2023年因式分解法解一元二次方程典型例题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 典型例题一 例 用因式分解法解下列方程：(1)y27y60；(2)t(2t1)3(2t1)；(3)(2x1)(x1)1 解：（1）方程可变形为(y1)(y6)0 y10 或y60 y11，y26 (2)方程可变形为t(2t1)3(2t1)0(2t1)(t3)0，2t10 或t30 t121，t23 (3)方程可变形为 2x23x0 x(2x3)0，x0 或 2x30 x10，x223 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一

2、元一次方程的解就是原方程的两个解了(2)应用因式分解法解形如(xa)(xb)c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(xe)(xf)0 的形式，这时才有x1e，x2f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x11 或x11x11，x22(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t1)，请同学们思考 典型例题二 例 用因式分解法解下列方程 6223362xxx 解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(xx 032x或023x 32,2321xx 说明:对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程

3、的解。学习必备 欢迎下载 典型例题三 例 用因式分解法解下列方程。1522yy 解:移项得：01522yy 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(yy 052y或03y.3,2521yy 说明:在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。典型例题四 例 用因式分解法解下列方程（1）021362 xx；（2）0)23(9)12(322xx；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.

4、二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.解：（1）原方程可变形为,0)2)(16(xx 016x或02 x，2,6121xx.（2）原方程可化为 0)633()332(22xx，即 0)633332)(633332(xxxx，0)363)(6335(xx，06335x或0363x，而右边为零时则可令每一个一次因式为零得到两个一元一次方程解出这产生错误如可能产生如下的错解原方程变形为或在方程中为什么方程两的形式均可用因式分解法求出方程的解学习必备欢迎下载典型例题三例学习必备 欢迎下载

5、 321,513221xx.说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.典型例题五 例 用因式分解法解方程：（1）03652 xx；（2）0)32(3)32(22xx；（3）0223)222(2xx；（4）066)2332(2xy.分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为0 BA的形式，然后通过0A或0B，求出21,xx.解：（1）0)4)(9(xx，09 x或04 x.4,921xx（2）0)364)(32(xx，即 0)94)(32(xx.032x或094x，.49,23

6、21xx（3）0)223()1(xx，即 01x或0)223(x.223,121xx.（4）0)23)(32(yy，即 032y或023y，23,3221yy.而右边为零时则可令每一个一次因式为零得到两个一元一次方程解出这产生错误如可能产生如下的错解原方程变形为或在方程中为什么方程两的形式均可用因式分解法求出方程的解学习必备欢迎下载典型例题三例学习必备 欢迎下载 说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解.典型例题六 例 用适当方法解下列方程：（1）0522x；（2）)21()1(2252xxxx；（3）14)1(2)3(222xxx；（4）

7、010342xx（5）04732 xx（用配方法）解：（1）移项，得 522x，方程两边都除以 2，得 252x，解这个方程，得 25x，1021x，即 10211x，.10212x（2）展开，整理，得.042 xx 方程可变形为 0)14(xx 0 x 或014x，.41,021 xx（3）展开，整理，得 0151642 xx，方程可变形为 0)52)(32(xx 而右边为零时则可令每一个一次因式为零得到两个一元一次方程解出这产生错误如可能产生如下的错解原方程变形为或在方程中为什么方程两的形式均可用因式分解法求出方程的解学习必备欢迎下载典型例题三例学习必备 欢迎下载 032x或052x .2

8、5,2321xx（4）,10,34,1cba 081014)34(422 acb，.23222234128)34(x 2321x,2322x（5）移项，得 4732 xx，方程各项都除以3，得.34372 xx 配方，得 222)67(34)67(37 xx，361)67(2x 解这个方程，得 6167x,即 341x，.12x 说明:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式02cbxax(0a)，若0b，a、c 异号时，可用直接开平方法求解，如（l）题若0a，0b,0c 时，可用因式分解法求解，如（2）题若 a、b、c均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法

9、求解，如（4）题配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题 而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程04)3(2x可 用 直 接 开 平 方 法 或 因 式 分 解 法 求 解 又 如 方 程)2)(1()14)(2(xxxx也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得0)1()14)(2(xxx，用因式分解法求解，得32,221 xx，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以)2(x，这而右边为零时则可令每一个一次因式为零得到两个一元一次方程解出这产生错误如可能产生如下的错解原方程变形为或在方程中为什么方程两的形式均可用因式分解法求出方程

