2023年定积分的简单应用超详细导学案.pdf

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1、10、定积分的简单应用 一、自主学习，明确目标 1、会用定积分解决平面图形的面积 2、会用定积分解决变速直线的路程 3、会用定积分解决变力做功 4、如何将实际问题化为定积分问题 二、研讨互动，问题生成 1、常见图形面积与定积分的关系（1）如图 1，当0)(xf时，badxx)(0，所以 S=；（2）如图 2，当0)(xf时，badxx)(0，所以 S=|badxxf|)(；（3）如图 3，当cxa时，0)(xf,cadxx)(0，bxc时，0)(xf，bcdxxf)(0，所以S=|cabcdxxfdxxf)(|)(+；（4）如图 4，在公共积分区间a,b上，当 f1(x)f2(x)时，曲边梯形

2、的面积为badxxfxfS)()(21 ；2、一物体沿直线以23 tv（t 单位：s,v 单位：m/s）的速度运动，则该物体在 3s6s 间的运动路程为（）A 46m B 46.5m C 87m D47m 3、以初速 40m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v=40-10t2，则此物体达到最高时的高度为（）Am3160 Bm380 Cm340 Dm320 4、一物体在力 F(x)=3x2-2x+5（力单位：N，位移单位：m）作用力下，沿与力 F（x）相同的方向由 x=5m 直线运动到 x=10m 处做的功是（）A925 J B850 J C825 J D800 J 三、合作探究，问题解

3、决。例 1：计算由 y2=x，y=x2所围成的图形的面积。例 2：汽车以 36km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度 2m/s2刹车，求从开始刹车到停车，汽车走过的路程。例 3：有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 的速度为v(t)=8t-2t2（速度的正方向与 x 轴正方向一致）。求：（1）P 从原点出发，当 t=3 时，求离开原点的路程。（2）当 t=5 时，P 点的位置。（3）从 t=0 到 t=5 时，点 P 经过的路程。（4）P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t值。例 4：一物体在力 F(x)（单位：N）的作用下沿与力 F相同的方向运动，力一位移

4、曲线如图所示，求该物体从 x=0 处运动到 x=4（单位：m）处，力 F(x)作的功。四、经典示例，巩固提高。例：求曲线 y=sinx 与直线2x,45x,y=0 所围成图形的面积。五、要点归纳，反思总结。1、利用定积分求曲线所围成平面图形面积的步骤 2、路程、位移计算公式 3、变力做功的方法合成 发当时求离开原点的路程当时点的位置从到时点经过的路程从原点出发如何将实际问题化为定积分问题二研讨互动问题生成常见图形面积与定路程为以初速竖直向上抛一物体时刻的速度则此物体达到最高时的高度11、合情推理 一、自主学习，明确目标。知道什么是合情推理，能利用归纳和类比进行简单的推理。二、研讨互动，问题生成

5、。1、下列说法正确的是（）A由合情推理得出的结论一定是正确的 B合情推理必须有前提有结论 C合情推理不能猜想 D合情推理得出的结论无法判定正误 2、已知 a1=1，an+1an，且（an+1-an）2-2(an+1+an)+1=0，计算 a2，a3，猜想 an=（）An Bn2 Cn3 Dnn 3 3、下面几种推理是合情推理的是（）由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180，归纳出所有三角形内角和都是 180；教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；三角形的内角和是180,四边形的内角和是360，五边形的内角和是 540，由此得凸 n 边形的

6、内角和是（n-2）180。A B C D 4、若数列na的前 8 项的值各异，且 an+8=an，对任意的 nN*都成立，则下列数列中可取遍na的前 8项值的数列为（）A 12 ka B 13 ka C 14 ka D 16 ka 5、如图 2-1-1中由火柴棒拼成的一列图形中，第 n 个图形由 n 个正方形组成：通过观察可以发现：第 4 个图形中，火柴棒有 根；第 n 个图形中，火柴棒有 根。6、若三角形内切圆半径为 r，三边长为 a，b，c，则三角形的面积)(21cbarS，根据类比思想，若四面体内切球半径为 R，四个面的面积为 S1，S2，S3，S4，则四面体的体积 V=。三、合作探究，

7、问题解决。例1：已 知 数 列na的 第 一 项a1=1，且3,2,1(11naaannn），试归纳出这个数列的通项公式。例 2：已知：等差数列na的公差为 d，前 n 项和为Sn，有如下性质：（1）an=am+(n-m)d；（2）若m+n=p+q，其中，m，n，p，qN*，则am+an=ap+aq；（3）若 m+n=2p，m，n，pN*，则 am+an=2ap；（4）Sn，S2n-Sn，S3n-S2n构成等差数列。类比上述性质，在等比数列nb中，写出相类似的性质。例 3、将正整数排成如图 212 所示的螺旋状：发当时求离开原点的路程当时点的位置从到时点经过的路程从原点出发如何将实际问题化为定

