2023年完整高中数学新课三角函数精品讲义9.pdf

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1、1cscseccottancossin课题：44 同角三角函数的基本关系式（二）教学目的：掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力教学重点：同角三角函数的基本关系教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式授课

2、类型：新授课课时安排：2 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：同角三角函数的基本关系公式:tancossincotsincos1cottan1sincsc1cossec1cossin221tansec221cotcsc221“同角”的概念与角的表达形式无关，如：13cos3sin222tan2cos2sin2 上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立3 由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号这些关系式还可以如图样加强形象记忆：对角线上两个函数的乘积为1(倒数

3、关系)任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)二、讲解范例：例 1 化简：440sin12解：原式80cos80cos80sin1)80360(sin1222例 2 已知sin1sin1sin1sin1是第三象限角，化简解：)sin1)(sin1()sin1)(sin1()sin1)(sin1()sin1)(sin1(原式|cos|sin1|cos|sin1sin1)sin1(sin1)sin1(22220cos是第三象限角，tan2cossin1cossin1原式（注意象限、符号）例 3 求证：cossin1sin1cos

4、分析：思路1把左边分子分母同乘以xcos，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路 5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法证法 1：左边=xxxxxxxxxcossin1cos)sin1(sin1cos)sin1(coscos2右边，原等式成立证法 2：左边=)sin1)(sin1(cos)sin1(xxxxxxx2sin1cos)sin1(xxx2coscos)sin1(xxcossin1右边证

5、法 3：0cos)sin1(coscoscos)sin1()sin1(coscossin1sin1cos2222xxxxxxxxxxxx，xxxxcossin1sin1cos证法 4：cosx 0，1+sinx 0，xxcossin10，xxxxcossin1sin1cosxxxsin1sin1cos2xx22sin1cos1，xxxxcossin1sin1cos,cos)sin1(cos)sin1(cossin1sin1sin1cossin1,cos)sin1(coscoscossin1cos:5222xxxxxxxxxxxxxxxxx右边左边证法左边=右边原等式成立证法 6：)sin1)(

6、sin1(xxx2sin1x2cosxxcoscos?xxxxcossin1sin1cos证法 7：1cossin22，x2cos=x2sin1.cossin1sin1cos)sin1)(sin1(coscosxxxxxxxx，例 4 已知方程0)13(22mxx的两根分别是cossin，求的值。tan1coscot1sin解：cossincossincossinsincoscoscossinsin2222原式213由韦达定理知：原式（化弦法）例 5 已知cos2sin，求的值。及cossin2sincos2sin5cos4sin2解：2tancos2sin611222tan54tancos2

7、sin5cos4sin5614241tantan2tancossincossin2sincossin2sin222222例 6 消去式子中的)2(cottan)1(cossinyx：解：由)3(21cossincossin21)1(22xx：由)4(1cossincossin1sincoscossin)2(yy：12)4()3(2xy：代入将（平方消去法）例 7 已知2cos,tan3tan,sin2sin求解：由题设：22sin4sin22tan9tan/：22cos4cos9+：4cos9sin224cos9cos12283cos2三、课堂练习：1已知 cot=2，求的其余三个三角函数值分

8、析：由于cot=2 0，因此分在第、III 象限时，讨论解：cot=20 在第、III 象限当在第象限时，21cot1tan，51cotsincossinsin122255sin，552cotsincos当在第 II 象限时，21cot1tan552cotsincos55sin51cotsin122已知：51sin且0tan，试用定义求的其余三个三角函数值分析：题目要用定义求三角函数值，则解决问题的关键应找到终边的所在象限解：051sin，而0tan在第二象限设点 P(x，y)为角终边上任一点由51sin，可设)0(5aar，则ayaaax62)5(22562cosrx，126tanxy，62

9、cotyx3已知角的终边在直线y=3x 上，求 sin和 cos的值解：由题意可知3xy角的终边在直线y=3x 上设 P(a，3a)(a 0)为角终边上的任一点当在第一象限时，a0)0(10)3(22aaaar1010cos10103103sinrxaary当在第三象限，)0(10aar101010cos10103103sinaaaa4已知),1(11cos22mmm求 cot的值分析：由题意可知cos0，分在、象限讨论利用平方关系可求正弦值，利用商的关系，即可求余切值解：m1 011cos22mm，在第 I、IV 象限当在第I 象限时12)11(1cos1sin22222mmmmmm21si

