2023年初三数学中考复习第一轮—函数专题之二次函数精品讲义.pdf

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1、函数专题 中考复习第一轮 内容：1、概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2、二次函数的性质 3、二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）二次项系数 a 函数 二次函数 图 像 a0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当 x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值

2、（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值 a决定抛物线开口的大小和方向，a0，抛物线开口向上，a0，抛物线开口向下；a的大小决定开口的大小，a越小开口越大。（2）ba和共同决定抛物线的对称轴：aby2（3）c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标。4、二次函数图象的平移 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标 hk，；保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到 hk

3、，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 图像平移步骤（1）配方2()ya xhk，确定顶点（h,k）（2）对 x 轴 左加右减；对 y 轴 上加下减 例：将抛物线22xy 的图像先向右平移 2 个单位看，再向上平移 3 个单位后，得到的抛物线的解析式是 3222 xy 5、.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称

4、轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.6、二次函数与一元二次方程 一元二次方程20axbxc 是二次函数2yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况。图象与 x 轴的交点个数：当240bac时，图象与轴交于两点 1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离.2214bacABxxa 当0时，图象与轴只有一个交点；当0时，图象与轴没有交点.当0a 时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有0y；当0a 时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有0y 抛物线2yaxbxc的图象

5、与 y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；核心母题 5 知识链接：三角形相似、勾股定理、二次函数解析式及图象 常见错误：不会分段分析函数图象；知识综合能力不够，求不出函数解析式。（2011 海淀一模 难度）如图，在 RtABC 中，C=90，AB=5cm，BC=3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 ABC 的方向运动，到达点 C 时停止 设 y=PC2，运动时间为 t 秒，则能反映 y 与 t 之间函数关系的大致图象是（）巩固练习：（2010 朝阳一模 难度）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，B=60，AB=AD=BO=4，OC=8，点 P 从 B 点出发，沿四边形

6、ABCD 的边 BAADDC 以每分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为 t，POD 的面积为 S，则 S 与 t 的函数图象大致为（）核心母题 6 知识链接：一元二次方程判别式、根；二次函数图象平移；求直线解析式 常见错误：不会对 k 的取值逐个讨论；无法正确画出函数图象；不会利用图象的极端位置作为解题突破口。（2009 北京中考 难度）已知关于 x 的一元二次方程 2x2+4x+k-1=0有实数根，k 为正整数（1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x 的二次函数 y=2x2+4x+k-1的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条

7、件下，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线 y=21x+b（bk）与此图象有两个公共点时，b 的取值范围 巩固练习：（2010 海淀一模 难度）关于 x 的一元二次方程 x2-4x+c=0有实数根，且 c 为正整数（1）求 c 的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2-4x+c与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C点 P 为对称轴上一点，且四边形 OBPC 为直角梯形，求 PC 的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移

8、，设顶点 D 的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形 OBPC 只有两个交点，且一个交点在 PC 边上时，直接写出 m 的取值范围 综合测试练习 A：1、（2010 朝阳一模 难度）在平面直角坐标系 xoy 中，将直线 y=kx 向上平移 3 个单位后与反比例函数 y=k/x 交于 A（2，m），试确定平移后的直线解析式和反比例函数解析式。2、（2010 石景山一模 难度）已知：如图，直线323 xy与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，D 是 y 轴上的一点，若将DAB 沿直线 DA 折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处，求直线 CD 的解析式 3、（2009

9、东城一模 难度）如图，反比例函数xy8的图象过矩形 OABC 的顶点 B，OA、0C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA：0C=2：1（1）设矩形 OABC 的对角线交于点 E，求出 E 点的坐标；（2）若直线 y=2x+m 平分矩形 OABC 面积，求 m 的值 4、（2009 海淀二模 难度）如图，点 A 在反比例函数xky 的图象上，ABx 轴于 B，点 C 在 x 轴上，且 CO=OB，SABC=2，确定此反比例函数的解析式 5、（2010 宣武一模 难度）如图，直线 y=kx+b 与反比例函数xky（x0）的图象相交于点 A、点 B，与 x 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为（-

