2023年人教版高中数学《不等式》全套精品讲义.pdf

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1、第三章不等式第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质。过程：一、引入新课1世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。2过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题二、几个与不等式有关的名称（例略）1“同向不等式与异向不等式”2“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1从实数与数轴上的点一一对应谈起2应用：例一比较与的大小解：（取差）小结：步骤：作差变形判断结论例三 比较大小 1和解：0baba0baba0baba)5)(3(aa)4)(2(aa)5)(3(aa)4)(2(aa07)82()152(22aaa

2、a)5)(3(aa)4)(2(aax22)1(x124xx22)1(x)1(24xx22424112xxxxx0 x02x22)1(x124xx2311023231；当时=；当时3设且，比较与的大小解：当时；当时四、不等式的性质1性质 1：如果，那么；如果，那么（对称性）证：由正数的相反数是负数2性质 2：如果，那么（传递性）证：，两个正数的和仍是正数由对称性、性质 2 可以表示为如果且那么五、小结：1不等式的概念2一个充要条件3性质 1、2六、作业：P5 练习P8 习题 6.113补充题：1若，比较与的大小02524562)10()23(2223110abmamb),(Rmbaabmamb)

3、()(maaabm),(Rmbaababmambababmambababmamb0a1a0ttalog2121logta02)1(212ttttt211atalog2121logta10atalog2121logtabaababbaba0ba0)(ba0ababbacbcabacb0ba0cb)(ba0)(cb0cacabcabac142yx22yx201解：=2比较 2sin 与 sin2 的大小(0 2)略解：2sinsin2=2sin(1 cos)当(0,)时 2sin(1 cos)02sinsin2当(,2)时 2sin(1 cos)02sin 当时总有第二教时教材：不等式基本性质（续

4、完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。过程：一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1性质 3：如果，那么（加法单调性）反之亦然证：从而可得移项法则：推论：如果且，那么（相加法则）证：推论：如果且，那么（相减法则）证：或证：上式0241yx22yx20105)15(2y22yx2010a1a)1(log3aa)1(log2aa)1()1()1(223aaaa10a1123aa)1(log3aa)1(log2aa1a1123aa)1(log3aa)1(log2aa)1(log3aa)1(log2aabacbca0)(

5、)(bacbcacbcabcabcbbacba)()(badcdbcadbcadbcbdccbcababadcdbcadcdcdbcadcba)()()()(dcbadbcadcba00dcba2性质 4：如果且,那么；如果且那么（乘法单调性）证：根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时即：时即：推论 1如果且，那么（相乘法则）证：推论 1（补充）如果且，那么（相除法则）证：推论 2如果,那么3性质 5：如果，那么证：（反证法）假设则：若这都与矛盾三、小结：五个性质及其推论口答 P8练习 1、2习题 6.14四、作业P8练习 3习题 6.15、6五、供选用的例题（或作业）1已知，求证：证：2若，

6、求不等式同时成立的条件ba0cbcacba0cbcaccbabcac)(ba0ba0c0)(cbabcac0c0)(cbabcac0ba0dcbdacbdacbdbcbdcbcaccba0,0,0badc0dbca0cd0011badcdbca0bannba)1(nNn且0bannba)1(nNn且nnbababababannnnbannba0ba0dc0edbecae011000edbcadbcadcbadbecaeRba,baba11,解：3设，求证证：又04比较与的大小解：当时即5若求证：解：6若求证：00011ababbaababbaRcba,0,0 abccba0111cba0cba

7、222cba0222bcacab0abc222cba0bcacababccabcabcba1110abc0bcacab0111cba|,0baaba1b1a1b1abab0,0 ba|baba0ab0ab0ababa1b10,0 ba|baba0ab0ab0ababa1b10,baabab101aabab0a0abba0abab0a01abaab1ab0,0dcbadbcasinsinloglog证：1又原式成立第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。过程：一、定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：1指出定理适

