读定积分的几何意义，回答右面的问题 问题 1：若在区间,ba上，函数0)(xf时，曲边梯形

5、落在x轴的下方，此时dxxfba)(还等于曲边梯形的面积吗？(不等于。应该是其面积的相反数，即Sdxxfba)()问题 2：当)(xf在区间,ba上有正有负时，定积分表示的应该是什么？（表示介于x轴，函数)(xf的图像及直线)(,babxax之间各部分面积的代数和。（在x轴上方的取正，在x轴下方的取负）问题 3：babadxxfdxxf)(,)(与badxxf)(在几何意义上是否相同？情境三：学生探究：由定积分的定义及几何意义，你能否总结出求定积分的方法步骤？分割：n等分区间,a b；近似代替：取点1,iiixx；求和：1()niibafn；取极限：1()limnbianib af xdxfn

6、 例 1：利用定积分的定义，计算103dxx的值。（参考公式：223333)1(41.321nnn）例 2：说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：（1）102dx；（2）21)23(dxx；（3）1121dxx【课堂练习】：利用定积分的定义求由2,0 xxyy围成的平面区域的面积。x o y b a a b x y O A1 A2 A3 A4 意义二过程与方法通过问题的探究体会逼近以直代曲的数学思想方法三的概念和表示知识点定积分的几何意义知识点定积分的求法和基本性质代替求和取极得到解决且都归结为求一个特定形式和的极事实上许多问情境四：再探究：通过对例题的研究，试着自己得出定积

7、分的基本性质 性质 1：babadxxfkdxxkf)()(（其中k是不为 0 的常数）性质 2：1212()()()()bbbaaaf xf x dxf x dxf x dx （以上两性质为定积分的线性性质）性质 3：bccabadxxfdxxfdxxf)()()(（bca）（定积分对积分区间的可加性）例 3：利用定积分的性质求下列定积分：（1）3332)9(xx（2）已知 5,3,225)3,2,4)2,0,)(xxxxxxxf，求)(xf在 5,0上的定积分。变式练习：求直线2xy和曲线xy2所围成的平面区域的面积。思考？如何求奇、偶函数在区间,aa上的定积分？习题设计：1.由 y=si

8、nx,x=0,x=2,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 （知识点 1，易）2.定积分badxxf)(的大小 （）（知识点 1，易）A与)(xf和积分区间ba,有关，与i的取法无关 B 与)(xf有关，与区间ba,及i的取法无关 C与)(xf和i的取法有关，与积分区间ba,无关 D 与)(xf、区间ba,和i的取法都有关 3.定积分bacdx（c 为常数）的几何意义是 （知识点 2，易）4.下列等式成立的个数是（）（知识点 3，中）1010)()(dxxfdttf dxxdxxxdx0220sinsinsin dxxdxxaaa02 2020224dxdxx A、1 B、2 C、3 D、4 5.计算下列定积分(1)203dxx(2)dxx2224(3)2110)1()1(dxxdxx（知识点 3，难）意义二过程与方法通过问题的探究体会逼近以直代曲的数学思想方法三的概念和表示知识点定积分的几何意义知识点定积分的求法和基本性质代替求和取极得到解决且都归结为求一个特定形式和的极事实上许多问