10、ncoscot2当在第 IV 象限时，mmmm21cot12sin225已知2222cosnmnm，求 tan和 sin的值分析：由已知条件可知cos的值可能正可能负,要分别讨论分子为正、为负的情形解：(1)若 m n 0 则 cos0 在、象限当在第象限时2222222211cos1tannmmnnmnm2222222222tancossinnmmnnmmnnmnm当在第象限时22222sin,2tannmmnnmmn(2)若 0 m n时，则cos0 在第 II、III 象限当在第象限时22222sin,2tannmmnnmmn当在第 III 象限时22222sin,2tannmmnnmm

11、n(3)若 n=0、m0 时，tan=0，sin=0(4)若 m=0、n 0 时，tan=0，sin=0 说明：已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：(1)角所在的象限；(2)用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；(3)若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的，则求其他函数值时，要对该字母分类讨论6已知 tan=3，求下列各式的值66222222cossin)8(cos1sin1)7(cossin)6(cossin)5(cossin)4(cos21sin43)3(sin3cos4coscossin2sin)2(cos5sin3cossin4)1(分析：

12、思路1，可以由tan=3 求出 sin、cos的值，代入求解即可；思路 2，可以将要求值的表达式利用同角三角函数关系，变形为含tan的表达式解：(1)原式分子分母同除以0cos得，原式=14115331345tan31tan4(2)原式的分子分母同除以0cos2得：原式=2323341329tan341tan2tan222(3)用“1”的代换原式=402919219431tan21tan43cossincos21sin43222222(4)原式=1031tantancossincossin222(5)2)cos(sincossin21,cossincossin212258531tan1tan2

13、125102cossin(6)同(5),52531cossin21)cos(sin2.510cossin(7)3104103552cossincossincos1sin1(8)66cossin=)coscossin)(sincos(sin422422=22222cossin3)cos(sin=22cossin31=222cossincossin31=221tantan31=2213331=10073说明：数字“1”的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识7化简下列各式1),2(cos1cos1cos1cos12xxxx

14、xxsintansintancos1sin3coscos1sin1sin22分析：在化简前应先复习“)0()0(2aaaa”以及绝对值的概念解：（）原式2222sin)cos1(sin)cos1(sincos1sincos1sin2sin2),2(（）原式xxxxxxxxsincossinsincossincos1sin)cos1(sin)cos1(sincos1sinxxxxxxxxxxxxsinsinsincos1cos1sin)()22,232()232,2(1)()2,22()22,2(1zkkkkkxzkkkkkxcossincossin)3(原式)(0)22232(0)()2322

15、(tan2)222(0)222(tan2kkkzkkkkkkk说明：在三角式的化简或恒等变形中，正确处理算术根和绝对值问题是个难点这是由于算术根和绝对值的概念在初中代数阶段是一个不易理解和掌握的基本概念，现在又以三角式的形式出现，就更增加了它的复杂性和抽象性，所以形成新的难点为处理好这个问题，要先复习算术根和绝对值的定义8求证：)sin2)(cot2()cot21)(cos2(2222证明：可先证：2222cot21cot2sin2cos2（）右式2222sincos21sincos22222cos2sincossin22222sin22sincoscos2222sin2cos2左式（）式成立

16、，即原等式成立9已知cdbdcatansec,tansec2222dcba求证：证：由题设：)2(tansec)1(tanseccdbdca2222222222tan)(sec)()2()1(dcdcba：222222sec)(sec)(dcba2222dcba四、小结几种技巧五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：1已知 sin cos231，且 0，则 tan的值为()3D.33C.3-B.33.A2若 sin4cos41，则 sincos的值为()A 0 B 1 C1 D 1 3若 tan cot2，则 sincos的值为()A 0 B2C2D 24若sin3cos5cos2sin4 10，则 tan的值为5若 tan cot=2，则 sin4cos46若 tan2cot22，则 sincos7求证23cossin1cossin14466xxxx8已知 tansin，tansin求证：(1)cosnmnm（2）mnnm222)4(9已知 tancot2，求 sin3 cos3的值参考答案：1A 2 D 3 D 42 5216217(略)8略90