8、用范围：2强调取“=”的条件二、定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明：即：当且仅当时注意：1这个定理适用的范围：2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广：定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：1sin00logsin0,0dcbadbcadbca11Rba,abba222ba222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba222Rba,baba,abba2baabba2)()(22abba2abba2baabba2RaRcba,abccba3333cbaabcabbacbaabccba333)(32233333上式0从而指出

9、：这里就不能保证推论：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：四、关于“平均数”的概念1如果则：叫做这 n 个正数的算术平均数叫做这 n 个正数的几何平均数2点题：算术平均数与几何平均数3基本不等式：这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4的几何解释：以为直径作圆，在直径AB上取一 点 C，)(3)()(22cbaabccbabacba32)(222abcbcacbabacba)(222cabcabcbacba)()()(21222accbbacbaRcba,a b ccba3333Rcba,0cbaRcba,33a b c

10、cbacba3333333333)()()(cbacba33a b ccba33a b ccbaNnnRaaan且1,21naaan21nnaaa21naaan21nnaaa21niRaNni1,*abba2baABDDCab过 C 作弦 DDAB则从而而半径五、例一已知为两两不相等的实数，求证：证：以上三式相加：六、小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式（即平均不等式）七、作业：P11-12练习 1、2P12习题 5.21-3补充：1已知，分别求的范围(8,11)(3,6)(2,4)2试比较与（作差）3求证：证：三式相加化简即得第四教时教材：极值定理目的：要求学生在掌握平均不等式的基础

11、上进而掌握极值定理，并学会初步应用。过程：二、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式三、若，设abCBCACD2abCDabCDba2cba,cabcabcba222abba222bccb222caac222cabcabcba222)(2222cabcabcba22232,86babababa,Rx124x232xx124x232xx)(2222222cbaaccbba)(2222baba)(2222cbcb)(2222caacRyx,2),(22yxyxQ2),(yxyxAxyyxG),(求证：加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证：即：（俗称幂平均不等式）由平均不等式即：综上所述：

12、例一、若求证证：由幂平均不等式：四、极值定理已知都是正数，求证：1如果积是定值，那么当时和有最小值2如果和是定值，那么当时积有最大值证：1 当(定值)时，上式当时取“=”当时有yxyxH12),(),(),(),(),(yxHyxGyxAyxQ2442)2(22222222yxyxyxxyyxyx2222yxyx),(),(yxAyxQ),(),(yxGyxA),(222),(yxGxyxyxyyxxyyxH),(),(yxHyxG),(),(),(),(yxHyxGyxAyxQRbaba,1225)1()1(22bbaa2)11()1()1(222bbaabbaa2252)23(2)3(2)

13、1(222baabbbaabayx,xypyxyxp2yxsyxxy241sRyx,xyyx2xyppyx2yxp2yxyxmin)(yxp22 当(定值)时，上式当时取“=”当时有注意强调：1 最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）2 用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”五、例题1证明下列各题：证：于是若上题改成，结果将如何？解：于是从而若则解：若则显然有若异号或一个为 0 则2求函数的最大值求函数的最大值解：当即时即时syx2sxy241sxyyxyx2max41)(sxy210loglgxx)1(x1x0lg x010logx210lglg210loglgxx

14、xx10 x10 x0lg x010logx2)10log()lg(xx210loglgxx1ba41abRba,410abba,0ab41ab)1(2xxy)10(x)1(2xxy)10(x10 x01xxx1232x274)3122(4)1(2243xxxxxxy32x274maxy当时3若，则为何值时有最小值，最小值为几？解：=当且仅当即时六、小结：1四大平均值之间的关系及其证明2极值定理及三要素七、作业：P12 练习 3、4习题 6.2 4、5、6补充：下列函数中取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？1时23时第五教时教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理

15、，从而更熟练地处理一些最值问题。过程：八、复习：基本不等式、极值定理10 x1102x)1)(1(221)1(2222222xxxxxy274)3)1()1(2(213222xxx33,1222xxx274max2y932maxy1xx11xx1x01x011x11xx112111)1(21111xxxx111xx0 x1)11(minxxx)32(xxy31x31maxyxxy451412,1minyx0 xxxy32161,26minyx九、例题：1求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一：解二：当即时答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常