10、2，4），点 B 的横坐标为-4 （1）试确定反比例函数的关系式；（2）求AOC 的面积 6、(2009 宣武一模 难度)如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数xmy 的图象交于 A（-3，1），B（2，n）两点，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 D，C 两点（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求CDAD的值 7、(2010 西城一模 难度)如图，将直线 y=4x 沿 y 轴向下平移后，得到的直线与 x 轴交于点A(49,0)，与双曲线xky(x0)交于点 B（1）求直线 AB 的解析式；（2）若点 B 的纵坐标为 m，求 k 的值（用含有 m 的式子表示）8、（20

11、09 朝阳二模 难度）如图，直线1l：y=2x 与直线2l：y=kx+3 在同一平面直角坐标系内交于点 P（1）写出不等式 2xkx+3 的解集（2）设直线2l与 x 轴交于点 A，求OAP 的面积 9、（2009 北京中考 难度）如图，A、B 两点在函数xmy（x0）的图象上（1）求 m 的值及直线 AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数 10、（2010 丰台一模 难度）如图，一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数xmy=2的图象相交于 A、B 两点（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图

12、象回答：当自变量 x 的取值范围满足什么条件时，y1y2？11、（2011 西城二模 难度）如图，一次函数 y=kx+b（k0）的图象与反比例函数xmy=（m0）的图象交于 A（-3，1），B（2，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB 的面积 12、（2011 北京中考 难度）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=-2x 的图象与反比例函数xky=的图象的一个交点为 A（-1，n）（1）求反比例函数的解析式；（2）若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA=OA，直接写出点 P 的坐标 13、（2011 东城二模 难度）如图，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴

13、上，AB 的中点与原点 O 重合，AB=2，AD=1，点 Q 的坐标为（0，2）（1）求直线 QC 的解析式；（2）点 P（a，0）在边 AB 上运动，若过点 P、Q 的直线将矩形 ABCD的周长分成 3：1 两部分，求出此时 a 的值 14、（2011 海淀二模 难度）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点直线 y=-x+b经过点 A（2，1），ABx 轴于 B，连接 AO（1）求 b 的值；（2）M 是直线 y=-x+b 上异于 A 的一点，且在第一象限内过点 M 作 x轴的垂线，垂足为点 N若MON 的面积与AOB 面积相等，求点 M的坐标 15、（2010 东城一模 难度）

14、已知：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）中的 x，y 满足下表：x -1 0 1 2 3 y 0-3-4-3 m （1）m 的值为多少；（2）若 A（p，y1），B（p+1，y2）两点都在该函数的图象上，且 p0，试比较 y1与 y2的大小 16、（2010 西城二模 难度）如图，二次函数 y1=ax2+bx+3 的图象与 x 轴相交于点 A（-3，0）、B（1，0），交 y 轴于点 C，C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数 y2=mx+n 的图象经过 B、D 两点（1）求二次函数的解析式及点 D 的坐标；（2）根据图象写出 y2y1时，x 的取值范围 17、（2010 东城二模

15、 难度）已知如图，RtABC 位于第一象限，A 点的坐标为（1，1），两条直角边 AB、AC 分别平行于 x 轴、y 轴，且 AB=3，AC=6（1）求直线 BC 的方程；（2）若反比例函数xky=的图象与直线 BC 有交点，求 k 的最大正整数 综合测试练习 B：1、（2010 顺义一模 难度）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标为（4，10），点C 在y轴上，且ABC 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 。2、（2010 西城二模 难度）如图，在ABC 中，C=90，AC=2，BC=1，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在 x 轴运动时，点 C

16、 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点 O 的最大距离为 。3、（2009 朝阳一模 难度）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C=90，CD=6cm，AD=2cm，动点 P、Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BA，AD，DC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到 C 点停止，两点运动时的速度都是 1cm/s，而当点 P 到达点 A 时，点 Q 正好到达点 C设 P 点运动的时间为 t（s），BPQ 的面积为 y（cm2）下图中能正确表示整个运动中 y 关于 t 的函数关系的大致图象是（）A、B、C、D、4、（2009 丰台二模 难度）如图，在矩形 ABCD 中，

