2023年初三圆知识点归纳总结复习全面汇总归纳.pdf

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1、 1 初三数学圆知识点 一.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 简单记成：一条直线：过圆心垂直弦 平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的优弧弧 以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径 ABCD CEDE BC BD AC AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。例

2、 1如图，在O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若BAD=30 ，且 BE=2，则 CD=_ 例 2 已知O 的直径10CDcm，AB是O 的弦，8ABcm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（C）A2 5cm B4 5cm C2 5cm或4 5cm D2 3cm或4 3cm 例 3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB 与车轮内圆相切于点 D，做 CDAB 交外圆于点 C测得 CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为 例 4、如图，在55 的正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A点 P B点

3、 Q C点 R D点 M 二、圆周角定理 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是AB 所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论：推论 1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90圆周角所对的弦直径 推论 2：圆内接四边形的对角互补；由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等；2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等；简记：在同圆或等圆中，弦圆心角弧中只要一个相等，其它两个也相

4、等。例 1、如图，已知 A、B、C 三点在O 上，ACBO 于 D，B=55，则BOC 的度数是 70 例 2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）ABC D OEDCBADCBAO 2 例 3、如图，ABCD 的顶点 A、B、D在0 上，顶点 C在0 的直径 BE上，连接 AE，E=360，则ADC=()A,440 B 540 C 720 D530 学生练习：3 三、与圆有关的位置关系 1 点与圆的位置关系：设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆内_；点在圆上_；点在圆外_ 2直线与圆的位置关系：如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 L 的距离为 d，那么

5、：（1）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_，公共点叫做_，此时 d_r；（2）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的_，公共点叫做_，此时 d_r（3）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相离，此时 d_r 3.切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过

6、圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 例1.已知O的半径为 3,A 为线段 PO的中点,则当 OP=6时,点 A与O的位置关系为()A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定 2.O的半径为6,O的一条弦AB长为33,以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是()A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 3.如图所示,O的外形梯形 ABCD 中,如果 AD BC,那么DOC的度数为()A.70 B.90

7、 C.60 D.45 4.如图所示,PA 与 PB分别切O于 A、B两点,C 是AB上任意一点,过 C作O的切线,交 PA及 PB于 D、E两点,若 PA=PB=5cm,则PDE的周长是_cm.5、如图2，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的P的圆心P的坐标为(3,0)，将P沿x轴正方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为 A1 B1 或 5 C3 D5 6、如图，RtABC 中，ABC=90 ，以 AB 为直径作半圆O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接DE（1）求证：DE 是半圆O 的切线（2）若BAC=30 ，DE=2，求 AD 的长 NMAOPBAODC(第6题)BAO

8、 4 7如图，在ABO 中，OA=OB，C 是边 AB 的中点，以 O 为圆心的圆过点 C（1）求证：AB 与O 相切；（2）若AOB=120 ，AB=4，求O 的面积 8.如图所示,点 I 是ABC的内心,AI 的延长线交边 BC于点 D,交ABC外接圆于点 E.(1)求证:IE=BE;(2)若 IE=4,AE=8,求 DE的长.9、已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，1），点P是抛物线214yx上的一个动点（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1y 的相切；（2）设直线PM与抛物线214yx的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：PNMQNM 练习：ICAEDB 5 8、如

9、图，直线 l 与半径为 4 的O 相切于点 A，P 是O 上的一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PBl，垂足为 B，连接 PA设PA=x，PB=y，则（xy）的最大值是 2 9、已知ABC 内接于O，过点 A 作直线 EF（1）如图 所示，若 AB 为O 的直径，要使 EF 成为O 的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：BAE=90 或者 EAC=ABC （2）如图 所示，如果 AB 是不过圆心 O 的弦，且CAE=B，那么 EF 是O 的切线吗？试证明你的判断 四.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n

10、 RSlR n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图：2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h 3、圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h 4、正多边形的其它性质(1)正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。(2)边数相同的正多边形相似。5、正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心

11、距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正 n 边形的有关计算公式 nnn0003601801802)1(）（每个内角；n0360每个外角 （2）nRan0180sin2边形边长正，nRr0180cos内切圆半径，ann边形周长正(3)nnnRarnSn002180cos180sinPr2121边形面积正 注意：同一个圆的内接正n 边形和外切正 n 边形是相似形，相似比是圆的内接正 n 边形边心距与它的半径之比n0180cos。这样，同一个正 n 边形的内切圆和外接圆的相似比n0180cos 母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO 6 例 1、一个圆锥的侧面展开图

12、是半径为 8cm、圆心角为 120 的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（）A83cm B163cm C3cm D43cm 例 2、已知圆的半径是2 3，则该圆的内接正六边形的面积是（）（A）3 3 （B）9 3 （C）18 3 （D）36 3 4、如图，O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为 a，半径为 R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A R2r2=a2 Ba=2Rsin36 Ca=2rtan36 Dr=Rcos36 5、如图,O的直径 AB的长为 10，弦 AC的长为 5，ACB的平分线交O于点 D.（1）求弧 BC的长；（2）求弦 BD的长.6.三角形的内心、外心、

13、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O表示(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2 倍，通常用 G表示(4)垂心：是三角形三边高线的交点 例 1、ABC中，AB=AC=10，BC=12，则ABC的外接圆半径是 .外切圆半径为 7.辅助线总结 圆中常

14、见的辅助线 1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等 2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明 3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算 4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角 5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角 6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角 7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角 8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径 9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点 10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点 11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线