2023年新苏科版九年级数学下册《6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件综合》精品讲义_17.pdf

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1、探索三角形相似的条件习题课熟练掌握相似三角形的判定方法1、2：两角分别相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(二)预习交流，人人过关1已知 ABC 如图所示则与ABC 相似的是下列图中的（）A B C D 2如图，在RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则图中相似三角形的对数有（）A0 对B1 对C2 对D 3 对第 2 题图第 3 题图第 4 题图3如图，要使ADE和 ABC 相似，请你添加一个条件4如图，在矩形ABCD 中，E为 AD 上一点，EFEC 交 AB 于 F，连接 FC，AEF与 DCE 是否相似？请加以说明(三)梳理考点，形成体系利用两边成比例且夹角相

2、等的两个三角形相似例 1如图，已知ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB=6，AC=4，AD=3，当 AP 的长度为时，ADP 与 ABC 相似利用两角分别相等的两个三角形相似例 2如图，点C、D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形，若APB=120，求证：ACP PDB变式如图，ABC 是等边三角形，D 为 CB 延长线上一点，E为 BC 延长线上点（1）当 BD、BC 和 CE 满足什么条件时，ADB EAC？（2）当 ADB EAC时，求 DAE 的度数(四)典例讲解，展示提升例 3如图，ABBD，CDBD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点 P

3、 在 BD 上由点 B 向点 D 方向移动，当BP 等于多少时，APB 和 CPD 相似？例 4感知：如图，在四边形ABCD 中，AB CD，B=90，点 P 在 BC 边上，当 APD=90 时，可知ABP PCD（不要求证明）探究：如图，在四边形ABCD中，点 P 在 BC 边上，当 B=C=APD 时，求证：ABP PCD拓展：如图，在ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点D、E 分别在边 AB、AC 上若 B=C=DPE=45，BC=6，CE=4，则 DE 的长为(五)达标检测，反 馈评 价1如图，已知1=2，欲证 ADE ACB，可补充条件（）A B=C BDE=AB C D=E

4、 D D=C 第 1 题图第 2 题图第 3 题图2如图，在 ABC 中，AB=6cm，AC=12cm，动点 D 从 A 点出发到B 点止，动点 E 从 C 点出发到A 点止 点D 运动的速度为1cm/s，点 E 运动的速度为2cm/s 如果两点同时运动，那么当以点A、D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是（）A3 s 或 4.8 s B 3 s C4.5 s D4.5 s 或 4.8 s 3如图所示，在ABC 中，ABC=90 ，BDAC，DEBC，垂足分别为D、E 两点，则图中与ABC 相似的三角形有（）A4 个B3 个C2 个D1 个4如图，四边形ABCD 中，A=B=9

5、0 ，P 是线段 AB 上的一个动点（1）若 AD=2，BC=6，AB=8，且以 A，D，P 为顶点的三角形与以B，C，P 为顶点的三角形相似，求AP 的长；（2）若 AD=a，BC=b，AB=m，则当 a，b，m 满足什么关系时，一定存在点P 使 ADP BPC？并说明理由(六)课堂小 结，布置作 业1如图，D 是 ABC 一边 BC 上一点，连接AD，使 ABC DBA 的条件是（）A AC：BC=AD：BD BAC：BC=AB：AD CAB2=CD?BCDAB2=BD?BC第 1 题题第 2 题图第 3 题图第 4 题图第 5 题图2如图，1=2，DEAC，则图中的相似三角形有（）A2

6、对B3 对C4 对D5 对3如图，已知 ABC 和 DEF，点 E在 BC 边上，点 A 在 DE 边上，边 EF和边 AC 相交于点 G如果 AE=EC，AEG=B，那么添加下列一个条件后，仍无法判定DEF 与 ABC 一定相似的是（）A=B=C=D=4如图，P 是ABC 的边 AC上异于 A、C一点，过点P 作直线截得的三角形与ABC 相似，那么这样的直线可以作的条数是（）A1 条B2 条C 3 条D4 条5在矩形ABCD 中，点 E 为 AD 上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点 P 为 AB 上一动点，连接PC、PE，若PAE与 PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数有个

7、解：设 AP=x，则 BP=8x，当 PAE PBC 时，=，即=，解得，x=，当 PAE CBP 时，=，即=，解得，x=2 或 6，可得：满足条件的点P 的个数有3 个故答案为：36如图，在 ABC 中，A=50，AB=AC，D 是 BC 边上的动点，E，F分别是 AB，AC 边上点（1）若 BD=DE，且 BDE CDF，求 EDF的度数（2）若 EDF=，不改变的值，以D 为旋转中心，把EDF 按顺时针或逆时针方向适当转动后，BDE和 CDF 始终保持相似，求的值解：（1）A=50，AB=AC，B=C=（180 50）=65 BD=DE，B=BED=65，BDE=180 B BED=5

8、0 BDE CDF，CDF=BDE=50，EDF=180 BDE CDF=80（2）B=C=65，若 BDE=CFD，则 BDE CFD BDE+EDF+CDF=180，CDF+CFD+C=180，=65，即 为 65 时，BDE 和 CDF 始终保持相似7、如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和 ADE 摆放在一起，A 为公共顶点，BAC=ADE=90，若 ABC 固定不动，ADE 绕点 A 旋转，AD、AE 与边 BC 的交点分别为F、G（点 G 不与点B重合，点F不与点C 重合）（1）图中共有对相似三角形（ABC DEA 外）（2）请选其中的一对说明理由（3）若等腰直角

9、三角形的斜边长为2，BF=m，CG=n、求 m 与 n 的函数关系式，并直接写出自变量n 的取值范围解：（1）依题意可知，ABF GAF，GCA GAF；再根据相似三角形的传递性，可得ABF GCA；故本题答案为：3；（2）证明：ABC 与 ADE 是全等的等腰直角三角形，B=C=E=EAD=45 ，AFB=AFG，AGF=BAF，ABF GAF，GCA GAF，ABF GCA（3）由 ABF GCA，由依题意可知CA=BA=，m=，m 2，n1，自变量n 的取值范围为1n2【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两个角分别对应相等的三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例），还考查了勾股定

10、理解此题的关键是要注意数形结合思想的应用8如图，在ABC 中，点 D 是 BC 边上的一个动点（不与B、C 重合），BC=4，B=ADE=C=30 （1）求证：ABD DCE；（2）设 BD=x，AE=y，求 y 关于 x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（3）当 ADE是等腰三角形时，求AE的长解：（1）B=ADE，ADC=B+BAD=ADE+EDC，ADC=EDC，B=C，ABD DCE；（2）如图1，过点A 作 AFBC 于 F，BF=BC=2，B=C=30，AB=AC=4，ABD DCE，y=x2x+4（0 x4）；（3）当 AD=DE 时，如图 2，由（1）知，ABD DCE，=1，AB=CD，4=4x，x=44，代入 y=x2x+4 中，解得，y=84，即：AE=84；当 AE=ED 时，如图 3，EAD=EDA=30 ，AED=120，DEC=60，EDC=90，ED=EC，y=（4y），y=，即：AE=；当 AD=AE 时，AED=EDA=30 ，此时点 D 与点 B 重合，不符合题意，此种情况不存在，即：AE 的长为（84）和