16、数）正确的解法是：当且仅当即时2若，求的最值解：从而即3设且，求的最大值)0(,322xxxy3322243212311232xxxxxxxxy3min43yxxxxxy623223222xx3222123x633min3242123221262yxxxx2122x6233322236232932323232323232xxxxxxxxyxx2322263x3min3623y14x22222xxx)1(1)1(2111)1(2111)1(21222222xxxxxxxxx14x0)1(x0)1(1x2)1(1)1(xx1)1(1)1(21xx1)2222(min2xxxRx1222yx21yx

17、解：又即4已知且，求的最小值解：当且仅当即时十、关于应用题1P11 例（即本章开头提出的问题）（略）2将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设剪去的小正方形的边长为则其容积为当且仅当即时取“=”0 x)221(21222yxyx2321)2()221(2222yxyx423)2321(212yx423)1(max2yxRyxba,1ybxayxyxyxbxaybaybxayxyx)(1)(2)(2bayxbxaybayxbxaybayx2min)()(bayxax)20(,)2(2axxax

18、V)2()2(441xaxaxV2723)2()2(44133axaxaxxax246ax即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为十一、作业：P12 练习 4习题 6.27补充：1求下列函数的最值：1(min=6)2()21时求的最小值，的最小值2 设，求的最大值(5)3 若,求的最大值4 若且，求的最小值3若，求证：的最小值为 34制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高 各 取 多 少 时，用 料 最 省？（不 计 加 工 时 的 损 耗 及 接 缝 用 料）第六教时教材：不等式证明一（比较法）目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一比较法，要求学生能

19、教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。过程：一、复习：1不等式的一个等价命题2比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断结论6a2723a)(,422Rxxxy)20(,)2(2axxaxy272max3a0 x236xxyxxy362)429,9(327,91x)3(log27log33xxy10 x)1(24xxy)332,274(xRyx,12yxyx11)223(0ba)(1baba316 m)4,2(mhmR二、作差法：（P1314）1求证：x2+3 3x证：(x2+3)3x=x2+3 3x2已知 a,b,m 都是正数，并且a b，求证：证：a,b,m 都是正数，并且a 0,ba 0

20、即：变式：若 a b，结果会怎样？若没有“a a2b3+a3b2证：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5a3b2)+(b5a2b3)=a3(a2b2)b3(a2b2)=(a2b2)(a3b3)=(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)a,b 都是正数，a+b,a2+ab+b2 0 又ab，(ab)2 0(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)0 即：a5+b5 a2b3+a3b24甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度 n 行走，如果 mn，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指

21、定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2，则：可得：S,m,n 都是正数，且mn，t1t2 0 即：t1 b 0 时，当 b a 0 时，（其余部分布置作业）作商法步骤与作差法同，不过最后是与1 比较。四、小结：作差、作商五、作业：P15练习P18习题 6.314第七教时教材：不等式证明二（比较法、综合法）目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。过程：二、比较法：a)复习：比较法，依据、步骤比商法，依据、步骤、适用题型b)例一、证明：在是增函数。证：设 2x1 0,x1+x2 4 0 又y1 0，y1 y2在是增函数abbababaa

22、bba2)(2222)()(baabbababababaabba1)(2baba1)(,02,12babababa1)(,02,102babababa2)(babaabba3422xxy),2)4)(4434342121121212222221212222xxxxxxxxxxxxyy12021yy3422xxy),2三、综合法：定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。i.已知 a,b,c 是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc证：b2+c22bc,a 0,a(b2+c2)2abc同理：b(c2+

23、a2)2abc,c(a2+b2)2abca(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc当且仅当 b=c,c=a,a=b时取等号，而 a,b,c 是不全相等的正数a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abcii.设 a,b,cR，1 求证：2 求证：3 若 a+b=1,求证：证：1 2 同理：，三式相加：3 由幂平均不等式：iii.a,b,cR,求证：1)(2222baba)(2222222cbaaccbba22121ba0)2(2222baba2|2|222bababa)(2222baba)(2222cbcb)(2222acac)(2222222cbaaccbba