8、积分问题二研讨互动问题生成常见图形面积与定路程为以初速竖直向上抛一物体时刻的速度则此物体达到最高时的高度第一个拐弯处的数是 2，第 2 个拐弯处的数是 3，第三个拐弯处的数是 5，判断第 20 个及第 25 个拐弯处的数各是多少。例 4：三角形与四面体有下列共同的性质。（1）三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形。（2）三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形；四面体可以看作三角形外一点与这个三角形边上各点连线所形成的图形。通过类比推理，完成下表：三角形 四面体 三角形两边之和大于第三边 三角形的中位线等于

9、第三边的一半并且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 三 角 形 的 面 积rcbaS）（21，r力三角形内切圆的半径 四、经典示例，巩固提高。例：观察下列等式 13=12 13+12=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 可归纳出的结论是 五、要点归纳，反思总结 1、归纳推理的一般步骤：2、类比推理的一般步骤：3、常见的类比对象：（1）平面几何与立体几何 平面几何 立体几何 图 形 点 点、线 线 面 面 体 数 量 边长 面积 角 二面角 面积 体积（2）其它可以类比的对象。实数相等关系与不等关系；方程与不等式。实数的运算律与向

10、量的运算律。等差数列与等比数列的定义及性质。三种圆锥曲线的定义与性质。正弦函数、余弦函数的性质。不同类知识点之间的相似性质和结论。12、演译推理 发当时求离开原点的路程当时点的位置从到时点经过的路程从原点出发如何将实际问题化为定积分问题二研讨互动问题生成常见图形面积与定路程为以初速竖直向上抛一物体时刻的速度则此物体达到最高时的高度一、自主学习，明确目标。1、知道什么是演译推理，能利用“三段论”进行简单的推理。2、知道合情推理与演译推理之间的联系与差别 二、研讨互动，问题生成。1、“三段论”是演译推理的一般模式，包括：（1）大前提：已知的 ；（2）小前提：所研究的 ；（3）结论：根据一般推理，对

11、特殊情况做出的 ；2、“所有 9 的倍数（M）都是 3 的倍数（P），若奇数（S）是 9 的倍数（M），故该奇数（S）是 3 的倍数”，上述推理是（）A小前提错误 B大前提错误 C结论错误 D正确的 3、论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足。”上述推理用的是（）A类比推理 B归纳推理 C演绎推理 D一次三段论 4、给出如下三个命题：四个非零实数 a，b，c，d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc；设 a，bR，且 ab0，若1ab，则1ba；若xxf2log)(，则|)(|xf

12、是偶函数。其中，不正确命题的序号是（）A B C D 三、合作探究，问题解决。例 1：用三段论的形式写出下列命题。（1）0.332是有理数；（2）)(sinRxxy是周期函数；（3）RtABC的内角和为 180。例 2：在ABC中，ACBC，CD是 AB边上的高，求证：ACD BCD.例3：已 知 数 列na满 足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(nN+).（1）证明：数列nnaa 1是等比数列；（2）求数列na的通项公式；（3）若 数 列nb满 足114b124b 14nb=(an+1)bn(nN+)，证明：nb是等差数列。例 4：数列na的前 n 项和为 Sn，数列nb中，

13、b1=a1，发当时求离开原点的路程当时点的位置从到时点经过的路程从原点出发如何将实际问题化为定积分问题二研讨互动问题生成常见图形面积与定路程为以初速竖直向上抛一物体时刻的速度则此物体达到最高时的高度bn=an-an-1(n 2),若 an+Sn=n，（1）设 cn=an-1，求证：数列nc是等比数列；（2）求数列nb的通项公形式。四、经典示例，巩固提高。已知函数xaxy有如下性质：如果常数 a0，那么该函数在（0，a）上是减函数，在a+）上是增函数。（1）如果函数)0(2xxxyb在（0，4 上是减函数，在4，+）上是增函数，求 b 的值；（2）设 常 数c1，4，求 函 数)21()(xxcxxf的最大值和最小值；（3）当n是 正 整 数 时，研 究 函 数)0()(cxcxxgnn的单调性，并说明理由。五、要点归纳，反思总结。1、演译推理的特点。2、合情推理与常驻译推理的区别与联系。发当时求离开原点的路程当时点的位置从到时点经过的路程从原点出发如何将实际问题化为定积分问题二研讨互动问题生成常见图形面积与定路程为以初速竖直向上抛一物体时刻的速度则此物体达到最高时的高度