17、AB=3，BC=4，点 P在 BC 边上运动，连接 DP，过点 A 作 AEDP，垂足为 E，设 DP=x，AE=y，则能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是（）A、B、C、D、5、（2011 丰台一模 难度）一电工沿着如图所示的梯子 NL 往上爬，当他爬到中点 M 处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点 M 的坐标为（x，y）（x0），则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是（）A、B、C、D、6、（2011 北京中考 难度）如图在 RtABC 中，ACB=90，BAC=30，AB=2，D 是AB 边上的一个动点（不与点 A、B 重合），过点 D 作 CD 的垂线交射线

18、CA 于点 E设 AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系图象大致是（）A、B、C、D、7、（2009 北京中考 难度）如图，C 为O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交O 于 D，E两点，且ACD=45，DFAB 于点 F，EGAB 于点 G，当点 C 在 AB 上运动时，设 AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示 y 与 x 的函数关系式的图象大致是（）、A、B、C、D、8、（2009 海淀一模 难度）如图，点 E、F 是以线段 BC 为公共弦的两条圆弧的中点，BC=6点A、D 分别为线段 EF、BC 上的动点连接 AB、AD，设 BD=x，AB2-AD2=

19、y，下列图象中，能表示 y与 x 的函数关系的图象是（）A、B、C、D、9、（2010 昌平一模 难度）如图，在半径为 1 的O 中，直径 AB 把O 分成上、下两个半圆，点 C 是上半圆上一个动点（C 与点 A、B 不重合），过点 C 作弦 CDAB，垂足为 E，OCD 的平分线交O 于点 P，设 CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（）A、B、C、D、10、（2010 海淀二模 难度）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（3，1），点 B 是 x 轴上的一动点，以 AB 为边作等边三角形 ABC、当 C（x，y）在第一象限内时，下列图象中

20、，可以表示 y 与 x 的函数关系的是（）A、B、C、D、11、（2010 崇文二模 难度）矩形 ABCD 中，AD=8cm，AB=6cm动点E 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动，动点 F 从点 C 同时出发沿边 CD 向点 D 以 1cm/s 的速度运动至点 D 停止如图可得到矩形 CFHE，设运动时间为 x（单位：s），此时矩形 ABCD 去掉矩形 CFHE 后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A、B、C、D、12、（2010 昌平一模 难度）已知抛物线 y=ax2-4ax+4a-2，其中 a 是常数

21、（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若 a52，且抛物线与 x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式 13、（2011 海淀二模 难度）已知关于 x 的方程 mx2+（3-2m）x+（m-3）=0，其中 m0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，其中 x1x2，若1231-=xxy，求 y 与 m 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式 y-m成立的 m 的取值范围 14、（2008 北京中考 难度）已知：关于 x 的一元二次方程 mx2-（3m+2）x+2m+2=0（其中 m0）（1）求证：方程必有两个不

22、相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为 x1、x2（x1x2）若 y 是关于 m 的函数，且 y=x2-2x1，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 m 满足什么条件时，y2m 15、（2010 崇文一模 难度）已知 P（-3，m）和 Q（1，m）是抛物线 y=2x2+bx+1 上的两点（1）求 b 的值；（2）判断关于 x 的一元二次方程 2x2+bx+1=0 是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线 y=2x2+bx+1 的图象向上平移 k（k 是正整数）个单位，使平移后的图象与 x 轴无交点，求 k 的最小值 16、

23、（2011 北京中考 难度）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=mx2+（m-3）x-3（m0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（1）求点 A 的坐标；（2）当ABC=45时，求 m 的值；（3）已知一次函数 y=kx+b，点 P（n，0）是 x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点 P 垂直于 x 轴的直线交这个一次函数的图象于点 M，交二次函数 y=mx2+（m-3）x-3（m0）的图象于 N若只有当-2 n2 时，点 M 位于点 N 的上方，求这个一次函数的解析式 17、（2009 石景山二模 难度）如图，四边形 ABCD 是菱