24、1222)1(2)21()21()2121(21bababa22121ba9)111)(cbacba23证：1 法一：,两式相乘即得。法二：左边3+2+2+2=9 2 两式相乘即得3 由上题：即：三、小结：综合法四、作业：P1516练习1，2P18习题 6.31，2，329)111)(accbbacba23bacacbcba33 abccba313111abccba)()()(3cbbccaacbaabccbabcbaacba3)()(23222accbbaaccbba3)()(13111accbbaaccbba29)111)(accbbacba29111acbcbabac23bacacbcb

25、a补充：1已知 a,b R+且 ab，求证：（取差）2设R，x,y R，求证：（取商）3已知 a,b R+，求证：证：a,b R+4设 a0,b0，且 a+b=1，求证：2121212212)()(baabbayxyx22cossin2)2(333baba0)(2baabbaba22)()(2233baabbabababa)(3)(333baabba33333)()(3)(4babbaababa2)2(333baba225)1()1(22bbaa证：第八教时教材：不等式证明三（分析法）目的：要求学生学会用分析法证明不等式。过程：一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分

26、条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。二、例一、求证：证：综合法：只需证明：21 25 展开得：即：即：21 0，y 0，证明不等式：证一：（分析法）所证不等式即：即：即：212baab41ab41ab2222211122112)1()1(babbaabbaa22524122112212222ababba5273052,07322)52()73(20212105211021210212521202121022)52()73(5273527331332122)()(yxyx233322)()(yxyx33662222662)(3yxyxyxyxyx3322222)(3yxyxy

27、x只需证：成立证二：（综合法）x 0，y 0，例三、已知：a+b+c=0，求证：ab+bc+ca0证一：（综合法）a+b+c=0(a+b+c)2=0 展开得：ab+bc+ca0证二：（分析法）要证ab+bc+ca0a+b+c=0 故只需证ab+bc+ca(a+b+c)2即证：即：（显然）原式成立证三：a+b+c=0 c=a+bab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab(a+b)2=a2b2ab=例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。证：设截面周长为 l，则周长为 l 的圆的半径为，截面积为，周长为 l

28、 的正方形边长为，截面积为问题只需证：xyyx3222xyxyyx3222231332122)()(yxyx33662222663226)(3)(yxyxyxyxyxyx2333366)(2yxyxyx31332122)()(yxyx2222cbacabcab0222cabcabcba0)()()(21222accbba043)2(22bba2l22l4l24l22l24l即证：两边同乘，得：因此只需证：4 （显然成立）也可用比较法（取商）证，也不困难。三、作业：P18练习13及习题 6.3余下部分补充作业：1已知 0 ，证明：略证：只需证：0 0 故只需证：即证：1+cos 0 只需证：即只

29、需证：即：（成立）2已知 a b 0，为锐角，求证：略证：只需证：即：（成立）3设a,b,c是 的 ABC三 边，S是 三 角 形 的 面 积，求 证：略证：正弦、余弦定理代入得：即证：即：224l162l24l41122l24l2cot2sin2sincos1cossin4cos1cossin42cos1cos)cos1)(cos1(41cos)cos1(401cos4cos420)1cos2(222tansecbaba222)tansec(baba0)sectan(sectan2sectan22222baabbaSabbac344222CababCabsin324cos2CCsin32co

30、s22cossin3CC即证：（成立）第九教时教材：不等式证明四（换元法）目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。过程：四、提出课题：（换元法）五、三角换元：例一、求证：证一：（综合法）即：证二：（换元法）令 x=cos,0,则例二、已知 x 0,y 0，2x+y=1，求证：证一：即：证二：由 x 0,y 0，2x+y=1，可设则例三：若，求证：1)6sin(C211212xx212)1()1(1|1|2222222xxxxxxxx21|1|2xx211212xx11x2sin21sincos12xx1sin1211212xx22311yx22323)2(11

