2023年如何求三角函数的最小正周期.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 如何用初等方法求三角函数的最小正周期 在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。一 公式法 函数 f(x)Asin(x+)和 f(x)=Acos(x+)(A0,0）的最小正周期都是2；函数 f(x)Atan(x+)和 f(x)=Acot(x+)(A0,0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如 y=Af(x+)(A0,0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。例 1 求下列函数的最小正周期：（1）f(x)2sin（53x1）。（2）f(x)1-31cos(4x3）。（3）f(x)51tan

2、(31x3).f(x)62cot(21x 解：用 T 表示各函数的最小正周期，则：（1）T=532=310 T=42=2 T=31=3 f(x）的最小正周期和 y1=12cot(2x6)的最小正周期相同，为 T=2 二 定义法 根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。例 2 求函数 f(x)2sin（21x6）的最小正周期。解：把21x6看成是一个新的变量 z,那么 2sinz 的最小正周期是 2。由于z221x-6=(21x4)-6。所以当自变量 x 增加到 x4且必须增加到 x4时，函数值重复出现。函数 y=2sin(21x-6)的最小正周期是 4。例 3 求函数 f(x

3、)|sinx|cosx|的最小正周期。精品资料 欢迎下载 解：根据周期函数的定义，易知 2、都是这个的周期，下面证明是这个函数的最小正周期。设 0T是这个函数的周期，则|sin(xT)|cos(xT)|=|sinx|cosx|对于任意 xR 都成立，特别的，当 x=0 时也应成立。|sinT|cosT|sin0|cos0|1。但当 0T时，0|sinT|1，0|cosT|1，故有1|sinT|cosT|1，矛盾，所以满足且小于的正数 T 不存在。故函数 f(x)|sinx|cosx|的最小正周期是。三、最小公倍数法 求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然

4、后再求期最小公倍数 T,即为和函数的最小正周期。例 4 求下列函数的最小正周期：（1）f(x)sin3x+cos5x （2）f(x)cos34 xsin21x.（3）f(x)sin53xtan73x.解：（1）sin3x 的最小正周期为 T1=32,cos5x 的最小正周期为 T2=52。而32和52的最小公倍数是 2.f(x)的最小正周期为 T=2.（2)cos34x 的最小正周期为 T1=23，-sin21x 的最小正周期为 T2=4。而23和 4的最小公倍数是 12。f(x)cos34 xsin21x 的最小正周期为 T=12.（3）sin53x 的最小正周期为 T1=310，tan73

5、x 的最小正周期为 T2=37。而310和37的最小公倍数是 70。f(x)sin53xtan73x 的最小正周期为 T=70.说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。四 图象法 作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。例 5 求下函数的最小正周期。（1）y=|sin(3x3)|直接求得形如一类三角函数的最小正周期这里表示正弦余弦正切或余切的最小正周期的最小正周期例求函数解把看成是一个新的变量那么的最都是这个的周期下面证明是这个函数的最小正周期设是这个函数的周期精品资料 欢迎下载（2）y=|41+sin2x|解：（1）先

6、作出函数 y=|sin(3x3)|的图象（见图 1）观察图象，易得所求的周期为 T=3。（2）先作出 y=|41+sin2x|的图象（见图 2）观察图象，易得所求的周期为 T=。五、恒等变换法 通过对所给函数式进行恒等变换，使其转化为简单的情形，再运用定义法、公式法或图象法等求出其最小正周期。例 6 求下列函数的最小正周期：(1)f(x)sin(x3)cos(x 3)(2)f(x)sin6xcos6x(3)f(x)x2cos21 解(1)f(x)sin(x3)cos(x 3)21|sin2x+sin32|=21sin2x+43 最小正周期为 T=(2)f(x)sin6x+cos6x=(sin2

7、x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x=1-43sin2x=85+83cos4x 最小正周期为 T=2(3)f(x)x2cos21=22cos121x=x2cos 它与cos2x 的周期相同，故得 f(x)的最小正周期为 T=直接求得形如一类三角函数的最小正周期这里表示正弦余弦正切或余切的最小正周期的最小正周期例求函数解把看成是一个新的变量那么的最都是这个的周期下面证明是这个函数的最小正周期设是这个函数的周期精品资料 欢迎下载 直接求得形如一类三角函数的最小正周期这里表示正弦余弦正切或余切的最小正周期的最小正周期例求函数解把看成是一个新的变量那么的最都是这个的周期下面证明是这个函数的最小正周期设是这个函数的周期