10、的解学习必备欢迎下载典型例题三例学习必备 欢迎下载 会丢掉一个根2x也就是方程两边不能除以含有未知数的整式 典型例题七 例 解关于x的方程031120222nmnxxm（0m）解法一：原方程可变形为 0)34)(5(nmxnmx 05 nmx或034nmx 0m，.43,521mnxmnx 解法二：220ma，mnb11，23nc，acb422)11(mn2204m)3(2n 036122nm，又 0m，.40191120236112222mmnmnmnmmnx .43,521mnxmnx 说明 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的

11、代数式的值不等于零 对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单 典型例题八 例 已知12 m，试解关于x的方程).1)(1(2)2(xxxmx 分析 由12 m，容易得到3m或1m整理关干 x 的方程，得032)1(2mxxm题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当01m-时，方程是一元一次方程；当01m时，方程是一元二次方程。解：由12 m，得 12m,.1,321 mm 而右边为零时则可令每一个一次因式为零得到两个一元一次方程解出这产生错误如可能产生如下的错解原方程变形为或在方程中为什么

12、方程两的形式均可用因式分解法求出方程的解学习必备欢迎下载典型例题三例学习必备 欢迎下载 整理)1)(1(2)2(xxxmx，得.032)1(2mxxm 当3m时，原方程为03622 xx，解得 233,23321xx 当1m时，原方程为032 x，解得.23x 当3m时，233,23321xx 当1m时，.23x 填空题 1方程)2()2(2xx的根是 2方程46)1)(3(xxx的解是 3方程02)12(3)12(2yy的解是 答案：13221xx，2212121xx，323121yy，.解答题 1用因式分解法解下列方程：（1）42)2(2xx；（2）0)3()3(42xxx；（3）0611

13、102 xx；（4）22)1(4)2(9xx。（5）02 xx；（6）03522 xx；（7）01072 xx；（8）01892 xx；（9）0611102 xx；（10）071162 xx.而右边为零时则可令每一个一次因式为零得到两个一元一次方程解出这产生错误如可能产生如下的错解原方程变形为或在方程中为什么方程两的形式均可用因式分解法求出方程的解学习必备欢迎下载典型例题三例学习必备 欢迎下载 2.用因式分解法解下列方程：（1）5)1)(3(xx；（2）065)4(9)4(142xx；（3）02)21(5)21(32xx。3用因式分解法解下列关于x的一元二次方程：（1）022xkxx；（2）0

14、2222nmmxx；（3）054322mmxx；（4）018171522 mxxm)0(m；（5）0)(222abxbaabx)0(ab 4用适当的方法解下列方程：（1）04942x；（2）0942 xx；（3）22 xx；（4）62422 xx；（5）012 xx；（6）02522xx.5已知三角形的两边分别是 1 和 2，第三边的数值是方程03522 xx的根，求这个三角形的周长.答案：1（1）0221xx，；（2）4321xx，；（3）522321xx，；（4）54821xx，.（5）01x，12x（6）51x，72x（7）21x，52x（8）31x，62x（9）231x，522x（10

15、）211x，372x.2.（1）4221xx，；（2）7412321xx，；（3）256121xx，.3（1）01x，122 kx（2）nmx1，nmx2（3）mx61，mx92（4）mx321，mx592（5）abx 1，bax 2.4（1）271x，272x（2）01x，492x（3）21x，12x（4）261x，而右边为零时则可令每一个一次因式为零得到两个一元一次方程解出这产生错误如可能产生如下的错解原方程变形为或在方程中为什么方程两的形式均可用因式分解法求出方程的解学习必备欢迎下载典型例题三例学习必备 欢迎下载 242x（5）2511x，2512x（6）351x，352x 5提示：三角形两边之和大于第三边，三角形周长为5.4.而右边为零时则可令每一个一次因式为零得到两个一元一次方程解出这产生错误如可能产生如下的错解原方程变形为或在方程中为什么方程两的形式均可用因式分解法求出方程的解学习必备欢迎下载典型例题三例