2023年圆锥曲线的切线方程全面汇总归纳附证明.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第 75 页例题 2，给出了经过圆222ryx上一点),(00yxM的切线方程为200ryyxx；当),(00yxM在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为200ryyxx。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。联想一：（1）过椭圆)0(12222babyax上一点),(00yxM切线方程为12020byyaxx；（2）当),(00yxM在椭圆12222byax的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020byyaxx 证明：（1）22221xyab的

2、两边对x求导，得22220 xyyab，得02020 x xb xya y，由点斜式得切线方程为200020()b xyyxxa y，即22000022221x xy yxyabab。（2）设过椭圆)0(12222babyax外一点),(00yxM引两条切线，切点分别为),(11yxA、),(22yxB。由（1）可知过A、B两点的切线方程分别为：12121byyaxx、12222byyaxx。又因),(00yxM是两条切线的交点，所以有1201201byyaxx、1202202byyaxx。观 察 以 上 两 个 等 式，发 现),(11yxA、),(22yxB满 足 直 线12020byya

3、xx，所以过两切点A、B两点的直线方程为12020byyaxx。评注：因),(00yxM在椭圆)0(12222babyax上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程12020byyaxx表示直线的几何意义亦不同。联想二：（1）过双曲线)0,0(12222babyax上一点),(00yxM切线方程为12020byyaxx；（2）当),(00yxM在双曲线12222byax的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020byyaxx。（证明同上）联想三：（1）过圆锥曲线220AxCyDxEyF（A，C 不全为零）上的点),(00yxM的 切 线 方 程 为0000022xxyy

4、Ax xCy yDEF；（2）当精品资料 欢迎下载),(00yxM在圆锥曲线220AxCyDxEyF（A，C 不全为零）的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：0000022xxyyAx xCy yDEF 证明：（1）两边对x求导，得220AxCyyDEy 得00022x xAxDyCyE，由点斜式得切线方程为00002()2AxDyyxxCyE 化简得2200000022220Cy yCyEyEyAx xDxAxDx.因为2200000AxCyDxEyF 由2 可求得切线方程为：0000022xxyyAx xCy yDEF （2）同联想一（2）可证。结论亦成立。根据前面的特点

5、和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点),(00yxM的切线方程为：把原方程中的2x用0 x x代换，2y用0y y代换。若原方程中含有x或y的一次项，把x用02xx代换，y用02yy代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点),(00yxM在曲线外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：0000022xxyyAx xCy yDEF 通过以上联想可得出以下几个推论：推 论 1：（1）过抛 物线)0(22ppxy上 一 点),(00yxM切 线 方 程 为)(00 xxpyy；（2）过抛物线)0(22ppxy的外部一点),(00yxM引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(0

6、0 xxpyy 推论 2：（1）过抛物线)0(22ppxy上一点),(00yxM切线方程为)(00 xxpyy；（2）过抛物线)0(22ppxy的外部一点),(00yxM引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00 xxpyy。推 论 3：（1）过 抛 物 线)0(22ppyx上 一 点),(00yxM切 线 方 程 为)(00yypxx；（2）过抛物线)0(22ppyx的外部一点),(00yxM引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00yypxx。推论 4：（1）过抛物线)0(22ppyx上一点),(00yxM切线方程为)(00yypxx；（2）过抛物线)0(22ppyx的外部一点

7、),(00yxM引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00yypxx。在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。联想那么在圆锥曲线中又联想一过椭圆上一点切线方程为当在椭圆的外方程分别为又因是两条切线的交点所以有观察以上两个等式发现满足直线的外部时过引切线有两条过两切点的弦所在直线方程为证明同上联想精品资料 欢迎下载 联想那么在圆锥曲线中又联想一过椭圆上一点切线方程为当在椭圆的外方程分别为又因是两条切线的交点所以有观察以上两个等式发现满足直线的外部时过引切线有两条过两切点的弦所在直线方程为证明同上联想