31、xyyxyxyx22311yx22cos,sin21yx)tan1()cot1(2cos1sin2112222yx223)tancot2(322122yx2|2|22yxyx证：设，则例四：若 x 1，y 1，求证：证：设则例五：已知：a 1,b 0,ab=1，求证：证：a1,b0,ab=1 不 妨 设则,0 sin 0，则证：设则（当 a=1 时取“=”）即原式成立七、小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。八、作业：1若，求证：2若|a|1，|b|1,b 0,ab=1，求证：5求证：6已知|a|1，|b|1，求证：第十教时教材：不等式证明五（放缩法、反证法

32、）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程：九、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法十、放缩法：212122aaaa)2,2,0(,1,122yxaaayaax211222222aaaayx221122aaaayx2222222yxyxyx22xy122ba1cossinxbxa1|)1)(1(|22baabnnnxx2)1()1(11110bbaaa110 xx1|11|22abba例一、若a,b,c,dR+，求证：证：记 m=a,b,c,dR+1 m 2 时，求证：证：n 2 n 2 时,例三、求证：证：十一、反证法：例四、设 0 a,b,c,(1b)c

33、,(1c)a,21caddbdccacbbdbaacaddbdccacbbdbaa1cbaddbadccacbabdcbaam2cdddccbabbaam1)1(log)1(lognnnn0)1(log,0)1(lognnnn2222)1(log2)1(log)1(log)1(log)1(lognnnnnnnnnn12log22nn1)1(log)1(lognnnn213121112222nnnnnn111)1(1122121113121211113121112222nnnn41414141则三式相乘：ab (1 a)b?(1b)c?(1c)a 又0 a,b,c 0，ab+bc+ca 0，ab

34、c 0，求证：a,b,c 0 证：设 a 0,bc 0,则 b+c=a 0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc 0 矛盾，必有 a 0 同理可证：b 0,c 0 十二、作业：证明下列不等式：1设 x 0,y 0,，求证：a b放缩法：2lg9?lg11 b c,则5641412)1()1(02aaaa41)1(bb41)1(cc641yxyxa1yyxxb11yyxxyxyyxxyxyx11111122299lg211lg9lg11lg9lg2221)1(log)1(lognnnn222)1(log)1(log)1(lognnnnnn12log22nn0411accbbacacbbacbba

35、cbba4)()(22)(12112)2,(11211112nRnnnnn左边67已知 a,b,c 0,且 a2+b2=c2，求证：an+bn 0,8设 0 a,b,c 0，且 x+y 2，则和中至少有一个小于2反设2，2x,y 0，可得 x+y2与 x+y 2 矛盾第十一教时教材：不等式证明六（构造法及其它方法）目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。过程：十三、构造法：1构造函数法例一、已知 x 0，求证：证：构造函数则，设 2由显然2 0,1 0,0 上式 011111122222nnnnnnnn121211121nnn11121nnnn中式122cbca22,cbcbcaca

36、nn1nncbcaxy1yx1xy1yx125111xxxx)0(1)(xxxxf21xx)1)(11)()1(1)()(fff(x)在上单调递增，左边例二、求证：证：设则用定义法可证：f(t)在上单调递增令：3t1 0，则即 b,c 是二次方程的两个实根。即：a2例四、求证：证：设则：(y 1)tan2+(y+1)tan+(y 1)=0 当 y=1 时，命题显然成立当 y 1 时，=(y+1)2 4(y 1)2=(3y 1)(y 3)0综上所述，原式成立。（此法也称判别式法）3构造图形法：例五、已知 0 a 1，0 b 1，求证：证：构造单位正方形，O 是正方形内一点),225)2(f310