24、形，点 D 的坐标是（0，3），以点 C 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 恰经过 x 轴上的点 A，B（1）求点 C 的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点 D，求平移后抛物线的解析式 18、（2011 东城一模 难度）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=k1x+b 与反比例函数 y=xk2的图象交于 A（1，6），B（a，3）两点（1）求 k1，k2的值；（2）如图，点 D 在 x 轴上，在梯形 OBCD 中，BCOD，OB=DC，过点 C作 CEOD 于点 E，CE 和反比例函数的图象交于点 P，当梯形 OBCD 的面积为 18 时，求 PE：PC 的值 19、（2010

25、 北京中考 难度）已知反比例函数 y=xk的图象经过点 A（-3，1）（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点 O 是坐标原点，将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30得到线段 OB判断点 B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点 P（m，3m+6）也此反比例函数的图象上（其中 m0），过 P 点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 M若线段 PM 上存在一点 Q，使得OQM 面积是21，设 Q 点纵坐标为 n，求 n2-23n+9 的值 20、（2011 丰田一模 难度）已知：反比例函数 y=xk的图象经过点 B（1，1）（1）求该反比例函数解析式；（2）联结 OB，再把点 A

26、（2，0）与点 B 联结，将OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转 135得到 OAB，写出 AB的中点 P 的坐标，试判断点 P 是否在此双曲线上，并说明理由；（3）若该反比例函数图象上有一点 F（m，123m）（其中 m0），在线段 OF 上任取一点 E，设 E点的纵坐标为 n，过 F 点作 FMx 轴于点 M，连接 EM，使OEM 的面积是，求代数式322+2nn的值 21、（2009 顺义一模 难度）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+（1+23）x+c 经过 A（2，0），B（1，n），C（0，2）三点（1）求抛物线的解析式；（2）求线段 BC 的长；（3）求O

27、AB 的度数 22、（2010 海淀一模 难度）已知关于 x 的方程 x2-（m-3）x+m-4=0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于 4 且小于 8，求 m 的取值范围；（3）设抛物线 y=x2-（m-3）x+m-4与 y 轴交于点 M，若抛物线与 x 轴的一个交点关于直线 y=-x的对称点恰好是点 M，求 m 的值 23、（2011 东城一模 难度）已知关于 x 的方程（m-1）x2-（2m-1）x+2=0 有两个正整数根（1）确定整数 m 值；（2）在（1）的条件下，利用图象写出方程（m-1）x2-（2m-1）x+2+xm=0的实数根的个数 24、（2009 西城一

28、模 难度）已知：反比例函数xy2=和xy8=在平面直角坐标系 xOy 第一象限中的图象如图所示，点 A 在xy8=的图象上，ABy 轴，与xy2=的图象交于点 B，AC、BD 与 x 轴平行，分别与xy2=、xy8=的图象交于点 C、D（1）若点 A 的横坐标为 2，求梯形 ACBD 的对角线的交点 F 的坐标；（2）若点 A 的横坐标为 m，比较OBC 与ABC 的面积的大小，并说明理由；（3）若ABC 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点 A 的坐标 25、（2010 丰田一模 难度）已知二次函数 y=x2-mx+m-2 （1）求证：无论 m 为任何实数，该二次函数的图象与

29、x 轴都有两个交点；（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3）将直线 y=x 向下平移 2 个单位长度后与（2）中的抛物线交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），一个动点 P 自 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E，再到达 x 轴上的某点 F，最后运动到点 B 求使点 P 运动的总路径最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长 26、（2010 海淀二模 难度）已知：抛物线 y=x2+（a-2）x-2a（a 为常数，且 a0）（1）求证：抛物线与 x 轴有两个交点；（2）设抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A、B（A 在 B 左侧），与 y 轴的交点为 C 当 AC=52时，求抛物线的解析式；将中的抛物线沿 x 轴正方向平移 t 个单位（t0），同时将直线 l：y=3x 沿 y 轴正方向平移 t 个单位，平移后的直线为 l，移动后 A、B 的对应点分别为 A、B当 t 为何值时，在直线 l上存在点 P，使得ABP 为以 AB为直角边的等腰直角三角形?