37、91022xxy)3(92txtttytf1)(2),30)1)(11)()(21212122212121tttttttttttftf310313)3(910322fxxyabcacb2022aaxx082aa),2(3tansectansec3122Zkktansectansec22y331y22)1()1()1()1(22222222babababaCDO1 bO 到 AD,AB 的距离为 a,b，则|AO|+|BO|+|CO|+|DO|AC|+|BD|其中，又：十四、作业：证明下列不等式：5令，则(y 1)x2+(y+1)x+(y 1)=0 用法，分情况讨论6已知关于 x 的不等式(a2

38、 1)x2(a 1)x 1 0,y 0,x+y=1，则左 边令t=xy，则在上单调递减8若，且 a2 b 0，则|f(a)f(b)|ab|构造矩形 ABCD,F 在 CD 上，使|AB|=a,|DF|=b,|AD|=1,则|AC|AF|0，则作AOB=BOC=COA=120,设|OA|=x,|OB|=y,|OC|=z第十二教时教材：不等式证明综合练习目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。过程：十五、简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造十六、例一、已知 0 x 1,0 a 1，试比较的大小。解一：0 1 x2 1,解二：0

39、 1 x2 1,1111111)1(2222kkkkkkkkfaab21)(xxfzxxzyzzyxyyx222222|)1(log|)1(log|xxaa和)1(log)1(log)1(log)1(log|)1(log|)1(log|22xxxxxxaaaaaaxxxaa11log)1(log21110 xx011log)1(log2xxxaa|)1(log|)1(log|xxaa2111111log11log)1(log)1(log)1(log)1(logxxxxxxxxxxxaa)1(log121xx0)1(log21xx1)1(log121xx|)1(log|)1(log|xxaaAB

40、CDF解三：0 x 1,0 1 x 1,1 1+x 2,左右=0 1 x2 1,且 0 a 0 且 a 1，其余条件不变。例二、已知 x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xyac+bd证一：（分析法）a,b,c,d,x,y 都是正数要证：xyac+bd只需证：(xy)2(ac+bd)2即：(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+2abcd展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c22abcd由基本不等式，显然成立xyac+bd证二：（综合法）xy=证三：（三角代换法）x2=a2+b2，不妨设 a=xsin,b

41、=xcosy2=c2+d2c=ysin,d=ycosac+bd=xysinsin +xycoscos =xycos()xy例三、已知 x1,x2均为正数，求证：证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：即：再平方：化简整理得：（显然成立）原式成立证二：（反证法）假设0)1(log,0)1(logxxaa)1(log)1(log)1(log2xxxaaa0)1(log2xa|)1(log|)1(log|xxaa222222222222dbdacbcadcbabdacbdacdbabcdca22222)(2221222121211xxxx42141121121222122212221x

42、xxxxxxx2122211)1)(1(xxxx222121222121)1)(1(xxxxxx2122212xxxx221222121211xxxx化简可得：（不可能）原式成立证三：（构造法）构造矩形ABCD，使 AB=CD=1,BP=x1,PC=x2当APB=DPC 时，AP+PD 为最短。取 BC 中点 M，有AMB=DMC,BM=MC=AP+PDAM+MD即：十七、作业：2000 版高二课课练第 6 课第十三教时教材：复习一元一次不等式目的：通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论。过程：十二、提出课题：

43、不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式板演：1解不等式：2解不等式组：（）3解不等式：4解不等式：5解不等式：十三、含有参数的不等式例一、解关于 x 的不等式解：将原不等式展开，整理得：2122212xxxx221xx2212212221212111xxxxxx221222121211xxxx12732)1(2xxx)2(x1435311210 xxxx11121xxxx652xx)32(x0442xx)2,(xRx0322xx),08(x)()(abxbabxa)()(baabxbaABCDPM讨论：当时，当时，若0 时；若0 时不合a=0 也不合必有：bababaabx)(baba

44、xbaRxbababaabx)(0)1(2aaxx0)(1(axax)1(aa21aaxax1)1(aa21a0)21(2xRxx,21)1(aa21aaxax102cbxax212|xxx或02cbxax0a25ab1ac02cbxax02acxabx01252xx221x01)1(2axaaxRx012300)1(4)1(022aaaaaaa例五、若函数的定义域为 R，求实数 k 的取值范围解：显然 k=0 时满足而 k4)4已知,且 B A,求 p 的取值范围(p4)5已知当-1 x1 时 y 有正有负，求a 的取值范围第十四教时教材：高次不等式与分式不等式目的：要求学生能熟练地运用列表

45、法和标根法解分式不等式和高次不等式。过程：十七、提出课题：分式不等式与高次不等式310)1)(13(0aaaa)8(6)(2kkxkxxf102)8(43602kkkkk1|55|2xx 4321|xxx或2312kxkx0222axx022bxax3121|xx212ba342axaxRx02|2xxxA04|pxxB12aaxy)211(a十八、例一(P22-23)解不等式略解一（分析法）或解二：（列表法）原不等式可化为列表（见 P23 略）注意：按根的由小到大排列解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于 0）取决于这个式子的各因式在此区间内

46、的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”例二解不等式解：原不等式化为原不等式的解为例三解不等式解：恒成立原不等式等价于即-1x5例四解不等式解：原不等式等价于且原不等式的解为若原题目改为呢？0322322xxxx3211312103202322xxxxxxxxx或或312103202322xxxxxxx或3211xx或0)1)(3()2)(1(xxxx62323xxx0)2)(2)(3(xxx232xx或0)2)(54(22xxxx022xx0542xx0)2)(1()1()2(32xxxx0)2)(1)

47、(1(xxx1,2 xx 21221|xxxx或或0)2)(1()1()2(32xxxx-101234-2例五解不等式解：原不等式等价于即：十九、例六解不等式解：原不等式等价于原不等式的解为：例七k 为何值时，下式恒成立：解：原不等式可化为：而原不等式等价于由得 1k3因为不等式两边均为非负两边平方得：即x因为两边非负，再次平方：解之 0 x3综合 得：原不等式的解集为0 x1整理得：解之，不等式的解集为 x|-3x2或 不 等 式 的 解 集 为 x|x2或例三解不等式解：原不等式等价于或解之得：4x5原不等式的解集为 x|41 时有（其实中间一个不等式可省）当 0a1 时不等式的解集为；当

48、 0a1 时有 0 xa当 0aa原不等式的解集为 x|0 x1 或x|xa,0a1例六解不等式解：两边取以 a 为底的对数：当 0a1 时原不等式化为：221234121)12(23403401222xxxxxxxxxx42234121)12(23403401222xxxxxxxxxxx或221x42xxxaalog1log50log5)log1(log50log12xxxxaaaa01log0log5xxaa1log1xa1logxa1logxa24logaxxxxa2log29)(log2xxaa0)1log2)(4(logxxaa4log21xaaxa42log29)(log2xxaa

49、0)1log2)(4(logxxaa原不等式的解集为或三十一、小结：注意底（单调性）和定义域s三十二、作业：补充：解下列不等式1(当 a1 时当 0a1 时)2(-2x1 或 4x7)3(-1x3)45当，求不等式：(ax1)6，求证：7(-1x0 时，二、定理：21log4logxxaa或axax04或 10,|4aaxax 1,0|4aaxaxx或)10(,422aaaaxxx且),4()1,(x)4,1(x)102(log)43(log31231xxxxx4)21(322222232xx)121(x10a0)(loglogxaa10,1ba1)12(logxba)1,0(,011loga

50、axxa1a0 1)2(2log12xxxxaaa2log,22axa2log,212axaxa,2axaxaxaxaax或|bababa证明：又a=a+b-b|-b|=|b|由|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|即|a|-|b|a+b|综合:注意：1左边可以“加强”同样成立，即2这个不等式俗称“三角不等式”三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3 a,b 同号时右边取“=”，a,b 异号时左边取“=”推论 1：推论 2：证明：在定理中以-b代 b 得：即：三、应用举例例一 至 例三见课本 P26-27 略例四 设|a|1,|b|1 求证|a+b|+|a-b|2证明：当 a+b 与